Πρόβλημα παραδείγματος αδράνειας – Δύο συνδεδεμένα μπλοκ

Πολύπλοκα συστήματα μπορεί να προκαλέσουν δυσκολίες στους μαθητές. Όταν δύο διαφορετικά συστήματα συνδέονται μεταξύ τους, υπάρχουν ορισμένοι κοινοί παράγοντες. Ο εντοπισμός αυτών των συνδέσεων μπορεί να διευκολύνει την επίλυση προβλημάτων. Αυτό το παράδειγμα προβλήματος έχει ένα σύνθετο σύστημα δύο μπλοκ που συνδέονται με μια συμβολοσειρά χωρίς μάζα.

Παράδειγμα προβλήματος:
Δύο μπλοκ συνδέονται με ένα σπάγκο χωρίς μάζα γύρω από μια τροχαλία χωρίς τριβή. Το μπλοκ Α ολισθαίνει σε μια επιφάνεια χωρίς τριβές και έλκεται από το δεύτερο μπλοκ καθώς πέφτει το μπλοκ Β.
α) Ποια είναι η επιτάχυνση του συστήματος;
β) Ποια είναι η τάση στη χορδή;

Λύση:
Αυτή η εικόνα δείχνει τη διάταξη των μπλοκ.

Αυτό το σύστημα συνδέεται με τη χορδή χωρίς μάζα. Καθώς το τετράγωνο Α κινείται προς τα δεξιά σε απόσταση Δd σε κάποιο χρόνο t, το μπλοκ Β κινείται προς τα κάτω Δd. Αυτό σημαίνει ότι οι ταχύτητες του μπλοκ είναι οι ίδιες.

v_A =⁄_t =v_B

Οι κατευθύνσεις ταχύτητας μπορούν να ρυθμιστούν από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται για κάθε σύστημα. Εφόσον οι ταχύτητες είναι πάντα ίδιες, οι επιταχύνσεις τους είναι ίδιες.

a =a_A =a_B

Δεδομένου ότι η χορδή είναι χωρίς μάζα, η τάση είναι ομοιόμορφη σε όλο το σύστημα. Η τάση που έλκει το μπλοκ Α προς τα πλάγια είναι ίδια με την τάση που τραβάει το μπλοκ Β προς τα πάνω.

Ας βρούμε τις δυνάμεις και των δύο συστημάτων.

Ξεκινήστε με το μπλοκ A. Το μπλοκ Α επιταχύνεται στη θετική κατεύθυνση x.

ΣF_x =T =m_A ένα
ΣF_y =N – m_A g

Εφόσον το μπλοκ Α δεν κινείται στην κατακόρυφη διεύθυνση, το άθροισμα των δυνάμεων σε αυτήν την κατεύθυνση είναι ίσο με 0.

ΣF_y =N – m_A g =0
N =m_A g

Βρείτε τώρα τις δυνάμεις στο τετράγωνο Β. Το μπλοκ Β επιταχύνεται προς τη θετική κατεύθυνση y και καμία δύναμη δεν ενεργεί στην κατεύθυνση x.

ΣF_y’ =m_B ένα
ΣF_y’ =m_B ζ – Τ

Ορίστε αυτές τις δύο εξισώσεις ίσες μεταξύ τους

m_B a =M_B ζ – Τ

Τώρα έχουμε δύο εξισώσεις με δύο άγνωστες μεταβλητές. Ο απλούστερος τρόπος για να λυθεί αυτό είναι να λύσετε μια εξίσωση για μια από τις μεταβλητές και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε αυτή που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση για να λύσετε την άλλη μεταβλητή. Ας λύσουμε την τελευταία εξίσωση για το T.

m_B a =M_B ζ – Τ
m_B a – m_B g =-T
T =m_B g – m_B a

Συνδέστε αυτήν την έκφραση στην εξίσωση δύναμης που περιλαμβάνει την τάση της χορδής από το μπλοκ Α και λύστε την επιτάχυνση.

T =m_A ένα
m_B g – m_B a =m_A a

Προσθήκη m_B a και στις δύο πλευρές

m_B g =m_A a + m_B a

Υπολογίστε την επιτάχυνση

m_B g =(m_A + m_B )a

Χωρίστε και τις δύο πλευρές κατά (m_A + M_B )

Τώρα που έχουμε την απάντηση στο Μέρος α της ερώτησης. Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε την ένταση. Συνδέστε το διάλυμα σε μία από τις εξισώσεις που περιέχουν την τάση. Ας χρησιμοποιήσουμε το εύκολο:

T =m_A ένα

Σημειώστε πώς η επιτάχυνση θα είναι πάντα μικρότερη από g. Σημειώστε επίσης ότι η τάση θα είναι πάντα μικρότερη από το βάρος του μπλοκ Β (m_B σολ). Ένα συνηθισμένο λάθος σε αυτόν τον τύπο προβλήματος είναι να υποθέσουμε ότι η τάση στη χορδή είναι ίση με το βάρος του μπλοκ Β. Αυτό θα ίσχυε μόνο εάν το Μπλοκ Β ήταν σε ισορροπία. Εφόσον το μπλοκ επιταχύνεται, δεν βρίσκεται σε ισορροπία.