Τύπος νόμου του Gauss

Ο νόμος του Gauss είναι απλώς ένας νόμος που είναι γενικός για κάθε κλειστή περιοχή που επιτρέπει τον υπολογισμό του πεδίου ενός κλειστού φορτίου χαρτογραφώντας το πεδίο για μια επιφάνεια εκτός κατανομής φορτίου. Απλοποιεί την ανάλυση που σχετίζεται με το σχήμα της γεωμετρικής συμμετρίας του εκλεκτικού πεδίου.

Τι είναι ο νόμος του Gauss;

Η συνολική ηλεκτρική ροή από μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με το φορτίο που περικλείεται στη διαπερατότητα του υλικού. Ο νόμος του Gauss είναι απλώς ένας θεμελιώδης νόμος που εφαρμόζεται σε κάθε περιοχή που είναι κλειστή. Είναι ένα κρίσιμο εργαλείο, καθώς επιτρέπει την αξιολόγηση που σχετίζεται με την ποσότητα του κλειστού ηλεκτρικού φορτίου. Για γεωμετρίες που έχουν επαρκή συμμετρία, απλοποιεί τον υπολογισμό για το ηλεκτρικό πεδίο.

Σημασία του νόμου του Gauss

Αυτό εξηγεί τη σημασία του νόμου του Gauss. Η δήλωση του νόμου του Gauss είναι σωστή και ιδανική για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια εκτός από το μέγεθος ή το σχήμα του αντικειμένου.

Η λέξη Q στον τύπο του νόμου του γκαους υποδηλώνει το άθροισμα όλων των ηλεκτρικών φορτίων, τα οποία περικλείονται μέσα στο αντικείμενο ανεξάρτητα από τη θέση του φορτίου στην επιφάνεια.

Η επιλεγμένη επιφάνεια για τη λειτουργικότητα του νόμου του Gauss είναι γνωστή ως περιοχή ή επιφάνεια Gauss. Ωστόσο, αυτή η περιοχή δεν θα πρέπει να υφίσταται οποιουδήποτε είδους ή ποικιλία μεμονωμένων χρεώσεων.

Αυτό χρησιμοποιείται κυρίως από την απλοποιημένη αξιολόγηση σχετικά με το ηλεκτροστατικό σενάριο όπου το σύστημα διατηρεί κάποια ισορροπία, η οποία μπορεί να συμβεί μόνο κάθε φορά που επιλέγουμε μια κλειστή επιφάνεια.

Ο τύπος του νόμου του Gauss

Σύμφωνα με το θεώρημα του Gauss, το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογο με τη συνολική ροή σας από την επιφάνεια. Συνεπώς, εάν ɸ είναι η ροή που είναι πλήρης, η E0 είναι ηλεκτρική σταθερά, το συνολικό ηλεκτρικό κόστος Q που περικλείεται λόγω της επιφάνειας είναι;

Q=ɸ E0

Ο τύπος εκφράζεται με:

ɸ=Q/E0  

Όπου Q είναι το συνολικό φορτίο εντός της επιφάνειας και E0 η ηλεκτρική σταθερά.

Παραγωγή 

Λαμβάνοντας υπόψη τη συνολική ροή μέσω μιας σφαίρας ακτίνας, το r περικλείει ένα σημειακό φορτίο q στο κέντρο του. Διαχωρίστε τη σφαίρα σε στοιχεία μικρής περιοχής.

Η ροή μέσω ενός στοιχείου περιοχής ΔS είναι

Δɸ=E.ΔS=q4ℼE0r2r.ΔS

Χρησιμοποιήσαμε τον νόμο του Κουλόμπ για το ηλεκτρικό πεδίο λόγω ενός μόνο φορτίου q. Τώρα, δεδομένου ότι η κανονική σφαίρα σε κάθε σημείο βρίσκεται κατά μήκος του διανύσματος ακτίνας σε αυτό το σημείο, το στοιχείο εμβαδού ΔS και rˆ έχουν την ίδια κατεύθυνση. Επομένως, 

Δɸ=q4ℼE0r2ΔS

Δεδομένου ότι το μέγεθος ενός μοναδιαίου διανύσματος είναι 1, η συνολική ροή μέσω της σφαίρας προκύπτει αθροίζοντας τη ροή μέσω όλων των διαφορετικών στοιχείων: 

ɸ=𝝨q4ℼE0r2ΔS

Δεδομένου ότι κάθε στοιχείο περιοχής της σφαίρας βρίσκεται στην ίδια απόσταση r από το φορτίο, 

ɸ=𝝨q4ℼE0r2        ΔS=q4ℼE0r2S

Τώρα S, το συνολικό εμβαδόν της σφαίρας, ίσο με 4ℼr2

ɸ=q4ℼE0r2×4ℼr2=qE0

Επίλυτα παραδείγματα τύπου νόμου του Gauss

Παράδειγμα 1:Αν η ηλεκτρική ροή μιας σφαίρας είναι E×4ℼr2. Ποιο θα είναι το ηλεκτρικό πεδίο λόγω αυτής της ροής;

Λύση:Η παράμετρος είναι, 

ɸ=E×4ℼr2

Τύπος Gauss:ɸ=Q/E0

Επομένως, E×4ℼr2=Q/E0

E=Q(4ℼr2)E0

Παράδειγμα 2:Μια ηλεκτρική ροή 2 V-m διέρχεται από μια σφαίρα σε χώρο κενού. Ποιο θα είναι το φορτίο που δημιουργεί αυτή τη ροή; Χρησιμοποιήστε τον τύπο του νόμου του Gauss.

Λύση:Από τον τύπο του νόμου του Gauss,

ɸ=Q/E0 

Q=ɸ×E0 

Αντικαθιστώντας την τιμή, θα λάβουμε, 

Q=2V-m×8,85×10-12

Q=17,7×10-12C

Επομένως, η χρέωση για τη δημιουργία αυτής της ροής θα είναι 17,7×10-12C.

Παράδειγμα 3:Μια ομοιόμορφη περιοχή του ηλεκτρικού πεδίου E=200N/c υπάρχει στο δωμάτιο κατά την κατεύθυνση Χ. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Gauss, υπολογίστε τη ροή αυτής της περιοχής μέσω ενός τετραγώνου πίδακα 10 cm που τοποθετείται στο επίπεδο Y-Z. Πάρτε την κανονική κατά μήκος του θετικού Xaxis για να είστε θετικοί.

Λύση:Η ροή ɸ=∫E.cosϴ ds.

Ένα ομοιόμορφο ηλεκτρικό πεδίο μεγέθους E=200 N/C υπάρχει στο χώρο κατά μήκος του άξονα X

Ένα επίπεδο τετράγωνο f άκρο 10 cm τοποθετείται στο επίπεδο y-z 

Όταν το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο yz, γωνία b/w πεδίο και εμβαδόν ϴ=0

Επίσης, το Ε είναι ομοιόμορφο, 

Λοιπόν,

ɸ=E.ΔS

ɸ=20010-2

ɸ=2 NC-1m2

Συμπέρασμα 

Ο νόμος του Gauss είναι ένας νόμος που εφαρμόζεται σε κάθε κλειστή επιφάνεια. Είναι μια σημαντική συσκευή αφού επιτρέπει την αξιολόγηση της ποσότητας του κλειστού φορτίου σχεδιάζοντας το πεδίο σε μια επιφάνεια εκτός της κατανομής φορτίου. Σύμφωνα με το θεώρημα του Gauss, το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογο με τη συνολική ροή σας από την επιφάνεια. Συνεπώς, εάν ɸ είναι η πλήρης E0is ηλεκτρική σταθερή ροή, το συνολικό ηλεκτρικό κόστος Q που περικλείεται λόγω της επιφάνειας είναι. Q=ɸ E0a.