Λειτουργία κυμάτων

Όταν η κλασική μηχανική απέτυχε να εφαρμοστεί σε μικροσκοπικά σωματίδια όπως ηλεκτρόνια, πρωτόνια, άτομα, μόρια κ.λπ., αφού αγνόησε την έννοια της διπλής συμπεριφοράς της ύλης, ειδικά για τα υποατομικά σωματίδια και την αρχή της αβεβαιότητας, ο κλάδος της επιστήμης που ασχολείται με τη διπλή συμπεριφορά της ύλης και την αλληλεπίδραση των υποατομικών σωματιδίων, εισήχθη η Κβαντομηχανική.

Είναι μια θεωρητική εννοιολογική επιστήμη που ασχολείται με τη μελέτη της μαθηματικής περιγραφής της κίνησης και της αλληλεπίδρασης υποατομικών σωματιδίων, ενσωματώνοντας τις έννοιες της κβαντοποίησης της ενέργειας, της δυαδικότητας κύματος-σωματιδίου, της αρχής της αβεβαιότητας και την αρχή της αντιστοιχίας. Το 1926 ο τομέας της κβαντικής μηχανικής αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από δύο διάσημους επιστήμονες Werner Heisenberg και Erwin Schrödinger. Η θεμελιώδης εξίσωση της κβαντικής μηχανικής αναπτύχθηκε από τον Schrödinger. κέρδισε το Νόμπελ Φυσικής το 1933. Η εξίσωση που ενσωματώνει τη δυαδικότητα κύματος-σωματιδίου της ύλης προτάθηκε από τον de Broglie.

  Η μαθηματική αναπαράσταση της κβαντικής κατάστασης ενός απομονωμένου κβαντικού είναι γνωστή ως κυματική συνάρτηση. Είναι ένα πλάτος πιθανότητας μιγαδικής αξίας και από αυτό μπορούν να προκύψουν οι πιθανότητες για τα πιθανά αποτελέσματα των μετρήσεων που γίνονται στο σύστημα. Τα ελληνικά γράμματα ψ και Ψ είναι τα πιο κοινά σύμβολα για την αναπαράσταση μιας κυματικής συνάρτησης.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΧΡΟΝΤΙΝΓΚΕΡ    

• Το 1926, ο Schrödinger δημοσίευσε τη διάσημη εξίσωση κυμάτων που τώρα ονομάζεται από αυτόν, η εξίσωση Schrödinger. Αυτή η εξίσωση βασίστηκε στην κλασική διατήρηση της ενέργειας χρησιμοποιώντας κβαντικούς τελεστές και οι σχέσεις de Broglie και οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι κυματοσυναρτήσεις για το κβαντικό σύστημα.

• Η εξίσωση Schrödinger περιγράφει τις κυματικές ιδιότητες ενός ηλεκτρονίου ως προς τη θέση, τη μάζα, την ενέργεια.

• Η εξίσωση καθορίζει πώς σχετίζονται οι κυματικές συναρτήσεις με το χρόνο και μια κυματική συνάρτηση συμπεριφέρεται ποιοτικά με άλλα κύματα, όπως κύματα νερού ή ηχητικά κύματα.

• Είναι μια τυπική κυματική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση ικανοποιεί την ιδιότητα της "συνάρτησης κύματος" και εξηγεί τη δυαδικότητα του κυματικού χαρακτήρα.

• Ο Schrödinger δίνει μια συνταγή για την κατασκευή αυτού του τελεστή από την εξίσωση για τη συνολική ενέργεια του συστήματος. Η συνολική ενέργεια του συστήματος λαμβάνει υπόψη την προσθήκη κινητικών ενεργειών όλων των υποατομικών σωματιδίων (ηλεκτρόνια, πυρήνες), με ελκυστική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μεταξύ των ηλεκτρονίων και των πυρήνων και απωστική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μεταξύ των ηλεκτρονίων και των πυρήνων ξεχωριστά.

• Η απλούστερη μορφή της εξίσωσης Schrodinger ανεξάρτητη από τον χρόνο είναι 

  H ψ =E ψ

Πού

 E =Συνολική ενέργεια ηλεκτρονίου

 ψ =κυματική συνάρτηση ηλεκτρονίου

 H =χειριστής Hamilton

Σε μία διάσταση

 Ĥ =−ħ²2m d²dx² + V(x) 

Πού, 

  V(x) =δυναμική ενέργεια, (V =− Ze²/4πr)

Σε τρεις διαστάσεις, 

 Ĥ =−ħ²2m (²x²+²y² + ²z²) + V(x,y,z)

 (Χαμιλτονιανός τελεστής) (Ιδιοσυνάρτηση) =(Ιδιοτιμή) (Ιδιοσυνάρτηση)

 H ψ =E ψ

➢ Η ιδιοσυνάρτηση είναι η κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου που αντιστοιχεί στην ενέργεια E

.➢ Η ιδιοσυνάρτηση είναι διαφορετική για κάθε ιδιοτιμή.

 ➢ Επιλύοντας την εξίσωση Schrödinger μπορεί κανείς να βρει τις κυματοσυναρτήσεις (ιδιοσυναρτήσεις) και τις αντίστοιχες επιτρεπόμενες ενέργειες (ιδιοτιμή) 

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΧΡΟΝΤΙΝΓΚΕΡ

Υπάρχουν πολλές λύσεις στην παραπάνω εξίσωση. Ωστόσο, οι αποδεκτές λύσεις πρέπει να πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις.

1. Το Ψ πρέπει να είναι συνάρτηση μίας τιμής

2. Το Ψ πρέπει να είναι συνεχές.

3. Το Ψ πρέπει να είναι πεπερασμένο.

4. Η πρώτη παράγωγος του Ψ w.r.t. οι μεταβλητές του πρέπει να είναι συνεχείς.

5. Συνθήκη ορθογωνικότητας 

Αν οι ψ1 και ψ2 είναι δύο αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις, είναι ορθογώνιες.

  −+𝜓1𝜓2 𝜏 =0

6. Η πιθανότητα εύρεσης σωματιδίων σε ολόκληρο τον χώρο πρέπει να είναι ενότητα (Συνθήκη Κανονισμού)

  −+𝜓2 𝑑𝜏 =1 (𝑑𝜏 δίνει το στοιχείο όγκου που δίνεται από dx, dy και dz) 

Αν η ψ είναι σύνθετη συνάρτηση −+𝜓1𝜓2 𝑑𝜏 =1

ΚΑΠΟΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ  

• Η λύση δίνει τα πιθανά ενεργειακά επίπεδα που μπορεί να καταλάβει το ηλεκτρόνιο και την αντίστοιχη κυματική συνάρτηση του ηλεκτρονίου που σχετίζεται με κάθε επίπεδο ενέργειας. Για ένα άτομο, πολλές κυματοσυναρτήσεις (1, 2, 3) θα ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες και καθεμία από αυτές έχει την αντίστοιχη ενέργεια (E1, E2, E3)

• Η συνάρτηση κύματος είναι μια μαθηματική συνάρτηση της οποίας η τιμή εξαρτάται από τις συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο άτομο και δεν έχει καμία φυσική σημασία. Τέτοιες κυματικές συναρτήσεις υδρογόνου ή ειδών που μοιάζουν με υδρογόνο με ένα ηλεκτρόνιο ονομάζονται ατομικά τροχιακά.

•  Ένα τροχιακό είναι μια κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου.

• Οι κβαντισμένες ενεργειακές καταστάσεις και οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις που χαρακτηρίζονται από ένα σύνολο τριών κβαντικών αριθμών (κύριος κβαντικός αριθμός n. αζιμουθιακός κβαντικός αριθμός l και μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml) προκύπτουν ως φυσική συνέπεια στη λύση της εξίσωσης Schrödinger.

• Όταν ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε οποιαδήποτε ενεργειακή κατάσταση, το κύμα λειτουργεί. που αντιστοιχεί σε αυτή την ενεργειακή κατάσταση περιέχει όλες τις πληροφορίες για το ηλεκτρόνιο.

• Η πιθανότητα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο μέσα σε ένα άτομο είναι ανάλογη με το 𝛗² σε αυτό το σημείο.

•  δεν έχει φυσική ποσότητα.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΑΤΟΜΟΥ

1. Η ισχύς των ηλεκτρονίων στα άτομα υπολογίζεται με αριθμούς (δηλαδή, μπορούν να έχουν μόνο ορισμένες τιμές), για παράδειγμα όταν τα ηλεκτρόνια συνδέονται με τον πυρήνα στα άτομα.

2. Η παρουσία υπολογισμένων ενεργειακών επιπέδων είναι άμεσο αποτέλεσμα ηλεκτρομαγνητικών δομών που μοιάζουν με ηλεκτρόνια και εγκρίνεται από τους υπολογισμούς του μήκους κύματος του Schrödinger.

3. Τόσο η ακριβής θέση όσο και η ακριβής ταχύτητα ηλεκτρονίων ενός ατόμου δεν μπορούν να προσδιοριστούν ταυτόχρονα (σύστημα αβεβαιότητας Heisenberg). Επομένως, η διαδρομή του ατόμου του ηλεκτρονίου δεν μπορεί να προσδιοριστεί ή να γίνει γνωστή με ακρίβεια.

4. Το ατομικό τροχιακό είναι η δραστηριότητα των ηλεκτρονικών κυμάτων στα άτομα. Κάθε φορά που ένα ηλεκτρόνιο ορίζεται από μια κυματική συνάρτηση, λέμε ότι το ηλεκτρόνιο παίρνει αυτό το τροχιακό.

5. Δεδομένου ότι η περισσότερη τέτοια κυματική δραστηριότητα είναι δυνατή με ένα ηλεκτρόνιο, υπάρχουν πολλά ατομικά τροχιακά στο άτομο. Αυτές οι «συνάρτηση τροχιακού κύματος ενός ηλεκτρονίου» ή τροχιακά αποτελούν τη βάση της ηλεκτρονικής δομής των ατόμων.

6. Σε κάθε τροχιακό, το ηλεκτρόνιο έχει μια άμεση δύναμη. Το τροχιακό δεν μπορεί να περιέχει περισσότερα από δύο ηλεκτρόνια. Σε ένα άτομο με πολλά ηλεκτρόνια, τα ηλεκτρόνια είναι γεμάτα με διάφορα τροχιακά της τάξης μεγέθους. Σε κάθε άτομο ηλεκτρονίου υπάρχουν πολλά ηλεκτρόνια, επομένως, θα υπάρχει μια δραστηριότητα τροχιακού κύματος σε αυτό.

7. Όλες οι πληροφορίες ηλεκτρονίων στο άτομο αποθηκεύονται στη συνάρτηση τροχιακών κυμάτων και η κβαντομηχανική βοηθά στην εξαγωγή αυτών των πληροφοριών.

8. Η πιθανότητα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο στο εσωτερικό ενός ατόμου είναι ίση με το τετράγωνο της δραστηριότητας του τροχιακού κύματος ή 𝛗² εκείνη τη στιγμή.

9. 𝛗² είναι γνωστό ως υπερπλήρη και πάντα επιρρεπές σε συνωστισμό.

10. 𝛗² Όταν εξετάζουμε διαφορετικούς αριθμούς διαφορετικών σημείων μέσα σε ένα άτομο, είναι δυνατό να προβλέψουμε την περιοχή γύρω από τον πυρήνα όπου τα ηλεκτρόνια θα είναι περισσότερο παρόντα.

11. Αν η τιμή είναι 0, τότε είναι γνωστή ως κόμβος και το εύρημα σε ένα ηλεκτρόνιο για αυτόν τον λόγο είναι επίσης 0.

12.   δεν έχει σημαντική αξία.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 

  Η κυματική συνάρτηση μας βοηθά να προσδιορίσουμε τη θέση της δομής ηλεκτρονίων των τροχιακών, βοηθά στην κατανόηση του κβαντομηχανικού μοντέλου της δομής του ατόμου.