Στα Quantum Games, δεν υπάρχει τρόπος να παίξετε τις πιθανότητες
Τη δεκαετία του 1950, τέσσερις μαθηματικά προσανατολισμένοι στρατιώτες του αμερικανικού στρατού χρησιμοποίησαν πρωτόγονες ηλεκτρονικές αριθμομηχανές για να επεξεργαστούν τη βέλτιστη στρατηγική για το παιχνίδι blackjack. Τα αποτελέσματά τους, δημοσιεύθηκαν αργότερα στο Journal of the American Statistical Association , λεπτομερώς την καλύτερη απόφαση που θα μπορούσε να πάρει ένας παίκτης για κάθε κατάσταση που αντιμετωπίζει στο παιχνίδι.
Ωστόσο, αυτή η στρατηγική - η οποία θα εξελισσόταν σε αυτό που οι παίκτες αποκαλούν "το βιβλίο" - δεν εγγυόταν ότι ένας παίκτης θα κέρδιζε. Το Μπλάκτζακ, μαζί με πασιέντζα, πούλια ή οποιονδήποτε αριθμό άλλων παιχνιδιών, έχει ένα ανώτατο όριο στο ποσοστό των παιχνιδιών στα οποία οι παίκτες μπορούν να περιμένουν να θριαμβεύσουν, ακόμα κι αν παίζουν το απόλυτο καλύτερο που μπορεί να παιχτεί το παιχνίδι.
Αλλά για μια ιδιαίτερα περίεργη παραλλαγή παιχνιδιών, είναι αδύνατο να υπολογιστεί αυτή η πιθανότητα μέγιστης νίκης. Αντίθετα, μαθηματικοί και επιστήμονες υπολογιστών προσπαθούν να προσδιορίσουν εάν είναι δυνατό να προσεγγίσουν τις πιθανότητες μέγιστου κέρδους για αυτά τα παιχνίδια. Και το αν υπάρχει αυτή η δυνατότητα εξαρτάται από τη συμβατότητα δύο πολύ διαφορετικών τρόπων σκέψης για τη φυσική.
Αυτά τα «μη τοπικά» παιχνίδια επινοήθηκαν τη δεκαετία του 1960 από τον φυσικό John Stewart Bell ως έναν τρόπο κατανόησης του παράξενου κβαντικού φαινομένου που ονομάζεται εμπλοκή. Ενώ η κβαντική εμπλοκή είναι περίπλοκη, τα μη τοπικά παιχνίδια δεν είναι. Έχετε δύο παίκτες, καθένας από τους οποίους τίθεται μια απλή ερώτηση. Κερδίζουν το παιχνίδι εάν οι απαντήσεις τους είναι συντονισμένες με συγκεκριμένο τρόπο. Δυστυχώς δεν μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους, οπότε ο καθένας πρέπει να μαντέψει πώς θα απαντήσει ο άλλος. Ο Bell απέδειξε ότι εάν οι παίκτες ήταν σε θέση να μοιράζονται ζεύγη μπερδεμένων κβαντικών σωματιδίων, θα μπορούσαν να ενισχύσουν τους συσχετισμούς μεταξύ των απαντήσεών τους και να κερδίσουν τα παιχνίδια με υψηλότερους ρυθμούς από τους αναμενόμενους.
Τα τελευταία χρόνια, οι ερευνητές ανέπτυξαν λεπτομερώς τη ρύθμιση του Bell, όπως έγραψα στο πρόσφατο άρθρο «The Universe’s Ultimate Complexity Revealed by Simple Quantum Games». Μια εργασία του 2016 από τον William Slofstra και μια εργασία του 2018 από τους Andrea Coladangelo και Jalex Stark απέδειξαν ότι για ορισμένα μη τοπικά παιχνίδια, όσο περισσότερα ζεύγη μπερδεμένων κβαντικών σωματιδίων μοιράζονται οι παίκτες, τόσο καλύτερα μπορούν να παίξουν. Αυτή η σχέση ισχύει επ' αόριστον, πράγμα που σημαίνει ότι οι παίκτες χρειάζονται άπειρα ζεύγη μπερδεμένων σωματιδίων (ή μπερδεμένα ζεύγη με άπειρο αριθμό ανεξάρτητων ιδιοτήτων) για να παίξουν μη τοπικά παιχνίδια όσο καλύτερα μπορούν να παιχτούν.
Μια συνέπεια αυτών των αποτελεσμάτων είναι ότι είναι αδύνατο να υπολογιστεί η πιθανότητα μέγιστης νίκης για ορισμένα μη τοπικά παιχνίδια. Οι υπολογιστές δεν μπορούν να λειτουργήσουν με άπειρες ποσότητες, επομένως εάν η τέλεια αλγοριθμική στρατηγική απαιτεί έναν άπειρο αριθμό μπερδεμένων σωματιδίων, τότε ο υπολογιστής δεν μπορεί να υπολογίσει πόσο συχνά αποδίδει αυτή η στρατηγική.
"Αυτός δεν είναι ένας γενικός αλγόριθμος που, αν βάλετε απλώς μια περιγραφή ενός παιχνιδιού, θα παράγει τη μέγιστη πιθανότητα επιτυχίας", δήλωσε ο Henry Yuen, ένας θεωρητικός επιστήμονας υπολογιστών στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο.
Αλλά αν δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ακριβώς τη μέγιστη πιθανότητα κέρδους, μπορούμε τουλάχιστον να την υπολογίσουμε εντός, ας πούμε, λίγων ποσοστιαίων μονάδων;
Οι μαθηματικοί εργάστηκαν σκληρά πάνω στο ερώτημα. Παραδόξως, η προσέγγισή τους εξαρτάται από τη συμβατότητα δύο πολύ διαφορετικών τρόπων σκέψης για τη φυσική.
Θυμηθείτε ότι οι δύο παίκτες σε ένα μη τοπικό παιχνίδι δεν πρέπει να συντονίζουν τις απαντήσεις τους. Υπάρχουν δύο τρόποι για να διασφαλιστεί αυτό. Το πρώτο είναι να απομονωθούν φυσικά οι παίκτες ο ένας από τον άλλο - να τους τοποθετήσουμε στα δικά τους ξεχωριστά δωμάτια ή σε αντίθετα άκρα του σύμπαντος. Αυτή η χωρική απομόνωση παρέχει μια εγγύηση ότι δεν μπορούν να επικοινωνήσουν. Οι ερευνητές αναλύουν αυτήν την κατάσταση χρησιμοποιώντας αυτό που ονομάζεται μοντέλο "προϊόντος τανυστήρα" (αναφέρεται σε μαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται τανυστές).
Αλλά υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να διασφαλίσετε ότι οι παίκτες δεν μπορούν να συνωμοτήσουν στις απαντήσεις τους. Αντί να τα διαχωρίσετε, επιβάλλετε μια διαφορετική απαίτηση:Η σειρά με την οποία οι δύο παίκτες μετρούν τα μπερδεμένα σωματίδια τους και δίνουν τις απαντήσεις τους δεν μπορεί να επηρεάσει τις απαντήσεις που δίνουν. "Αν η σειρά με την οποία κάνουν τις μετρήσεις τους δεν έχει σημασία, τότε σαφώς δεν μπορούν να επικοινωνήσουν", είπε ο Yuen.
Στα μαθηματικά, όταν η σειρά με την οποία γίνονται τα πράγματα δεν επηρεάζει την τελική απάντηση, λέτε ότι η λειτουργία μετακινείται:a × β =β × a . Αυτός ο τρόπος σκέψης για τα μη τοπικά παιχνίδια — που βασίζεται στην ανεξαρτησία της παραγγελίας αντί για τον χωρικό διαχωρισμό — ονομάζεται μοντέλο "τελεστής μετακίνησης".
Τα μοντέλα προϊόντος τανυστήρα και χειριστή μετακίνησης χρησιμοποιούνται στη φυσική, ιδιαίτερα στη μελέτη των αλληλεπιδράσεων μεταξύ υποατομικών σωματιδίων σε μια περιοχή έρευνας που ονομάζεται κβαντική θεωρία πεδίου. Τα δύο μοντέλα είναι διαφορετικοί τρόποι σκέψης για το τι σημαίνει τα φυσικά γεγονότα να είναι αιτιωδώς ανεξάρτητα μεταξύ τους. Και ενώ το μοντέλο προϊόντος τανυστήρα είναι πιο διαισθητικό - το μάτι του μυαλού μας τείνει να απεικονίζει την αιτιολογική ανεξαρτησία από την άποψη του φυσικού διαχωρισμού - το μοντέλο χειριστή μετακίνησης παρέχει ένα πιο συνεκτικό μαθηματικό πλαίσιο. Αυτό συμβαίνει επειδή η "χωρική ανεξαρτησία" είναι ένα είδος ασαφής ιδέας, ενώ μια σχέση μετακίνησης μπορεί να καθοριστεί ακριβώς.
«Για τους ανθρώπους που μελετούν την κβαντική θεωρία πεδίων, αυτή η έννοια της ύπαρξης χωρικά χωριστών πραγμάτων δεν είναι μια φυσική ιδέα», είπε ο Yuen. "Σε μαθηματικό επίπεδο δεν είναι δεδομένο ότι μπορείς πραγματικά να βάλεις δύο ανεξάρτητα πράγματα σε δύο ξεχωριστές τοποθεσίες στο σύμπαν."
Να τι σχέση έχουν όλα αυτά με μη τοπικά παιχνίδια.
Οι επιστήμονες υπολογιστών μπορούν να χρησιμοποιήσουν το μοντέλο τανυστή-προϊόντος για να υπολογίσουν έναν όροφο για τη μέγιστη πιθανότητα κέρδους των μη τοπικών παιχνιδιών. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιούν εγγυάται ότι η μέγιστη πιθανότητα κέρδους είναι πάνω από ένα συγκεκριμένο όριο. Ομοίως, οι ερευνητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν το μοντέλο χειριστή μετακίνησης για να καθορίσουν ένα ανώτατο όριο για τη μέγιστη πιθανότητα κέρδους. Αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να υποσχεθεί ότι βρίσκεται κάτω από κάποιο όριο.
Με αυτά τα εργαλεία στο χέρι, οι ερευνητές θέλουν να πιέσουν αυτά τα όρια όσο πιο κοντά μπορούν, σαν δύο έμβολα. Γνωρίζουν ότι δεν μπορούν να αγγίξουν αυτά τα δύο όρια για να παράγουν μια ακριβή πιθανότητα μέγιστου κέρδους - πρόσφατη εργασία των Slofstra, Coladangelo και Stark απέδειξε ότι η ακριβής πιθανότητα μέγιστου κέρδους είναι ανυπολόγιστη - αλλά όσο πιο κοντά μπορούν να τα φέρουν κοντά, Ακριβέστερα μπορούν να προσεγγίσουν τη μέγιστη πιθανότητα κέρδους.
Και πράγματι, όσο περισσότερο τρέχουν αυτοί οι αλγόριθμοι, τόσο περισσότερο τα δύο έμβολα φαίνονται να ενώνονται, παράγοντας πιο λεπτές και πιο λεπτές προσεγγίσεις γύρω από μια άφατη μέση τιμή που δεν θα φτάσουν ποτέ στην πραγματικότητα. Ωστόσο, δεν είναι σαφές εάν αυτή η παρατηρούμενη σύγκλιση συνεχίζεται επ' αόριστον. «Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι εντελώς μυστηριώδεις. Δεν είναι μια σταδιακή, ομαλή βελτίωση των αριθμών. Απλώς δεν καταλαβαίνουμε πόσο γρήγορα συγκλίνουν», είπε ο Yuen.
Αυτή η στρατηγική εμβόλου βασίζεται στο ότι τα δύο μοντέλα είναι ισοδύναμα. Υποθέτει ότι η οροφή και το δάπεδο συμπιέζουν μια τιμή στη μέση. Εάν τα δύο μοντέλα είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμα, τότε τα δύο έμβολα είναι πραγματικά σε καλό δρόμο για να πλησιάσουν αυθαίρετα. (Και σιωπηρά, αν μπορείτε να αποδείξετε ότι τα έμβολα είναι σε καλό δρόμο για να πλησιάσουν αυθαίρετα, έχετε επίσης αποδείξει ότι τα δύο μοντέλα είναι ισοδύναμα.)
Αλλά είναι πιθανό τα δύο μοντέλα να μην είναι διαφορετικοί τρόποι αναπαράστασης του ίδιου πράγματος. Είναι πιθανό να είναι διαφορετικά, απαράμιλλα, και ως αποτέλεσμα αυτή η στρατηγική εμβόλου μπορεί να οδηγήσει σε μια κατάσταση όπου η οροφή πιέζεται κάτω από το πάτωμα. Σε αυτή την περίπτωση, οι επιστήμονες υπολογιστών θα έχαναν την καλύτερη στρατηγική τους για την προσέγγιση των πιθανοτήτων μέγιστου κέρδους. Δυστυχώς, κανείς δεν ξέρει με βεβαιότητα.
Τα τελευταία δύο χρόνια, η μεγαλύτερη πρόοδος σημειώθηκε με τη μορφή δύο αποδείξεων που απλώς έδειξαν πόσο δύσκολο είναι να λυθεί το πρόβλημα.
Το 2018 οι Thomas Vidick και Anand Natarajan απέδειξαν ότι η προσέγγιση των πιθανοτήτων μέγιστου κέρδους για μη τοπικά παιχνίδια είναι τουλάχιστον εξίσου δύσκολη με την επίλυση άλλων εξαιρετικά δύσκολων γρίφων, όπως το πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή. Επίσης το 2018, οι Yuen, Vidick, Joseph Fitzsimons και Zhengfeng Ji απέδειξαν ότι καθώς τα έμβολα πλησιάζουν το ένα στο άλλο, οι υπολογιστικοί πόροι που απαιτούνται για να τα ωθήσουν πιο κοντά μεταξύ τους αυξάνονται εκθετικά.
Σε μια άλλη ανατροπή της ιστορίας, το ερώτημα εάν τα δύο μοντέλα είναι ισοδύναμα είναι ένα άμεσο ανάλογο ενός σημαντικού και δύσκολου ανοιχτού προβλήματος στα καθαρά μαθηματικά που ονομάζεται εικασία ενσωμάτωσης του Connes. Αυτό φέρνει τους μαθηματικούς και τους επιστήμονες υπολογιστών σε μια κατάσταση τριών πτηνών με μία πέτρα:Αποδεικνύοντας ότι το προϊόν τανυστήρα και τα μοντέλα χειριστή μετακίνησης είναι ισοδύναμα, θα δημιουργούσαν ταυτόχρονα έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό κατά προσέγγιση πιθανοτήτων μέγιστου κέρδους και επίσης αποδείξει την αλήθεια της εικασίας ενσωμάτωσης του Connes. Το επίτευγμα θα κέρδιζε υπέρτατους επαίνους σε όλους τους σχετικούς τομείς.
Πράγματι, εύστοχα, όλες οι ερωτήσεις είναι βαθιά μπερδεμένες.
Αυτό το άρθρο ανατυπώθηκε στα ισπανικά στη διεύθυνση Investigacionyciencia.es .
