Πώς το Μαθηματικό «Hocus-Pocus» έσωσε τη Φυσική των Σωματιδίων

Στη δεκαετία του 1940, πρωτοπόροι φυσικοί σκόνταψαν στο επόμενο επίπεδο πραγματικότητας. Τα σωματίδια ήταν έξω και τα πεδία — επεκτατικές, κυματιστές οντότητες που γεμίζουν το διάστημα σαν ωκεανός — ήταν μέσα. Ένας κυματισμός σε ένα πεδίο θα ήταν ένα ηλεκτρόνιο, ένας άλλος ένα φωτόνιο, και οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους φαινόταν να εξηγούν όλα τα ηλεκτρομαγνητικά συμβάντα.

Υπήρχε μόνο ένα πρόβλημα:Η θεωρία ήταν κολλημένη με ελπίδες και προσευχές. Μόνο με τη χρήση μιας τεχνικής που ονομαζόταν «επανακανονικοποίηση», η οποία περιλάμβανε την προσεκτική απόκρυψη άπειρων ποσοτήτων, θα μπορούσαν οι ερευνητές να παρακάμψουν τις ψευδείς προβλέψεις. Η διαδικασία λειτούργησε, αλλά ακόμη και εκείνοι που ανέπτυξαν τη θεωρία υποψιάστηκαν ότι μπορεί να ήταν ένα σπίτι από τραπουλόχαρτα που στηρίζεται σε ένα βασανισμένο μαθηματικό τέχνασμα.

«Είναι αυτό που θα ονόμαζα διττή διαδικασία», έγραψε αργότερα ο Ρίτσαρντ Φάινμαν. «Η ανάγκη να καταφύγουμε σε τέτοιου είδους hocus-pocus μας εμπόδισε να αποδείξουμε ότι η θεωρία της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής είναι μαθηματικά συνεπής με τον εαυτό της».

Η δικαιολόγηση ήρθε δεκαετίες αργότερα από έναν φαινομενικά άσχετο κλάδο της φυσικής. Οι ερευνητές που μελετούν τη μαγνήτιση ανακάλυψαν ότι η επανακανονικοποίηση δεν αφορούσε καθόλου τα άπειρα. Αντίθετα, μίλησε για το διαχωρισμό του σύμπαντος σε βασίλεια ανεξάρτητων μεγεθών, μια προοπτική που καθοδηγεί πολλές γωνιές της φυσικής σήμερα.

Η επανακανονικοποίηση, γράφει ο Ντέιβιντ Τονγκ, θεωρητικός στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, είναι «αναμφισβήτητα η πιο σημαντική πρόοδος στη θεωρητική φυσική τα τελευταία 50 χρόνια».

A Tale of Two Charges

Με ορισμένα μέτρα, οι θεωρίες πεδίου είναι οι πιο επιτυχημένες θεωρίες σε όλη την επιστήμη. Η θεωρία της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής (QED), η οποία αποτελεί έναν πυλώνα του Καθιερωμένου Μοντέλου της Φυσικής των Σωματιδίων, έχει κάνει θεωρητικές προβλέψεις που ταιριάζουν με τα πειραματικά αποτελέσματα με ακρίβεια ενός μέρους στο δισεκατομμύριο.

Αλλά στις δεκαετίες του 1930 και του 1940, το μέλλον της θεωρίας δεν ήταν καθόλου εξασφαλισμένο. Η προσέγγιση της πολύπλοκης συμπεριφοράς των πεδίων συχνά έδινε ανόητες, άπειρες απαντήσεις που έκαναν ορισμένους θεωρητικούς να πιστεύουν ότι οι θεωρίες πεδίου μπορεί να είναι αδιέξοδο.

Ο Feynman και άλλοι αναζήτησαν εντελώς νέες προοπτικές - ίσως ακόμη και μια που θα επέστρεφε τα σωματίδια στο επίκεντρο - αλλά επέστρεψαν με ένα hack. Οι εξισώσεις του QED έκαναν αξιοσέβαστες προβλέψεις, βρήκαν, εάν επιδιορθωθούν με την ανεξιχνίαστη διαδικασία της επανακανονικοποίησης.

Η άσκηση πάει κάπως έτσι. Όταν ένας υπολογισμός QED οδηγεί σε ένα άπειρο άθροισμα, κόψτε το. Γεμίστε το μέρος που θέλει να γίνει άπειρο σε έναν συντελεστή - έναν σταθερό αριθμό - μπροστά από το άθροισμα. Αντικαταστήστε αυτόν τον συντελεστή με μια πεπερασμένη μέτρηση από το εργαστήριο. Τέλος, αφήστε το πρόσφατα εξημερωμένο άθροισμα να επιστρέψει στο άπειρο.

Σε κάποιους, η συνταγή έμοιαζε με κέλυφος. "Αυτά δεν είναι λογικά μαθηματικά", έγραψε ο Paul Dirac, ένας πρωτοποριακός θεωρητικός των κβαντικών.

Ο πυρήνας του προβλήματος — και ο σπόρος της τελικής του λύσης — μπορεί να φανεί στον τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί αντιμετώπισαν το φορτίο του ηλεκτρονίου.

Στο παραπάνω σχήμα, το ηλεκτρικό φορτίο προέρχεται από τον συντελεστή — την τιμή που καταπίνει το άπειρο κατά τη μαθηματική ανακάτεμα. Στους θεωρητικούς που προβληματίζονται σχετικά με το φυσικό νόημα της επανακανονικοποίησης, το QED άφησε να εννοηθεί ότι το ηλεκτρόνιο είχε δύο φορτία:ένα θεωρητικό φορτίο, το οποίο ήταν άπειρο, και το μετρούμενο φορτίο, το οποίο δεν ήταν. Ίσως ο πυρήνας του ηλεκτρονίου να είχε άπειρο φορτίο. Αλλά στην πράξη, τα φαινόμενα κβαντικού πεδίου (τα οποία θα μπορούσατε να οραματιστείτε ως ένα εικονικό νέφος θετικών σωματιδίων) κάλυπταν το ηλεκτρόνιο έτσι ώστε οι πειραματιστές μέτρησαν μόνο ένα μέτριο καθαρό φορτίο.

Δύο φυσικοί, ο Murray Gell-Mann και ο Francis Low, υλοποίησαν αυτή την ιδέα το 1954. Συνέδεσαν τα δύο φορτία ηλεκτρονίων με ένα «αποτελεσματικό» φορτίο που ποικίλλει ανάλογα με την απόσταση. Όσο πλησιάζετε (και όσο περισσότερο διεισδύετε στο θετικό μανδύα του ηλεκτρονίου), τόσο περισσότερο φορτίο βλέπετε.

Το έργο τους ήταν το πρώτο που συνέδεσε την επανακανονικοποίηση με την ιδέα της κλίμακας. Υπαινίχθηκε ότι οι κβαντικοί φυσικοί είχαν βρει τη σωστή απάντηση στη λάθος ερώτηση. Αντί να ανησυχούν για τα άπειρα, θα έπρεπε να έχουν επικεντρωθεί στη σύνδεση μικροσκοπικών με τεράστια.

Η επανακανονικοποίηση είναι «η μαθηματική εκδοχή ενός μικροσκοπίου», είπε η Astrid Eichhorn, φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Δανίας που χρησιμοποιεί την επανακανονικοποίηση για να αναζητήσει θεωρίες κβαντικής βαρύτητας. «Και αντίστροφα, μπορείτε να ξεκινήσετε με το μικροσκοπικό σύστημα και να κάνετε σμίκρυνση. Είναι ένας συνδυασμός μικροσκοπίου και τηλεσκοπίου."

Οι μαγνήτες σώζουν την ημέρα

Μια δεύτερη ένδειξη προέκυψε από τον κόσμο της συμπυκνωμένης ύλης, όπου οι φυσικοί προβληματίζονταν για το πώς ένα μοντέλο ακατέργαστου μαγνήτη κατάφερε να καρφώσει τις λεπτές λεπτομέρειες ορισμένων μετασχηματισμών. Το μοντέλο Ising αποτελούνταν από κάτι περισσότερο από ένα πλέγμα ατομικών βελών που το καθένα μπορούσε να δείχνει μόνο προς τα πάνω ή προς τα κάτω, ωστόσο προέβλεψε τις συμπεριφορές των μαγνητών της πραγματικής ζωής με απίθανη τελειότητα.

Σε χαμηλές θερμοκρασίες, τα περισσότερα άτομα ευθυγραμμίζονται, μαγνητίζοντας το υλικό. Σε υψηλές θερμοκρασίες αναπτύσσονται άτακτα και το πλέγμα απομαγνητίζεται. Αλλά σε ένα κρίσιμο σημείο μετάβασης, συνυπάρχουν νησίδες ευθυγραμμισμένων ατόμων όλων των μεγεθών. Είναι πολύ σημαντικό, ότι οι τρόποι με τους οποίους ποικίλλουν ορισμένες ποσότητες γύρω από αυτό το «κρίσιμο σημείο» εμφανίστηκαν πανομοιότυποι στο μοντέλο Ising, σε πραγματικούς μαγνήτες διαφορετικών υλικών, ακόμη και σε άσχετα συστήματα, όπως η μετάβαση σε υψηλή πίεση όπου το νερό δεν διακρίνεται από τον ατμό. Η ανακάλυψη αυτού του φαινομένου, το οποίο οι θεωρητικοί ονόμασαν καθολικότητα, ήταν τόσο περίεργη όσο η διαπίστωση ότι οι ελέφαντες και οι τσικνιάς κινούνται ακριβώς με την ίδια μέγιστη ταχύτητα.

Οι φυσικοί συνήθως δεν ασχολούνται με αντικείμενα διαφορετικών μεγεθών ταυτόχρονα. Αλλά η καθολική συμπεριφορά γύρω από κρίσιμα σημεία τους ανάγκασε να υπολογίζουν με όλες τις κλίμακες μήκους ταυτόχρονα.

Ο Leo Kadanoff, ένας ερευνητής συμπυκνωμένης ύλης, ανακάλυψε πώς να το κάνει το 1966. Ανέπτυξε μια τεχνική "block spin", σπάζοντας ένα πλέγμα Ising πολύ περίπλοκο για να αντιμετωπιστεί κατά μέτωπο σε μέτρια μπλοκ με λίγα βέλη ανά πλευρά. Υπολόγισε τον μέσο προσανατολισμό μιας ομάδας βελών και αντικατέστησε ολόκληρο το μπλοκ με αυτήν την τιμή. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, εξομάλυνσε τις λεπτές λεπτομέρειες του πλέγματος, μεγεθύνοντας τη συνολική συμπεριφορά του συστήματος.

Τέλος, ο Ken Wilson — ένας πρώην μεταπτυχιακός φοιτητής του Gell-Mann με πόδια στους κόσμους τόσο της σωματιδιακής φυσικής όσο και της συμπυκνωμένης ύλης — ένωσε τις ιδέες του Gell-Mann και του Low με εκείνες του Kadanoff. Η «ομάδα επανακανονικοποίησης» του, την οποία περιέγραψε για πρώτη φορά το 1971, δικαιολόγησε τους βασανισμένους υπολογισμούς του QED και παρείχε μια σκάλα για να ανέβει στις κλίμακες των καθολικών συστημάτων. Το έργο κέρδισε τον Wilson ένα βραβείο Νόμπελ και άλλαξε τη φυσική για πάντα.

Ο καλύτερος τρόπος για να αντιληφθεί κανείς την ομάδα επανακανονικοποίησης του Wilson, είπε ο Paul Fendley, θεωρητικός της συμπυκνωμένης ύλης στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, είναι ως μια «θεωρία θεωριών» που συνδέει το μικροσκοπικό με το μακροσκοπικό.

Σκεφτείτε το μαγνητικό πλέγμα. Σε μικροσκοπικό επίπεδο, είναι εύκολο να γράψετε μια εξίσωση που συνδέει δύο γειτονικά βέλη. Αλλά η λήψη αυτής της απλής φόρμουλας και η παρέκτασή της σε τρισεκατομμύρια σωματίδια είναι ουσιαστικά αδύνατη. Σκέφτεστε σε λάθος κλίμακα.

Η ομάδα επανακανονικοποίησης του Wilson περιγράφει έναν μετασχηματισμό από μια θεωρία των δομικών στοιχείων σε μια θεωρία δομών. Ξεκινάς με μια θεωρία μικρών κομματιών, λένε τα άτομα σε μια μπάλα του μπιλιάρδου. Γυρίστε τη μαθηματική μανιβέλα του Wilson και θα λάβετε μια σχετική θεωρία που περιγράφει ομάδες από αυτά τα κομμάτια - ίσως μόρια μπάλας του μπιλιάρδου. Καθώς συνεχίζετε να κινείστε, μεγεθύνετε σε ολοένα και μεγαλύτερες ομάδες - ομάδες μορίων μπάλας του μπιλιάρδου, τομείς μπάλες του μπιλιάρδου και ούτω καθεξής. Τελικά θα μπορείτε να υπολογίσετε κάτι ενδιαφέρον, όπως η διαδρομή μιας ολόκληρης μπάλας του μπιλιάρδου.

Αυτή είναι η μαγεία της ομάδας επανακανονικοποίησης:Βοηθά στον προσδιορισμό ποιες ποσότητες μεγάλων εικόνων είναι χρήσιμες για μέτρηση και ποιες σύνθετες μικροσκοπικές λεπτομέρειες μπορούν να αγνοηθούν. Ένας σέρφερ νοιάζεται για τα ύψη των κυμάτων, όχι για το τράνταγμα των μορίων του νερού. Ομοίως, στην υποατομική φυσική, η επανακανονικοποίηση λέει στους φυσικούς πότε μπορούν να αντιμετωπίσουν ένα σχετικά απλό πρωτόνιο σε αντίθεση με το κουβάρι των εσωτερικών κουάρκ του.

Η ομάδα επανακανονικοποίησης του Wilson πρότεινε επίσης ότι τα δεινά του Feynman και των συγχρόνων του προήλθαν από την προσπάθεια κατανόησης του ηλεκτρονίου από απείρως κοντινή απόσταση. «Δεν περιμένουμε [θεωρίες] να ισχύουν σε αυθαίρετα μικρές κλίμακες [απόστασης]», είπε ο Τζέιμς Φρέιζερ, φιλόσοφος της φυσικής στο Πανεπιστήμιο του Ντάραμ στο Ηνωμένο Βασίλειο. Οι φυσικοί τώρα καταλαβαίνουν ότι περικόπτουν μαθηματικά τα ποσά και ανακατεύοντας το άπειρο. , είναι ο σωστός τρόπος για να κάνετε έναν υπολογισμό όταν η θεωρία σας έχει ένα ενσωματωμένο ελάχιστο μέγεθος πλέγματος. "Η αποκοπή απορροφά την άγνοιά μας για το τι συμβαίνει" σε χαμηλότερα επίπεδα, είπε ο Fraser.

Με άλλα λόγια, το QED και το Καθιερωμένο Μοντέλο απλά δεν μπορούν να πουν ποιο είναι το γυμνό φορτίο του ηλεκτρονίου από μηδέν νανόμετρα μακριά. Είναι αυτό που οι φυσικοί αποκαλούν «αποτελεσματικές» θεωρίες. Λειτουργούν καλύτερα σε καλά καθορισμένα εύρη αποστάσεων. Το να μάθετε ακριβώς τι συμβαίνει όταν τα σωματίδια γίνονται ακόμη πιο ζεστά είναι ένας κύριος στόχος της φυσικής υψηλής ενέργειας.

Από μεγάλο σε μικρό

Σήμερα, η «dippy διαδικασία» του Feynman έχει γίνει τόσο πανταχού παρούσα στη φυσική όσο ο λογισμός, και η μηχανική της αποκαλύπτει τους λόγους για μερικές από τις μεγαλύτερες επιτυχίες του κλάδου και τις τρέχουσες προκλήσεις του. Κατά τη διάρκεια της επανακανονικοποίησης, οι πολύπλοκες υπομικροσκοπικές κάπαρες τείνουν απλώς να εξαφανίζονται. Μπορεί να είναι αληθινά, αλλά δεν επηρεάζουν τη μεγάλη εικόνα. «Η απλότητα είναι μια αρετή», είπε ο Fendley. "Υπάρχει ένας θεός σε αυτό."

Αυτό το μαθηματικό γεγονός καταγράφει την τάση της φύσης να ταξινομεί τον εαυτό της σε ουσιαστικά ανεξάρτητους κόσμους. Όταν οι μηχανικοί σχεδιάζουν έναν ουρανοξύστη, αγνοούν μεμονωμένα μόρια στον χάλυβα. Οι χημικοί αναλύουν μοριακούς δεσμούς, αλλά αγνοούν πανευτυχώς τα κουάρκ και τα γκλουόνια. Ο διαχωρισμός των φαινομένων κατά μήκος, όπως ποσοτικοποιήθηκε από την ομάδα επανακανονικοποίησης, επέτρεψε στους επιστήμονες να μετακινηθούν σταδιακά από το μεγάλο στο μικρό με την πάροδο των αιώνων, αντί να σπάσουν όλες τις κλίμακες ταυτόχρονα.

Ωστόσο, την ίδια στιγμή, η εχθρότητα της επανακανονικοποίησης προς τις μικροσκοπικές λεπτομέρειες λειτουργεί ενάντια στις προσπάθειες των σύγχρονων φυσικών που είναι πεινασμένοι για σημάδια του επόμενου βασιλείου κάτω. Ο διαχωρισμός των ζυγών υποδηλώνει ότι θα χρειαστεί να σκάψουν βαθιά για να ξεπεράσουν την αγάπη της φύσης να κρύβει τα λεπτότερα σημεία της από περίεργους γίγαντες όπως εμείς.

«Η επανακανονικοποίηση μας βοηθά να απλοποιήσουμε το πρόβλημα», είπε ο Νέιθαν Σάιμπεργκ, θεωρητικός φυσικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον του Νιου Τζέρσεϊ. Αλλά «κρύβει και αυτό που συμβαίνει σε μικρές αποστάσεις. Δεν μπορείτε να το έχετε και με τους δύο τρόπους."

Αυτό το άρθρο ανατυπώθηκε στις  Wired.com και στα ιταλικά στο lescienze.it.