Έννοια του μέσου όρου

Ο μέσος όρος αναφέρεται στη μέση τιμή των τιμών, την οποία μπορούμε επίσης να κατανοήσουμε ως το άθροισμα διαιρούμενο με τον συνολικό αριθμό των τιμών σε ένα συγκεκριμένο σύνολο. Είναι ένα από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα μέτρα κεντρικής τάσης που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μιας στατιστικής περίληψης τεράστιων δεδομένων. Ένα απλό παράδειγμα του μέσου όρου είναι ο τρόπος με τον οποίο η κάρτα αναφοράς εστιάζει στους συγκεντρωτικούς βαθμούς για να απλοποιήσει την ερμηνεία αντί να δηλώνει τους διαφορετικούς βαθμούς που έχει σημειώσει κάποιος σε πολλά θέματα κατά τη διάρκεια του έτους. Αυτή η κεντρική τάση είναι, επομένως, ευεργετική για την ερμηνεία μεγάλων συνόλων αξίας για να καταλήξουμε σε πολύτιμα συμπεράσματα.

Μέσος όρος στα στατιστικά

Για να ορίσουμε τον μέσο όρο στα στατιστικά στοιχεία, μπορούμε να πούμε ότι είναι ο μέσος όρος του συνόλου δεδομένων που παρέχεται. Μπορούμε να το βρούμε διαιρώντας το άθροισμα όλων των τιμών στο σύνολο δεδομένων με τον συνολικό αριθμό των τιμών.

Για n τιμές σε ένα συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων, δηλαδή x1, x2, x3, … xn, ο μέσος όρος μπορεί να βρεθεί ως εξής:

x̄ =x1+ x2+ x3+ … +xn / n

Για τον υπολογισμό του μέσου όρου των ομαδοποιημένων δεδομένων, πρέπει να υπολογίσουμε το βαθμό της κλάσης.

Σημείο τάξης=(Ανώτερο όριο + Κάτω όριο) / 2

Μετά τον υπολογισμό του βαθμού κλάσης, ο μέσος όρος μπορεί να υπολογιστεί με παρόμοιο τρόπο χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο αντικαθιστώντας το xi με το δείκτη της τάξης.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για να το καταλάβουμε καλύτερα.

Παράδειγμα 1: 

Βρείτε τη μέση τιμή του δεδομένου συνόλου:3, 4, 6, 7, 8

μέσος όρος =(3+4+6+7+8)/5 =28/5=5,6

Παράδειγμα 2: 

Βρείτε τον μέσο όρο των πέντε πρώτων πρώτων αριθμών.

Όπως γνωρίζουμε, οι πρώτοι πέντε πρώτοι αριθμοί είναι το 2, το 3, το 5, το 7 και το 11. 

μέσος όρος =(2+3+5+7+11)/5 =28/5=5,6

Μέσες ιδιότητες

Ας δούμε τώρα μερικές μέσες ιδιότητες για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια.

1. Αν όλοι οι αριθμοί σε ένα δεδομένο σύνολο έχουν την ίδια τιμή, k, τότε ο μέσος όρος θα είναι επίσης k. Για παράδειγμα:Ο μέσος όρος των πέντε αριθμών 12, 12, 12, 12 και 12 θα είναι (12+12+12+12+12)/5 =12. 

1. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων ενός δεδομένου συνόλου από τον μέσο όρο τους είναι πάντα μηδέν. Μπορεί να δηλωθεί ως (x1−x̄)+(x2−x̄)+(x3−x̄)+…+(xn−x̄) =0. Για μη ομαδοποιημένα δεδομένα, μπορεί να γραφεί ως ∑(xi−x̄) =0 , και για ομαδοποιημένα δεδομένα, μπορεί να γραφτεί ως ∑fi(xi−x̄) =0.

1. Εάν κάθε αριθμός σε ένα σύνολο μειωθεί ή αυξηθεί κατά την ίδια τιμή, ο μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά παρόμοια τιμή. Ας υποθέσουμε ότι ο μέσος όρος ενός συνόλου είναι x1, x2, x3 ……xn είναι X̄, τότε τα x1+k, x2+k, x3 +k ……xn+k θα είναι επίσης X̄+k.

1. Εάν κάθε αριθμός σε ένα σύνολο πολλαπλασιαστεί ή διαιρεθεί με την ίδια τιμή, τότε ο μέσος όρος θα πολλαπλασιαστεί ή θα διαιρεθεί επίσης με μια παρόμοια τιμή. Εάν ο μέσος όρος ενός συνόλου x1, x2, x3 ……xn είναι X̄, τότε τα x1/k, x2/k, x3/k ……xn/k θα είναι επίσης X̄/k. Όσον αφορά τη διαίρεση, η σταθερή τιμή πρέπει να είναι ένας αριθμός μη μηδενικός, καθώς η διαίρεση με το 0 δεν δίνει έναν καθορισμένο αριθμό.

Πλεονεκτήματα του μέσου όρου 

Ο μέσος όρος είναι χρήσιμος σε στατιστικές, μαθηματικά, οικονομικά, πειραματικές επιστήμες, κοινωνιολογία και άλλους παρόμοιους κλάδους. Ακολουθούν ορισμένα οφέλη του μέσου όρου: 

1. Ο τύπος για την εύρεση του μέσου όρου είναι άκαμπτος και δεν αλλάζει με βάση τη θέση της τιμής σε οποιοδήποτε δεδομένο σύνολο. Ο μέσος όρος είναι μια πιο σταθερή και άκαμπτη κεντρική τάση από τη διάμεση.

1. ο μέσος όρος συνίσταται λαμβάνοντας υπόψη κάθε τιμή που υπάρχει σε οποιοδήποτε δεδομένο σύνολο.

1. Ο τύπος για τον υπολογισμό του μέσου όρου είναι απλός. Κάθε άτομο με βασικές δεξιότητες προσθήκης και διαίρεσης μπορεί να βρει τον μέσο όρο.

1. Ο μέσος όρος παρέχει πολύτιμα αποτελέσματα ανεξάρτητα από το μέγεθος του συνόλου δεδομένων. Βοηθά στην ερμηνεία μιας σημαντικής αξίας σετ με ευκολία.

1. Ο μέσος όρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περαιτέρω μαθηματικές πράξεις, σε αντίθεση με άλλες αλγεβρικές εκφράσεις όπως η λειτουργία και η διάμεσος.

1. Ο μέσος όρος έχει επίσης δυνατότητα εφαρμογής στη γεωμετρία. Για παράδειγμα, οι κεντροειδείς συντεταγμένες ενός τριγώνου είναι επίσης ο μέσος όρος των συντεταγμένων κορυφής.

Μειονεκτήματα του μέσου όρου 

Μαζί με τα πλεονεκτήματα, υπάρχουν και ορισμένα μειονεκτήματα του μέσου όρου, όπως:

1. Ένα από τα κύρια μειονεκτήματα του μέσου όρου είναι ότι επηρεάζεται από μεγάλες τιμές στο σύνολο δεδομένων. Για παράδειγμα, εάν οι βαθμοί που σημείωσαν διαφορετικοί μαθητές σε μια συγκεκριμένη εξέταση είναι 10, 20, 30, 20, 30 και 90, ο μέσος όρος είναι (10+20+30+20+30+90)/6 =33,33 δηλαδή επηρεάζεται κυρίως από το 90, μια ακραία τιμή στο σετ.

1. Η μέση τιμή μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποκλειστικά για ποσοτικά δεδομένα και όχι για ποιοτικά δεδομένα όπως ειλικρίνεια, σκληρή δουλειά κ.λπ. 

1. Η μέση τιμή δεν μπορεί να υπολογιστεί ακόμη και αν μια μεμονωμένη τιμή είναι άγνωστη, καθώς κάθε τιμή επηρεάζει τον μέσο όρο.

1. Δεν υπάρχουν μέσοι όροι για τον εντοπισμό του μέσου όρου, είτε γραφικά είτε μέσω επιθεώρησης.

1. Δεν μπορεί να βρεθεί ο μέσος όρος στην περίπτωση μαθημάτων ανοιχτού τύπου χωρίς να γίνει μια πρόχειρη υπόθεση για το μέγεθος της τάξης.

   Συμπέρασμα: 

   Ο μέσος όρος είναι μια εύκολη και πολύτιμη έννοια που βοηθάει σε πολλούς κλάδους όπως τα μαθηματικά, η στατιστική, τα οικονομικά και η γεωμετρία. Είναι μια χρήσιμη μαθηματική πράξη που χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή για την εύρεση του μέσου όρου και την αποτελεσματική ερμηνεία των δεδομένων. Από τις στατιστικές του καιρού έως τους μέσους όρους βαθμολογίας που εξασφαλίζουν οι μαθητές σε συγκεκριμένα μαθήματα, όλα απαιτούν τη χρήση του μέσου όρου.

   Μαζί με την εξάσκηση του μέσου όρου, πρέπει επίσης να εξασκηθείτε στην αριθμητική και γεωμετρική πρόοδο για να κατανοήσετε πλήρως αυτήν τη μαθηματική έννοια.