Atwood Machine – Πρόβλημα Παράδειγμα Αδράνειας

Η μηχανή Atwood είναι ένα κοινό πείραμα στην τάξη που δείχνει τους νόμους της κίνησης δύο συζευγμένων συστημάτων που υφίστανται σταθερή επιτάχυνση. Μια μηχανή Atwood αποτελείται από δύο μάζες m_A και m_B , που συνδέονται μεταξύ τους με μια μη εκτατή χορδή χωρίς μάζα πάνω από μια τροχαλία χωρίς μάζα. Όταν οι δύο μάζες είναι ίσες, το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία και δεν υπάρχει κίνηση. Οι δύο μάζες θα παραμείνουν στάσιμες. Όταν τα δύο βάρη δεν είναι ίσα, το σύστημα θα κινηθεί όπου η βαρύτερη μάζα έλκεται προς τα κάτω ενώ η ελαφρύτερη μάζα έλκεται προς τα πάνω. Αυτό το παράδειγμα προβλήματος δείχνει τον τρόπο εξαγωγής της επιτάχυνσης του συστήματος και της τάσης στη συμβολοσειρά.

Πρόβλημα:
α) Βρείτε την επιτάχυνση μιας μηχανής Atwood αν m_A =3 kg και m_B =5 κιλά.
β) Βρείτε την τάση στη χορδή που συνδέει τις δύο μάζες.

Ακολουθεί μια απεικόνιση της ρύθμισης.

Θα αγνοήσουμε τις τιμές του m_A και m_B σε αυτό το σημείο για να δείξουμε την εξαγωγή της απάντησης. Το μπλοκ Β είναι βαρύτερο από το μπλοκ Α, επομένως η συνολική κατεύθυνση της κίνησης θα είναι προς τα κάτω στην πλευρά της τροχαλίας του μπλοκ Β και προς τα πάνω στην πλευρά του μπλοκ Α. Επιλέξτε το σύστημα συντεταγμένων σας ώστε η επιτάχυνση να είναι πάντα θετική.

Αυτό το σύστημα συνδέεται με τη χορδή χωρίς μάζα. Το βαρύτερο μπλοκ Β κατεβάζει τη χορδή μια απόσταση Δd σε κάποιο χρόνο t. Ταυτόχρονα, το μπλοκ Α κινείται προς τα πάνω Δd. Αυτό σημαίνει ότι οι ταχύτητες κάθε μπλοκ είναι ίδιες.

v_A =⁄_t =v_B

Οι κατευθύνσεις ταχύτητας μπορούν να ρυθμιστούν από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται για κάθε σύστημα. Εφόσον οι ταχύτητες είναι πάντα ίδιες, οι επιταχύνσεις τους είναι ίδιες.

a =a_A =a_B

Δεδομένου ότι η χορδή είναι χωρίς μάζα και δεν εκτείνεται, η τάση είναι ομοιόμορφη σε όλο το σύστημα. Η τάση που έλκει το μπλοκ A προς τα πάνω είναι η ίδια με την τάση που έλκει το μπλοκ B προς τα πάνω.

Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση και η τάση είναι ίδια και για τα δύο μπλοκ. Τώρα βρείτε τις δυνάμεις που δρουν σε κάθε μπλοκ.

Για το μπλοκ Α, το βάρος m_A Το g τραβά προς τα κάτω ενώ η δύναμη τάνυσης T ανεβαίνει.

ΣF =T – m_A g

Εφόσον αυτές οι δυνάμεις βρίσκονται σε κίνηση, αυτές οι δυνάμεις είναι ίσες με m_A α.

ΣF =m_A a =T – m_A g

Για το μπλοκ Β, οι δυνάμεις είναι σχεδόν ίδιες. Η διαφορά είναι ότι η συνολική επιτάχυνση είναι στην αντίθετη κατεύθυνση από το Block A.

ΣF =m_B g – T =m_B a

Τώρα έχουμε δύο εξισώσεις και δύο άγνωστους, το T και το a. Προσθέστε αυτές τις δύο εξισώσεις μαζί και το T θα πέσει, αφήνοντας μόνο την επιτάχυνση.

m_A a =T – m_A σολ
m_B a =-T + m_B σολ
m_A a + m_B a =m_B g – m_A g

Υπολογίστε τις μεταβλητές επιτάχυνσης και βαρύτητας σε κάθε πλευρά.

(m_A + m_B )a =(m_B – m_A )g

Χωρίστε και τις δύο πλευρές κατά (m_A + m_B ) να λύσει για α.

Εφόσον έχουμε την επιτάχυνση, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε την τάση χρησιμοποιώντας μία από τις δύο εξισώσεις δύναμης. Ας χρησιμοποιήσουμε το μπλοκ A.

m_A a =T – m_A g

Λύστε αυτό για το T και λάβετε:

T =m_A a + m_A g

Αντικαταστήστε τον τύπο για την επιτάχυνση (α) στην εξίσωση.

Ξαναγράψτε την εξίσωση ως

Εξαιρέστε το m_A σολ

Αλλάξτε το 1 ώστε να έχετε έναν κοινό παρονομαστή μέσα στην παρένθεση.

Προσθέστε τα δύο κλάσματα μαζί για να πάρετε

Απλοποιήστε για να αποκτήσετε

που γίνεται

Χρησιμοποιήστε αυτούς τους τύπους για επιτάχυνση και τάση για να βρείτε την απάντηση στο αρχικό πρόβλημα.

Μέρος α) Βρείτε την επιτάχυνση όταν m_A =3 kg και m_B =5 κιλά.

Νωρίτερα, βρήκαμε τον τύπο για την επιτάχυνση να είναι

Εισαγάγετε τις τιμές για m_A και m_B .


a =2/8 g
a =0,25 (9,8 m/s)
a =2,54 m/s

Τα μπλοκ επιταχύνουν στα 2,54 m/s.

Μέρος β) Βρείτε την τάση στη χορδή.

T =36,75 kg·m/s

kg·m/s είναι το ίδιο με τη μονάδα δύναμης Newton.

T =36,75 N

Η τάση στη χορδή είναι 36,75 Newton.

Συμβουλή:

Το κλειδί σε αυτό το είδος προβλήματος είναι να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων σας έτσι ώστε η κατεύθυνση της επιτάχυνσης να είναι πάντα προς τη θετική κατεύθυνση. Εφόσον οι επιταχύνσεις σας λειτουργούν όλες μαζί, τα σφάλματα προσήμου δεν θα είναι πρόβλημα. Στην περίπτωση μιας μηχανής Atwood, η επιτάχυνση θα τρέχει πάντα προς τη μεγαλύτερη μάζα.