Ηλεκτρικό Πεδίο λόγω Συνεχούς Κατανομής Φορτίου

Ένα ηλεκτρικό πεδίο παρατηρείται όταν ένα δοκιμαστικό φορτίο (q) συγκρατείται κοντά σε ένα φορτίο (Q) και υφίσταται κάποια δύναμη έλξης ή απώθησης ανάλογα με τη θετική και αρνητική φύση αυτού του φορτίου (Q) . Ανακαλύφθηκε από τον Faraday ότι κάθε φορτίο παράγει φανταστικές γραμμές ηλεκτρικού πεδίου που ασκούν δύναμη σε άλλα φορτία που τοποθετούνται κοντά στο δεδομένο φορτίο (Q).

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Ένα φορτίο πηγής είναι ένα φορτίο που παράγει το ηλεκτρικό πεδίο και ένα δοκιμαστικό φορτίο είναι ένα φορτίο που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της επίδρασης του φορτίου πηγής.

Ηλεκτρικό πεδίο

Ένα ηλεκτρικό πεδίο ορίζεται ως η περιοχή γύρω από ένα σημειακό φορτίο στην οποία μπορεί να γίνει αισθητή η επιρροή του.

Η κατεύθυνση των γραμμών ηλεκτρικού πεδίου φαίνεται ξεκάθαρα στα παραπάνω σχήματα. Για θετικό φορτίο, αυτά βγαίνουν προς τα έξω. Ενώ για ένα αρνητικό φορτίο, αυτά πηγαίνουν προς τα μέσα.

Ένταση ηλεκτρικού πεδίου

Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου χαρακτηρίζεται από μια διανυσματική συνάρτηση Ē. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου λόγω σημειακού φορτίου σε ένα σημείο ορίζεται ως η δύναμη που ασκείται ανά δοκιμαστική φόρτιση που τοποθετείται σε αυτό το σημείο.

Μαθηματικά,

Το ηλεκτρικό πεδίο λόγω δοκιμαστικής φόρτισης είναι αμελητέο σε σύγκριση με το ηλεκτρικό πεδίο φόρτισης πηγής. Ως 

Όπου r είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα από την αρχή έως το r. Ως αποτέλεσμα, για κάθε τιμή του διανύσματος θέσης r, η παραπάνω πρόταση παρέχει την τιμή του ηλεκτρικού πεδίου.

Σχετικά με την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, αξίζει να σημειωθεί ότι-

• Είναι μια διανυσματική ποσότητα που έχει διαστάσεις

• Οι μονάδες SI είναι N/C ή V/m.

• Καθώς το E είναι αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης 'r' μεταξύ των φορτίων, το ηλεκτρικό πεδίο για ένα σημειακό φορτίο είναι σφαιρικά συμμετρικό.

• Ισχύει μόνο για χρεώσεις πόντων.

• Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου λόγω φόρτισης στη δική του τοποθεσία δεν έχει καθοριστεί.

Τι είναι η κατανομή χρέωσης;

Είναι μια κατανομή του αριθμού των μεμονωμένων χρεώσεων σε έναν δεδομένο χώρο ή μια περιοχή.

Η κατανομή της χρέωσης ταξινομείται σε δύο τύπους:

Τύποι συνεχούς κατανομής φορτίου

Σκεφτείτε τα φορτία q1, q2, q3 και q4 κατανεμημένα σε ένα δεδομένο χώρο κ.ο.κ. Θα είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο. Γι' αυτό χρησιμοποιούνται τρεις διαφορετικές μορφές κατανομής φορτίου.

1) Γραμμική κατανομή φορτίου

Όταν οι χρεώσεις κατανέμονται γραμμικά, για παράδειγμα, οι χρεώσεις κατανέμονται σε οποιοδήποτε δεδομένο καλώδιο ή σε οποιαδήποτε δεδομένη καμπύλη,

όπου το dq είναι ένα μικρό στοιχείο στη δεδομένη κατανομή.

* Εάν η τιμή του λ αλλάζει με την τιμή της απόστασης που λαμβάνεται στη δεδομένη κατανομή, λέγεται να είναι μια ανομοιόμορφη κατανομή. Εάν η τιμή δεν αλλάξει, λέγεται ότι είναι ομοιόμορφη κατανομή.

2) Κατανομή επιφανειακής φόρτισης

Όταν οι χρεώσεις κατανέμονται σε μια δεδομένη επιφάνεια όπως φαίνεται παρακάτω,

Μαθηματικά, 

𝛔 =q/A =dq/da

όπου dq είναι ένα μικρό στοιχείο στη δεδομένη κατανομή και da είναι ένα στοιχείο περιοχής σε μια δεδομένη επιφάνεια.

* Εάν η τιμή του σ αλλάζει με την τιμή της απόστασης που λαμβάνεται στη δεδομένη κατανομή, λέγεται να είναι μια ανομοιόμορφη κατανομή. Εάν η τιμή δεν αλλάξει, λέγεται ότι είναι ομοιόμορφη κατανομή.

3) Κατανομή φόρτισης όγκου

Όταν οι χρεώσεις κατανέμονται σε συγκεκριμένο όγκο όπως φαίνεται παρακάτω,

Μαθηματικά, 

𝛒 =q/V =dq/dV

όπου dq είναι ένα μικρό στοιχείο στη δεδομένη κατανομή και dv είναι ένα στοιχείο όγκου σε έναν δεδομένο τόμο.

* Εάν η τιμή του ያ αλλάξει με την τιμή της απόστασης που λαμβάνεται στη δεδομένη κατανομή, λέγεται να είναι μια ανομοιόμορφη κατανομή. Εάν η τιμή δεν αλλάξει, λέγεται ότι είναι ομοιόμορφη κατανομή.

Ένταση ηλεκτρικού πεδίου λόγω συνεχούς κατανομής φορτίου

Όπως εξηγήθηκε παραπάνω, η συνολική ένταση ηλεκτρικού πεδίου σε ένα μικρό φορτίο δοκιμής σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο δίνεται από το:

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω φορτισμένου δακτυλίου στον άξονά του

Σκεφτείτε έναν ομοιόμορφα φορτισμένο δακτύλιο με ακτίνα R με σημείο P στον άξονά του σε απόσταση x από το κέντρο του δακτυλίου.

Θεωρήστε το dq ως σημειακή χρέωση, τότε

Για κάθε dq, οι τιμές των r, R, x και θ θα παραμείνουν ίδιες.

Το συστατικό dESinθ κάθε dq ακυρώνεται από το dESinθ του αντίθετου στοιχείου dq.

Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε την καθαρή τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.

E=∫dEcos𝞱

=∫(Kdq/r2)cos𝞱 =(K/r2)cos𝞱∫dq

Καθώς η συνολική χρέωση είναι Q και επίσης,

r2 =x2 + R2

Τώρα, εξισώνοντας την παραπάνω εξίσωση, θα πάρουμε

Συμπέρασμα

Έχουμε μελετήσει διαφορετικούς τύπους κατανομής φορτίων και πώς να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο από τη δεδομένη κατανομή φορτίου σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι μια διανυσματική ποσότητα που βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο του σύμπαντος. Εάν ένα δοκιμαστικό φορτίο τοποθετήθηκε στο πεδίο, τότε η δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτό το φορτίο αντιπροσωπεύεται από το ηλεκτρικό πεδίο σε αυτήν τη θέση. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί επίσης να υπολογιστεί υπολογίζοντας πρώτα τη δύναμη και διαιρώντας την με το δεδομένο φορτίο δοκιμής.