Εμφανίζεται η μαθηματική δομή των συγκρούσεων σωματιδίων

Όταν οι φυσικοί των σωματιδίων προσπαθούν να μοντελοποιήσουν πειράματα, αντιμετωπίζουν έναν αδύνατο υπολογισμό - μια απείρως μεγάλη εξίσωση που βρίσκεται πέρα ​​από την εμβέλεια των σύγχρονων μαθηματικών.

Ευτυχώς, μπορούν να δημιουργήσουν σε μεγάλο βαθμό ακριβείς προβλέψεις χωρίς να δουν αυτά τα απόκρυφα μαθηματικά μέχρι το τέλος. Συντομεύοντας τον υπολογισμό, οι επιστήμονες του Μεγάλου Επιταχυντή Αδρονίων του CERN στην Ευρώπη κάνουν προβλέψεις που ταιριάζουν με γεγονότα που στην πραγματικότητα παρατηρούν όταν στέλνουν υποατομικά σωματίδια το ένα προς το άλλο γύρω από μια τροχιά μήκους σχεδόν 17 μιλίων.

Δυστυχώς, η εποχή της συμφωνίας μεταξύ πρόβλεψης και παρατήρησης μπορεί να τελειώνει. Καθώς οι μετρήσεις γίνονται πιο ακριβείς, τα σχήματα προσέγγισης που χρησιμοποιούν οι θεωρητικοί για να κάνουν προβλέψεις ενδέχεται να μην είναι σε θέση να συμβαδίσουν.

«Κοντεύουμε να εξαντλήσουμε αυτό που μπορεί να γίνει», δήλωσε ο Claude Duhr, σωματιδιακός φυσικός στο CERN.

Αλλά τρεις πρόσφατες εργασίες από μια ομάδα φυσικών με επικεφαλής τον Pierpaolo Mastrolia του Πανεπιστημίου της Πάντοβα στην Ιταλία και τον Sebastian Mizera του Ινστιτούτου Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον του Νιου Τζέρσεϊ, αποκάλυψαν μια υποκείμενη μαθηματική δομή στις εξισώσεις. Η δομή παρέχει έναν νέο τρόπο κατάρρευσης ατέρμονων όρων σε δεκάδες μόνο βασικά στοιχεία. Η μέθοδός τους μπορεί να συμβάλει στη δημιουργία νέων επιπέδων προγνωστικής ακρίβειας, τα οποία οι θεωρητικοί χρειάζονται απεγνωσμένα εάν θέλουν να προχωρήσουν πέρα ​​από το κορυφαίο αλλά ημιτελές μοντέλο της σωματιδιακής φυσικής.

"Έχουν παραδώσει πολλά αποτελέσματα απόδειξης της ιδέας που δείχνουν ότι αυτή είναι μια πολλά υποσχόμενη τεχνική", είπε ο Duhr.

Θα μπορούσε να υπάρξει μεγαλύτερη ανταμοιβή από βελτιωμένες προβλέψεις.

Η νέα μέθοδος παρακάμπτει το παραδοσιακό μαθηματικό slog υπολογίζοντας απευθείας τους «αριθμούς τομής», κάτι που κάποιοι ελπίζουν ότι θα μπορούσε τελικά να οδηγήσει σε μια πιο κομψή περιγραφή του υποατομικού κόσμου.

«Αυτό είναι κάτι που δεν είναι μόνο μαθηματικά», είπε ο Simon Caron-Huot από το Πανεπιστήμιο McGill, ένας κβαντικός θεωρητικός που μελετά τις επιπτώσεις του έργου της Mastrolia και της Mizera. «Είναι κάτι που έχει εμπλακεί βαθιά στην κβαντική θεωρία πεδίου».

Ένας άπειρος βρόχος

Όταν οι φυσικοί μοντελοποιούν τις συγκρούσεις σωματιδίων χρησιμοποιούν ένα εργαλείο που ονομάζεται διάγραμμα Feynman, ένα απλό σχηματικό σχέδιο που εφευρέθηκε από τον Richard Feynman τη δεκαετία του 1940.

Για να πάρετε μια αίσθηση για αυτά τα διαγράμματα, σκεφτείτε ένα απλό συμβάν σωματιδίων:Δύο κουάρκ εισχωρούν σε ραβδώσεις, ανταλλάσσουν ένα μόνο γκλουόνιο καθώς «συγκρούονται» και μετά αναπηδούν στις ξεχωριστές τροχιές τους.

Σε ένα διάγραμμα Feynman τα μονοπάτια των κουάρκ αντιπροσωπεύονται από «πόδια», τα οποία ενώνονται για να σχηματίσουν «κορυφές» όταν τα σωματίδια αλληλεπιδρούν. Ο Φάινμαν ανέπτυξε κανόνες για να μετατρέψει αυτό το καρτούν σε εξίσωση που υπολογίζει την πιθανότητα να λάβει χώρα το γεγονός:Γράφεις μια συγκεκριμένη συνάρτηση για κάθε σκέλος και κορυφή - γενικά ένα κλάσμα που περιλαμβάνει τη μάζα και την ορμή του σωματιδίου - και πολλαπλασιάζεις τα πάντα μαζί. Για απλά σενάρια όπως αυτό, ο υπολογισμός μπορεί να ταιριάζει σε μια χαρτοπετσέτα κοκτέιλ.

Αλλά ο χρυσός κανόνας της κβαντικής θεωρίας είναι να ληφθούν υπόψη όλες οι πιθανότητες, και η ανταλλαγή ενός απλού γλουονίου αντιπροσωπεύει μόνο ένα από ένα τεράστιο τοπίο σεναρίων που θα μπορούσαν να εκτυλιχθούν όταν δύο κουάρκ συγκρούονται. Το ανταλλασσόμενο γκλουόνιο μπορεί στιγμιαία να χωριστεί σε ένα «εικονικό» ζεύγος κουάρκ, για παράδειγμα, πριν ανασυσταθεί αστραπιαία. Δύο κουάρκ μπαίνουν και δύο κουάρκ φεύγουν, αλλά πολλά μπορούν να συμβούν στη μέση. Μια πλήρης λογιστική, που συνεπάγεται μια τέλεια πρόβλεψη, θα απαιτούσε έναν άπειρο αριθμό διαγραμμάτων. Κανείς δεν περιμένει την τελειότητα, αλλά το κλειδί για τη βελτίωση της ακρίβειας ενός υπολογισμού είναι να προχωρά κανείς περισσότερο στην άπειρη σειρά των γεγονότων. 

Και εκεί είναι που κολλάνε οι φυσικοί.

Η μεγέθυνση σε αυτό το κρυφό κέντρο περιλαμβάνει εικονικά σωματίδια - κβαντικές διακυμάνσεις που επηρεάζουν διακριτικά το αποτέλεσμα κάθε αλληλεπίδρασης. Η φευγαλέα ύπαρξη του ζεύγους κουάρκ παραπάνω, όπως πολλά εικονικά συμβάντα, αντιπροσωπεύεται από ένα διάγραμμα Feynman με κλειστό «βρόχο». Οι βρόχοι μπερδεύουν τους φυσικούς - είναι μαύρα κουτιά που εισάγουν πρόσθετα στρώματα άπειρων σεναρίων. Για να υπολογίσουν τις πιθανότητες που συνεπάγεται ένας βρόχος, οι θεωρητικοί πρέπει να στραφούν σε μια πράξη άθροισης γνωστή ως ολοκλήρωμα. Αυτά τα ολοκληρώματα παίρνουν τερατώδεις διαστάσεις στα διαγράμματα Feynman πολλαπλών βρόχων, τα οποία μπαίνουν στο παιχνίδι καθώς οι ερευνητές προχωρούν στη γραμμή και αναδιπλώνονται σε πιο περίπλοκες εικονικές αλληλεπιδράσεις.

Οι φυσικοί έχουν αλγόριθμους για να υπολογίσουν τις πιθανότητες των σεναρίων χωρίς βρόχο και ενός βρόχου, αλλά πολλές συγκρούσεις δύο βρόχων γονατίζουν τους υπολογιστές. Αυτό επιβάλλει ένα ανώτατο όριο στην προγνωστική ακρίβεια - και στο πόσο καλά οι φυσικοί μπορούν να καταλάβουν τι λέει η κβαντική θεωρία.

Αλλά υπάρχει ένα μικρό έλεος:οι φυσικοί δεν χρειάζεται να υπολογίζουν κάθε τελευταίο ολοκλήρωμα σε ένα περίπλοκο διάγραμμα Feynman επειδή η συντριπτική πλειοψηφία μπορεί να συγκεντρωθεί μαζί.

Χιλιάδες ολοκληρώματα μπορούν να μειωθούν σε μόλις δεκάδες «κύρια ολοκληρώματα», τα οποία σταθμίζονται και αθροίζονται. Αλλά ακριβώς ποια ολοκληρώματα μπορούν να υπαχθούν κάτω από ποια κύρια ολοκληρώματα είναι από μόνη της μια δύσκολη υπολογιστική ερώτηση. Οι ερευνητές χρησιμοποιούν υπολογιστές για να μαντέψουν ουσιαστικά εκατομμύρια σχέσεις και να εξάγουν με κόπο τους συνδυασμούς των ολοκληρωμάτων που έχουν σημασία.

Αλλά με τους αριθμούς τομής, οι φυσικοί μπορεί να έχουν βρει έναν τρόπο να βγάλουν κομψά τις βασικές πληροφορίες από έναν εκτεταμένο υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Feynman.

Ένα γεωμετρικό δακτυλικό αποτύπωμα 

Η δουλειά της Mastrolia και της Mizera έχει τις ρίζες της σε έναν κλάδο των καθαρών μαθηματικών που ονομάζεται αλγεβρική τοπολογία, η οποία ταξινομεί σχήματα και χώρους. Οι μαθηματικοί επιδιώκουν αυτήν την ταξινόμηση με θεωρίες «κοομολογίας», οι οποίες τους επιτρέπουν να εξάγουν αλγεβρικά αποτυπώματα από περίπλοκους γεωμετρικούς χώρους.

"Είναι ένα είδος περίληψης, ένα αλγεβρικό gadget που ενσωματώνει την ουσία του χώρου που θέλετε να μελετήσετε", δήλωσε ο Clément Dupont, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ στη Γαλλία.

Τα διαγράμματα Feynman μπορούν να μεταφραστούν σε γεωμετρικούς χώρους που είναι επιδεκτικοί σε ανάλυση με κοομολογία. Κάθε σημείο μέσα σε αυτούς τους χώρους μπορεί να αντιπροσωπεύει ένα από τα πολλά σενάρια που θα μπορούσαν να διαδραματιστούν όταν δύο σωματίδια συγκρούονται.

Θα μπορούσατε να ελπίζετε, αφελώς, ότι παίρνοντας τη συνομολογία αυτού του χώρου - βρίσκοντας την αλγεβρική δομή του - θα μπορούσατε να υπολογίσετε τα βάρη για τα κύρια ολοκληρώματα που τον υποστηρίζουν. Αλλά ο τύπος του γεωμετρικού χώρου που χαρακτηρίζει τα περισσότερα διαγράμματα Feynman είναι παραμορφωμένος με τρόπο που αντιστέκεται σε πολλούς υπολογισμούς συνομολογίας.

Το 2017, ο Mizera πάλευε να αναλύσει πώς τα αντικείμενα στη θεωρία χορδών συγκρούονται όταν έπεσε πάνω σε εργαλεία που πρωτοστάτησαν οι Israel Gelfand και Kazuhiko Aomoto τις δεκαετίες του 1970 και του 1980, καθώς δούλευαν με έναν τύπο κοομολογίας που ονομάζεται «στριμμένη κοομολογία». Αργότερα το ίδιο έτος η Mizera συνάντησε τη Mastrolia, η οποία συνειδητοποίησε ότι αυτές οι τεχνικές θα μπορούσαν να λειτουργήσουν και για τα διαγράμματα Feynman. Πέρυσι δημοσίευσαν τρεις εργασίες που χρησιμοποίησαν αυτή τη θεωρία συνομολογίας για να εξορθολογίσουν τους υπολογισμούς που αφορούν απλές συγκρούσεις σωματιδίων.

Η μέθοδός τους παίρνει μια οικογένεια σχετικών φυσικών σεναρίων, την αναπαριστά ως γεωμετρικό χώρο και υπολογίζει τη στριμμένη συνομολογία αυτού του χώρου. "Αυτή η στριμμένη κοομολογία έχει τα πάντα να πει για τα ολοκληρώματα που μας ενδιαφέρουν", είπε ο Mizera.

Συγκεκριμένα, η στριμμένη συνομολογία τους λέει πόσα κύρια ολοκληρώματα να περιμένουν και ποια θα πρέπει να είναι τα βάρη τους. Τα βάρη εμφανίζονται ως τιμές που ονομάζουν «αριθμοί τομής». Στο τέλος, χιλιάδες ολοκληρώματα συρρικνώνονται σε ένα σταθμισμένο άθροισμα δεκάδων κύριων ολοκληρωμάτων.

Οι θεωρίες συνομολογίας που παράγουν αυτούς τους αριθμούς τομής μπορεί να κάνουν περισσότερα από το να διευκολύνουν απλώς μια υπολογιστική επιβάρυνση — θα μπορούσαν επίσης να υποδείξουν τη φυσική σημασία των πιο σημαντικών ποσοτήτων στον υπολογισμό.

Για παράδειγμα, όταν ένα εικονικό γλουόνιο χωρίζεται σε δύο εικονικά κουάρκ, η πιθανή διάρκεια ζωής των κουάρκ μπορεί να ποικίλλει. Στον σχετικό γεωμετρικό χώρο, κάθε σημείο μπορεί να αντιστοιχεί σε διαφορετική διάρκεια ζωής κουάρκ. Όταν οι ερευνητές υπολογίζουν τα βάρη, βλέπουν ότι τα σενάρια με τα εικονικά σωματίδια με τη μεγαλύτερη διάρκεια — δηλαδή περιπτώσεις όπου τα σωματίδια γίνονται ουσιαστικά πραγματικά — διαμορφώνουν περισσότερο το αποτέλεσμα.

«Αυτό είναι το καταπληκτικό με αυτή τη μέθοδο», είπε η Caron-Huot. "Ανακατασκευάζει τα πάντα ξεκινώντας από αυτά τα σπάνια, ειδικά γεγονότα."

Την περασμένη εβδομάδα, η Mizera, η Mastrolia και οι συνεργάτες της δημοσίευσαν μια άλλη προεκτύπωση που δείχνει ότι η τεχνική έχει ωριμάσει αρκετά για να χειριστεί διαγράμματα δύο βρόχων πραγματικού κόσμου. Μια προσεχής δημοσίευση από την Caron-Huot θα ωθήσει περαιτέρω τη μέθοδο, ίσως φέρνοντας στην άκρη τα διαγράμματα τριών βρόχων.

Εάν είναι επιτυχής, η τεχνική θα μπορούσε να βοηθήσει στην εισαγωγή της επόμενης γενιάς θεωρητικών προβλέψεων. Και, μερικοί ερευνητές υποπτεύονται, μπορεί ακόμη και να προμηνύει μια νέα προοπτική για την πραγματικότητα.