Ξεμπλέξιμο γιατί οι κόμποι είναι σημαντικοί

Όλοι ξέρουν τι είναι κόμπος. Αλλά οι κόμποι έχουν ιδιαίτερη σημασία στα μαθηματικά και την επιστήμη, επειδή οι ιδιότητές τους μπορούν να βοηθήσουν στο ξεκλείδωμα μυστικών που κρύβονται μέσα σε θέματα που κυμαίνονται τόσο ευρέως όσο η βιοχημεία του DNA, η σύνθεση νέων υλικών και η γεωμετρία των τρισδιάστατων χώρων. Σε αυτό το επεισόδιο, ο παρουσιαστής Steven Strogatz εξερευνά τα μυστήρια των κόμβων με τους συναδέλφους του μαθηματικούς Colin Adams και Lisa Piccirillo.

Ακούστε στο Apple Podcasts, το Spotify, το Google Podcasts, το Stitcher, το TuneIn ή την αγαπημένη σας εφαρμογή podcasting ή μπορείτε να το κάνετε ροή από το Quanta .

Μεταγραφή

Steven Strogatz (0:03):Είμαι ο Steve Strogatz, και αυτό είναι The Joy of Why , ένα podcast από το Quanta Magazine που σας οδηγεί σε μερικά από τα μεγαλύτερα αναπάντητα ερωτήματα στην επιστήμη και τα μαθηματικά σήμερα. Σε αυτό το επεισόδιο, θα μιλήσουμε για κόμπους.

Όλοι γνωρίζουμε τι είναι οι κόμποι, σωστά; Είναι, όπως, το είδος των κόμπων που δένετε στα κορδόνια των παπουτσιών σας ή το είδος που χρησιμοποιείτε για να στερεώσετε τις αποσκευές σας στην κορυφή του αυτοκινήτου σας. Εάν πάρετε ένα κορδόνι, που έχει δύο ελεύθερα άκρα, και δέσετε έναν κόμπο σε αυτό, αυτός ο κόμπος μπορεί να λυθεί. Μερικές φορές τα ελεύθερα άκρα θα χαλαρώσουν και ο κόμπος απλώς θα ξετυλιχτεί. Αλλά αν συγχωνεύσετε τα άκρα μεταξύ τους, τα κολλήσετε, τότε ο κόμπος θα κλειδωθεί εκεί μέσα, παγιδευμένος στη θηλιά. Τότε τίθεται το ερώτημα, μπορείτε να αφαιρέσετε με κάποιο τρόπο αυτόν τον κόμπο στη θηλιά, χωρίς να κόψετε τη χορδή, απλώς χειρίζοντάς τον έξυπνα με κάποιο τρόπο ή κουνώντας τον;

Λοιπόν, αν μπορείτε, αυτό δεν είναι καθόλου κόμπος. Αυτός είναι απλώς ένας κύκλος, κάτι που ισοδυναμεί με έναν απλό βρόχο ή αυτό που οι μαθηματικοί απορρίπτουν ως «τετριμμένο κόμπο». Αλλά αν δεν μπορείτε να το αναιρέσετε, τότε, αυτό εγείρει διάφορα ερωτήματα όπως, πόσο μπορείτε να απλοποιήσετε έναν μπερδεμένο βρόχο;

Πώς διακρίνουν οι μαθηματικοί διαφορετικούς τύπους κόμβων; Πόσα διαφορετικά είδη κόμπων υπάρχουν; Και γιατί οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες ενδιαφέρονται ούτως ή άλλως για τους κόμπους; Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν πολλές εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο για αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, που τώρα ονομάζεται θεωρία κόμβων. Ξεκίνησε με το μυστήριο των χημικών στοιχείων πριν από περίπου 150 χρόνια, τα οποία, εκείνη την εποχή, θεωρούνταν ότι ήταν διαφορετικά είδη κόμβων δεμένοι στον αιθέρα. Σήμερα, η θεωρία των κόμβων μας βοηθά να κατανοήσουμε πώς τα ένζυμα μπορούν να ξεμπερδέψουν κλώνους συνδεδεμένου DNA. Και επίσης, η θεωρία των κόμβων έχει τη δυνατότητα στη βασική έρευνα να δημιουργήσει νέα είδη φαρμάκων, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων φαρμάκων χημειοθεραπείας. Αλλά στα ίδια τα μαθηματικά, η θεωρία των κόμβων βοηθά τους μαθηματικούς να λύσουν τους γρίφους των χώρων υψηλότερων διαστάσεων.

Μαζί μου τώρα για να βοηθήσω στην αποκάλυψη μερικών από τα μυστήρια γύρω από τους κόμπους είναι ο Colin Adams. Είναι ο Thomas T. Reed καθηγητής Μαθηματικών στο Williams College και ένας από τους διευθύνοντες συντάκτες του Journal of Knot Theory and Its Ramifications . Ο Adams έγραψε επίσης το κόμικ Why Knot? Αργότερα, θα μιλήσουμε με τη Lisa Piccirillo. Είναι επίκουρη καθηγήτρια μαθηματικών στο MIT και πρόσφατα έλυσε ένα μακροχρόνιο μαθηματικό παζλ σχετικά με έναν κόμπο που ονομάζεται κόμπος Conway - στην πραγματικότητα όταν ήταν μεταπτυχιακή φοιτήτρια. Colin Adams, σας ευχαριστούμε πολύ για την παρουσία σας σήμερα.

Κόλιν Άνταμς (2:35):Ω, είναι πραγματικά διασκεδαστικό να βρίσκομαι εδώ. Ευχαριστώ πολύ για την πρόσκληση.

Strogatz (2:38):Λοιπόν, είναι μια πραγματική απόλαυση για μένα, Colin, εννοώ, είμαι μεγάλος θαυμαστής της δουλειάς σου. Λατρεύω τα βιβλία σας για τους κόμπους. Έχω μάθει τόσα πολλά από αυτούς. Λοιπόν εντάξει, λοιπόν, προσπάθησα να δώσω μια γρήγορη εισαγωγή στους κόμπους και τη θεωρία των κόμπων, αλλά θα ήθελα πολύ να ακούσω πώς θα τους εξηγούσατε σε κάποιον που δεν τους έχει ακούσει ποτέ ή δεν τους σκέφτηκε χωρίς να δένουν τα κορδόνια τους;

Adams (2:55):Ναι, εννοώ, είναι ένα από τα μεγάλα πλεονεκτήματα του να είσαι σε αυτόν τον τομέα στα μαθηματικά είναι, ξέρεις, συνήθως, αν κάθεσαι δίπλα σε κάποιον σε ένα αεροπλάνο και σου λένε, «Τι κάνεις;" και είσαι μαθηματικός, θα δυσκολευτείς πολύ να τους εξηγήσεις τι κάνεις. Αλλά έχω αυτό το τεράστιο πλεονέκτημα ότι μπορώ να βγάλω το κορδόνι μου, μπορώ να το βγάλω από το παπούτσι μου και μπορώ να το τραβήξω προς τα πάνω και μπορώ να πω, εντάξει, μπορώ να δέσω έναν κόμπο σε αυτό το κορδόνι και μετά να κολλήσω τα δύο χαλαρά άκρα μαζί, και μετά μπορώ να προσπαθήσω να μελετήσω αυτό το αντικείμενο και να αποφασίσω αν είναι πραγματικά δεμένο - όπως περιέγραψες, Steve - είναι πραγματικά δεμένο; Ή δεν είναι; Θα μπορούσατε να το ξεμπλέξετε χωρίς να το ανοίξετε;

Και αποδεικνύεται ότι αυτό είναι ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα. Εννοώ, θα μπορούσες να φανταστείς ότι έχεις—κάποιος σου δίνει ένα μπερδεμένο κορδόνι με τις δύο χαλαρές άκρες κολλημένες μεταξύ τους. Και σου κάνουν το ερώτημα, μπορείς να το ξεμπερδέψεις; Και ξοδεύεις τα επόμενα έξι χρόνια προσπαθώντας να το ξεμπερδέψεις. Και μετά από έξι χρόνια, δεν τα κατάφερες. Αλλά εξακολουθείτε να μην ξέρετε ότι άλλα πέντε λεπτά δουλειάς μπορεί να κάνουν το κόλπο, σωστά; Επομένως, θα θέλατε πραγματικά να έχετε μερικές τεχνικές, μερικές μαθηματικές τεχνικές που θα σας επιτρέψουν να προσδιορίσετε εάν θα πετύχετε ποτέ ή όχι.

Strogatz (3:28):Έτσι, οι κόμποι είναι παντού γύρω μας. Μπορείτε να μας δώσετε κάποια άλλα παραδείγματα όπου εμφανίζονται στον πραγματικό κόσμο;

Adams (4:00):Ναι, εννοώ, οι κόμποι υπάρχουν εδώ και πολύ καιρό. Όσον αφορά την πραγματική χρησιμότητα, από την άποψη της επιστήμης, το ένα παράδειγμα που δώσατε, το οποίο είναι ένα πραγματικά καλό παράδειγμα, είναι το παράδειγμα του DNA, όπου το DNA βρίσκεται μέσα στον πυρήνα ενός κυττάρου. Και είναι όλα γεμάτα εκεί - οι άνθρωποι το έχουν περιγράψει ως βάζοντας 100 χιλιόμετρα πετονιάς σε μια μπάλα μπάσκετ. Και έτσι είναι αυτό το τεράστιο χάος εκεί μέσα. Και όμως, πρέπει να μπορεί να κάνει μεταγραφή, ανασυνδυασμό. πρέπει να είναι σε θέση να δημιουργεί αντίγραφα του εαυτού του που μπορούν στη συνέχεια να διαχωριστούν από τον εαυτό του. Και αποδεικνύεται ότι αυτό απαιτεί αυτά τα ένζυμα, όπως αναφέρατε, αυτά τα ένζυμα μέσα στον πυρήνα του κυττάρου, που θα επιτρέψουν στο ένζυμο να πάρει δύο κλώνους DNA, να τραβήξει τη μία προς τα πάνω ακριβώς δίπλα στην άλλη, να ανοίξει τη μία, να σπρώξει περάστε το άλλο, και μετά κλείστε το ξανά, για να κάνετε αυτό που ονομάζεται θεωρία κόμβων της αλλαγής της διέλευσης. Και αυτό συμβαίνει μέσα μας όλη την ώρα που αυτά τα ένζυμα το κάνουν πραγματικά στο DNA. Και αν σταματήσετε τα ένζυμα να το κάνουν αυτό, αυτό θα εμποδίσει το DNA να αναδημιουργηθεί, πράγμα που είναι στην πραγματικότητα ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιείται τώρα στη χημειοθεραπεία. Υπάρχουν αυτά τα φάρμακα χημειοθεραπείας που εμποδίζουν τα ένζυμα να δράσουν στο DNA και να αλλάξουν τον κόμπο και τον ξεκόμπωμα. Αυτό είναι λοιπόν ένα παράδειγμα του πώς εμφανίζονται οι κόμβοι στο DNA.

Ένα άλλο παράδειγμα που νομίζω ότι είναι πολύ ενδιαφέρον είναι για τη συνθετική χημεία. Έτσι, στη συνθετική χημεία, προσπαθείτε να συνθέσετε νέα μόρια. Και φανταστείτε ότι έχετε ένα μόριο που αποτελείται από ένα σύνολο ατόμων συνδεδεμένα όλα μαζί, και σχηματίζει έναν κύκλο. Και έτσι αυτό θα ήταν ένα παράδειγμα ενός ασήμαντου κόμπου που είναι στην πραγματικότητα σε μοριακό επίπεδο. Τώρα φανταστείτε να παίρνετε αυτόν τον ασήμαντο κόμπο, να τον ανοίγετε, να δένετε έναν κόμπο σε μοριακό επίπεδο και μετά να κολλάτε τα δύο χαλαρά άκρα μεταξύ τους. Και μόλις το κάνετε αυτό, έχετε τα ίδια συστατικά άτομα συνδεδεμένα με την ίδια ακριβώς σειρά. Μόνο τώρα έχετε μια νέα ουσία, μια ουσία με κόμπους, ενώ η προηγούμενη ουσία ήταν χωρίς κόμπους.

Έτσι για κάθε είδος κόμπου που μπορείτε να έχετε — από τους οποίους υπάρχει απεριόριστος αριθμός, αλλά ακόμη και για μικρό αριθμό διέλευσης, εκατομμύρια και εκατομμύρια — κάθε ένας από αυτούς τους κόμπους μπορεί τώρα γίνει μια νέα ουσία. Οπότε οι συνθετικοί χημικοί απλώς τρελαίνονται από αυτή την ιδέα. Και εργάζονται πολύ σκληρά για να προσπαθήσουν να βρουν τρόπους να κάνουν κόμπο σε μοριακό επίπεδο.

Strogatz (6:09):Μου θυμίζει κάπως ότι είμαι προπτυχιακός. Παρακολούθησα ένα μάθημα οργανικής χημείας σε μια περίοδο που οι γονείς μου με είχαν βάλει στο χέρι για να είμαι προ-med. Και έτσι έπαιρνα όργο [οργανική χημεία] όπως κάθε άλλο προ-φαρμακευτικό, και θυμάμαι ότι ήμουν πραγματικά γοητευμένος, ως κάποιος που του αρέσουν τα μαθηματικά, που ο καθηγητής μας μίλησε ακριβώς για αυτό που περιέγραψες. Αλλά εκείνη την εποχή, ήταν μόνο υποθετικό. Δεν ήξεραν πώς να κόμπουν ή να συνδέουν μόρια συνθετικά εκείνη την εποχή, αλλά είπε ότι ήταν ενδιαφέρον να το σκεφτούμε. Θα μπορούσατε να πάρετε, όπως ακριβώς λέτε, ξέρετε, συνδυασμούς — θα μπορούσε να είναι ένα πολυμερές με υδρογόνα και άνθρακες και, και θα μπορούσαν να διατηρήσουν ακριβώς τα ίδια άτομα στις ίδιες διατάξεις, το καθένα με τους ίδιους γείτονες όπως πριν. Αλλά θα μπορούσατε να φτιάξετε ένα ισομερές που να ήταν τοπολογικό ισομερές επειδή είχε έναν κόμπο δεμένο μέσα του. Αλλά ξέρετε, θα είχε διαφορετικές χημικές ιδιότητες ή όχι;

Adams (6:58):Ναι, και η προσδοκία είναι, γενικά, η απάντηση είναι ναι, ότι θα πρέπει να έχει διαφορετικές ιδιότητες. Και ξέρετε, θα μπορούσατε να έχετε ένα που να λειτουργεί σαν λάδι και το άλλο να ενεργεί εντελώς διαφορετικά. Και έτσι — είναι ενδιαφέρον, το Πολεμικό Ναυτικό χρηματοδότησε πράγματι πολλή έρευνα για αυτό, και πραγματικά προέκυψε επειδή τους ενδιέφερε πολύ να βρουν νέες ουσίες με τις οποίες θα μπορούσαν να επικαλύψουν τα υποβρύχια τους, ώστε να αποφύγουν τα ραντάρ. Επομένως, είναι κάπως ενδιαφέρον ότι από εκεί προήλθαν πολλά χρήματα.

Strogatz (7:22):Χωρίς πλάκα.

Adams: Για να το μελετήσετε αυτό, ναι.

Strogatz: Σαν ένα είδος τεχνολογίας stealth.

Adams: Ναι.

Strogatz (7:27):Ουάου, η τοπολογία στην υπηρεσία του stealth. Χα, δεν το είχα ακούσει. Αυτό είναι υπέροχο.

Αρχίζουμε να βλέπουμε γιατί οι άνθρωποι σε τομείς όπως η χημεία ή ο στρατός, ή οι γιατροί που εργάζονται με φάρμακα χημειοθεραπείας ενδιαφέρονται για τέτοιου είδους ζητήματα κόμπων. Αλλά γιατί είναι τόσο ενδιαφέροντα μαθηματικά;

Adams (7:46):Η θεωρία των κόμβων είναι ένα υποπεδίο του — του ευρύτερου πεδίου της τοπολογίας, με την τοπολογία να είναι αυτός ο τομέας των μαθηματικών όπου αντιμετωπίζετε αντικείμενα σαν να είναι κατασκευασμένα από καουτσούκ. Έτσι, για παράδειγμα, μπορείτε να έχετε μια σφαίρα, την οποία θεωρείτε ισοδύναμη με έναν κύβο, επειδή θα μπορούσατε απλώς να τραβήξετε τις έξι γωνίες έξω και να μετατρέψετε μια σφαίρα σε κύβο χωρίς να κόψετε ή να κολλήσετε. Και θεωρείτε ένα ντόνατ, την επιφάνεια ενός ντόνατ, ένα ισοδύναμο torus — το διάσημο παράδειγμα είναι ισοδύναμο με ένα φλιτζάνι καφέ, γιατί θα μπορούσατε να παραμορφώσετε την επιφάνεια ενός φλιτζανιού καφέ, να σπρώξετε προς τα πάνω από το κάτω μέρος και να το παραμορφώσετε μέχρι να έμοιαζε με την επιφάνεια ενός ντόνατ. Άρα αυτά θεωρούνται τα ίδια.

Έτσι, η τοπολογία είναι αυτός ο πολύ ευρύς τομέας των μαθηματικών. Η θεωρία των κόμβων είναι στην πραγματικότητα ένα υποπεδίο αυτού. Γιατί και πάλι, αντιμετωπίζουμε αυτούς τους κόμπους σαν να κάθονται στο κενό, αλλά αντιμετωπίζονται σαν να είναι στην πραγματικότητα κόμποι από καουτσούκ και σας επιτρέπεται να τους παραμορφώσετε. Έτσι, για να κατανοήσετε ερωτήσεις σχετικά με τη θεωρία των κόμβων, στην πραγματικότητα κάνετε ερωτήσεις που είναι — συγκεκριμένες ερωτήσεις που μπορούν επίσης να γενικευθούν σε ερωτήσεις σχετικά με την τοπολογία.

Strogatz (8:50):Αυτή είναι λοιπόν μια πραγματικά ενδιαφέρουσα διάκριση, μια σημαντική διάκριση που κάνετε, αυτή η ιδέα - οι κόμβοι που τους αρέσει να σκέφτονται οι μαθηματικοί είναι αυτού του είδους εξιδανικευμένης, ελαστικής φύσης, όπου μπορούν να συστραφούν και λυγισμένα και παραμορφωμένα και τεντωμένα όσο θέλουμε. Και στην πραγματικότητα, ξέρετε, όπως στον πραγματικό κόσμο, όταν οι άνθρωποι σκέφτονται τους κόμπους - πείτε τον κόμπο στα κορδόνια σας. Υπάρχουν και άλλες πτυχές που οι μαθηματικοί τείνουν να αγνοούν, όπως οι πραγματικοί κόμποι συχνά βασίζονται στην τριβή. Μήπως λοιπόν θα έπρεπε να μας πείτε όλα όσα πρόκειται να παραλείψετε όταν σκεφτείτε τους κόμπους ως μαθηματικός;

Adams (9:24):Ναι, όχι, αυτή είναι μια μεγάλη ερώτηση. Ναι, οι κόμποι είναι αστείοι όταν τους σκέφτεσαι ως μαθηματικός. Έτσι, για παράδειγμα, ένα από τα πράγματα που σκέφτεστε, εάν νομίζετε ότι ο κόμπος σας είναι απείρως λεπτός, το σκέφτεστε ως έναν κύκλο που έχει κοπεί και έχει δεθεί σε έναν κόμπο. Αλλά αυτός ο κύκλος έχει πάχος ενός πόντου. Επομένως, είναι ένα πολύ αδύναμο, λεπτό πράγμα που σκέφτεστε πραγματικά όταν εξετάζετε τη θεωρία των κόμπων. Και μετά, όπως είπαμε προηγουμένως, θα το ανοίξετε, θα δέσετε έναν κόμπο και θα κολλήσετε τις άκρες μεταξύ τους. Και τότε επιτρέπεται να το παραμορφώσετε με όποιον τρόπο θέλετε, αλλά δεν σας επιτρέπεται να περάσει από τον εαυτό του ανά πάσα στιγμή. Αυτός είναι ένας από τους κανόνες που χρησιμοποιούμε.

Έχουμε κάποιους άλλους κανόνες που είναι λιγότερο προφανείς. Όπως, δεν μπορείτε να δέσετε έναν κόμπο σε αυτό και μετά να το σφίξετε ώστε να γίνεται όλο και μικρότερο και μικρότερο μέχρι να γίνει, όπως μπορείτε στο κορδόνι σας, να κάνει λίγο κόμπο στο κορδόνι σας — δεν επιτρέπεται να κάντε το στη θεωρία των κόμβων. Και ένας από τους τρόπους που το αποφεύγεις είναι να μιλάς ότι είναι αυτό που ονομάζεται τμηματικά γραμμικό. Έτσι μπορείτε να φανταστείτε ότι όλοι οι κόμποι σας είναι στην πραγματικότητα φτιαγμένοι από ένα μάτσο ραβδιά που είναι κολλημένα από άκρη σε άκρη για να κάνετε τον κόμπο σας και δεν επιτρέπεται να αυξήσετε τον αριθμό των ραβδιών χωρίς όρια, πρέπει να διατηρήσετε τον αριθμό των εμμένει σε έναν πεπερασμένο αριθμό ανά πάσα στιγμή. Και αυτό αποφεύγει αυτό το ζήτημα να έχετε ολοένα και μικρότερους κόμπους μέσα στον κύκλο σας με κόμπους. Αυτές είναι λοιπόν μερικές από τις προϋποθέσεις που πρέπει να βάλουμε κόμπους για να τις συζητήσουμε μαθηματικά.

Strogatz (10:44):Δηλαδή, τι είδους πράγματα μαθαίνονται στα μαθηματικά μελετώντας τη θεωρία των κόμβων; Αυτό που ψάχνω εδώ είναι, τι μας λέει για τα διαστήματα ή για την άλγεβρα; Ή, ξέρετε — ποιες είναι οι συνδέσεις μέσα στα μαθηματικά που αποκτά κανείς με το να σκεφτεί τη θεωρία των κόμβων;

Adams (11:00):Η πιο βασική ερώτηση που μπορεί να σας κάνει κάποιος στη θεωρία των κόμπων είναι:Σου δίνουν ένα μπερδεμένο χάος με τις άκρες κολλημένες μεταξύ τους και λένε, μπορεί να ξεμπλέξει χωρίς να το ανοίξει; Είναι αυτός ο τετριμμένος κόμπος; Επομένως, θα θέλατε να μπορείτε να καταλάβετε εάν ένας κόμπος είναι ο ασήμαντος κόμπος ή όχι.

Γενικά, κάποιος σου δίνει δύο κόμπους. Και θα θέλατε να μπορείτε να πείτε, είναι ο ίδιος κόμπος; Είναι ο ίδιος κόμπος ή είναι διαφορετικοί κόμποι; Και αυτό είναι πάλι, ένα άλλο από τα θεμελιώδη ερωτήματα. Ένα από τα προβλήματα με τα οποία εργάζονται οι άνθρωποι από τη δεκαετία του 1880 είναι ο πίνακας όλων των κόμβων, όπου προσπαθείτε να κάνετε έναν πίνακα με όλους τους κόμβους μέχρι κάποιο επίπεδο πολυπλοκότητας. Κατά την ταξινόμηση κόμβων, τους ταξινομούμε παρακολουθώντας τον αριθμό των διασταυρώσεων και προσπαθώντας να προσδιορίσουμε πόσοι κόμβοι έχουν έναν συγκεκριμένο αριθμό διασταυρώσεων.

Και με τις διασταυρώσεις εννοώ ότι αν τραβήξετε μια φωτογραφία του κόμπου σας και κοιτάξετε αυτήν τη φωτογραφία, θα υπάρχουν μέρη όπου ο κόμπος περνάει πάνω από τον εαυτό του ή κάτω από τον εαυτό του . Και αυτά είναι τα μέρη μας που λέμε διαβάσεις. Και έτσι μπορούμε να καταλάβουμε πόσοι κόμβοι υπάρχουν που έχουν τρεις διασταυρώσεις, και υπάρχει μόνο ένας, που ονομάζεται κόμπος τριφυλλιού. Ο τετριμμένος κόμπος είναι ο μόνος κόμπος με μηδενικές διασταυρώσεις. Και μετά μπορείτε να έχετε — υπάρχει ένας κόμπος με τέσσερις σταυρούς, υπάρχουν δύο κόμβοι με πέντε σταυρούς, υπάρχουν τρεις κόμποι με έξι σταυρούς, επτά κόμβοι με επτά σταυρούς, και μπορείτε να ανεβείτε από εκεί. Και μέχρι τώρα, μέχρι στιγμής, έχουμε καταγράψει όλους τους πιθανούς κόμβους έως και 19 διασταυρώσεις. Και υπάρχουν πάνω από 300 εκατομμύρια από αυτούς τους κόμβους έως και 19 διασταυρώσεις. Και, λοιπόν, αυτό είναι ένα από τα πράγματα που κάνουν οι άνθρωποι, προσπαθούν να καταλάβουν ποιες είναι οι δυνατότητες, και συγκεκριμένα, λαμβάνοντας υπόψη δύο από αυτές, πώς αποφασίζετε αν είναι ίδιες ή όχι;

(12:33) Τώρα, για να το κάνετε αυτό, δημιουργείτε αυτές τις ποσότητες που ονομάζονται αμετάβλητες. Και τα αμετάβλητα είναι απλώς ποσότητες που μπορείτε να συσχετίσετε με μια εικόνα ενός κόμπου. Και αν δύο διαφορετικές εικόνες αντιπροσωπεύουν τον ίδιο κόμπο, θα πρέπει να έχουν την ίδια ποσότητα που σχετίζεται με αυτές. Αυτή η ποσότητα μπορεί να είναι ένας αριθμός. μπορεί να είναι μια ομάδα αν είστε στην άλγεβρα. θα μπορούσε να είναι κάποιο άλλο είδος αντικειμένου από τα μαθηματικά, αλλά είναι ένας τρόπος διάκρισης μεταξύ κόμβων.

Και έτσι για παράδειγμα, ένας από τους τομείς στους οποίους έχω δουλέψει από τότε που πήρα το διδακτορικό μου. ήταν σε υπερβολικό όγκο κόμβων, που αποδεικνύεται ότι είναι ένας πολύ ισχυρός τρόπος για να διακρίνεις τους κόμβους. Και ο λόγος που το αναφέρω είναι επειδή, Steve, όπως ρωτούσες πριν, πώς συνδέεται η θεωρία των κόμβων σε άλλους τομείς των μαθηματικών; Και ο υπερβολικός όγκος ενός κόμπου στην πραγματικότητα βγαίνει από την υπερβολική γεωμετρία. Αυτό είναι λοιπόν ένα γεωμετρικό αμετάβλητο. Και παρόλο που οι ίδιοι οι κόμβοι είναι αντικείμενα που μπορούν να παραμορφωθούν, και νομίζω ότι είναι κατασκευασμένοι από καουτσούκ — χρησιμοποιώ τον όρο τοπολογικοί επειδή είναι καουτσούκ, παραμορφώνονται εύκολα — αλλά αποδεικνύεται ότι όταν προσπαθείς να καταλάβεις έξω από τον υπερβολικό όγκο, είναι ένας μοναδικός αριθμός που σχετίζεται με έναν υπερβολικό κόμπο.

Έτσι, για παράδειγμα, ο κόμπος που έχει τέσσερις διασταυρώσεις έχει υπερβολικό όγκο 2,0298… σε αυθαίρετα πολλά δεκαδικά ψηφία. Και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον αριθμό για να διακρίνετε τους κόμβους. Αλλά για να κατανοήσετε αυτόν τον τομέα της θεωρίας των κόμβων, πρέπει να κατανοήσετε τη γεωμετρία, πρέπει να κατανοήσετε την άλγεβρα, επειδή η ομάδα που σχετίζεται με έναν κόμβο, που ονομάζεται θεμελιώδης ομάδα, στην πραγματικότητα πραγματοποιείται ως ένα σύνολο ισομετριών του υπερβολικού χώρου. Οι ισομετρίες είναι χάρτες που διατηρούν αποστάσεις. Και έτσι πρέπει να κατανοήσετε την άλγεβρα, πρέπει να κατανοήσετε κάποια ανάλυση, πρέπει να κατανοήσετε κάποια γεωμετρία. Έτσι, συγκεντρώνει πολλά διαφορετικά πεδία των μαθηματικών, όλα με σκοπό την κατανόηση των κόμβων.

Strogatz (14:26):Άρα το αμετάβλητο μπορεί να μην είναι η πιο κοινή λέξη στα συνηθισμένα αγγλικά, αλλά θα μπορούσαμε να το σκεφτούμε σχεδόν σαν μια υπογραφή ή ένα δακτυλικό αποτύπωμα ή κάτι τέτοιο.

Adams (14:33):Και υπάρχει ένα πολύ διάσημο παράδειγμα, στην πραγματικότητα, το οποίο είναι κάπως ενδιαφέρουσα ιστορία. Πίσω στη δεκαετία του 1890, υπήρχε ένας μαθηματικός σε αυτό που ονομαζόταν τότε Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Νεμπράσκα, ονόματι C. N. Little, και προσπαθούσε να καταγράψει όλους τους κόμβους των 10 διασταυρώσεων. Και έφτιαξε αυτή τη λίστα, και έκανε μια λίστα με 166 κόμβους από 10 διασταυρώσεις. Και τότε αυτή η λίστα υπήρχε μέχρι το 1975, νομίζω ότι ήταν.

Και το 1975, ήταν ένας ερασιτέχνης μαθηματικός από τη Νέα Υόρκη, ένας δικηγόρος από τη Νέα Υόρκη ονόματι Ken Perko. Και κοίταζε κάτω από το τραπέζι των κόμπων. Και πολλοί από τους κόμπους είχαν διακριθεί χρησιμοποιώντας ένα αμετάβλητο που ονομάζεται πολυώνυμο Alexander. Και παρατήρησε ότι δύο από τους κόμπους είχαν το ίδιο πολυώνυμο Alexander. Έκανε λοιπόν τον έναν κόμπο από σπάγκο, τον αναδιάταξη. Και αποδείχθηκε ότι ήταν το ίδιο με τον άλλο κόμπο. Και έτσι αποδείχθηκε ότι ο πίνακας ήταν λάθος για 75 χρόνια. Και ότι, στην πραγματικότητα, αυτοί οι δύο κόμποι ήταν ο ίδιος κόμπος. Και ότι αυτό το ζεύγος κόμπων εξακολουθεί να είναι γνωστό ως το ζεύγος Perko, παρόλο που στην πραγματικότητα είναι μόνο ένας κόμπος, αλλά στους πίνακες, ονομάζονται ζεύγος Perko.

Strogatz (15:40):Λατρεύω αυτό το παράδειγμα του ζευγαριού Perko. Θέλω να πω, αυτό ακριβώς συνοψίζει τι είναι τόσο λεπτό και συναρπαστικό σχετικά με τη μαθηματική πτυχή αυτού του θέματος. Ότι, όπως λέτε, αυτό το παράδειγμα θα μπορούσε απλώς να κρύβεται εκεί στον πίνακα 70 χρόνια. Ποιος ξέρει πόσα μάτια τα είχαν κοιτάξει και σκέφτηκαν, ναι, αυτός ο κόμπος φαίνεται διαφορετικός από εκείνον τον κόμπο. Και οι δύο έχουν 10 διασταυρώσεις, αλλά δεν μπορώ να δω κανέναν τρόπο να τις κάνω το ίδιο. Οπότε κανείς δεν το σκέφτηκε.

Όταν αναφέρατε νωρίτερα ότι η θεωρία των κόμβων σχετίζεται με όλα τα είδη των βαθιών ερωτημάτων στη γεωμετρία και την τοπολογία, νομίζω ότι είναι μάλλον η κατάλληλη στιγμή για να αρχίσουμε τώρα να μιλάμε για το χώρο που περιβάλλει τον κόμπο. Σωστά? Θέλω να πω, η θεωρία των κόμβων δεν αφορά μόνο τον βρόχο. Αλλά είναι ένας βρόχος που κάθεται σε τρισδιάστατο χώρο. Ή σε ορισμένες περιπτώσεις, οι θεωρητικοί των κόμβων θεωρούν χρήσιμο να σκεφτούν πράγματα που είναι δεμένα σε τετραδιάστατο χώρο. Ας μιλήσουμε λοιπόν για μερικά από αυτά.

Adams (16:34):Ναι, όχι. Είναι λοιπόν κάπως θεμελιώδες ερώτημα. Αρχικά, στη θεωρία των κόμβων, όλοι σκεφτόντουσαν ότι οι κόμβοι ζουν σε τρισδιάστατο χώρο, γιατί αυτός είναι ο φυσικός χώρος στον οποίο ζούμε όλοι. διάστημα, δεμένες τετραδιάστατες σφαίρες σε έξι διαστήματα.

Και έτσι μπορείτε να ανεβείτε — διάσταση, διάσταση, διάσταση. Μπορείτε επίσης να σκεφτείτε κύκλους με κόμπους σε τέσσερα διαστήματα. Και αυτή είναι μια πραγματικά ενδιαφέρουσα κατηγορία. Έτσι, για τους κύκλους με κόμπους σε τέσσερα διαστήματα, αποδεικνύεται ότι κάθε κύκλος με κόμπους σε τέσσερα διαστήματα μπορεί να είναι χωρίς κόμπους. Και έτσι κάθε κόμπος είναι ένας τετριμμένος κόμπος μόλις ανέβεις στο τετραχώρο. Θα πάρω έναν κύκλο με κόμπους δύο σφαιρών σε τέσσερα διαστήματα παρά έναν κύκλο με κόμπους σε τέσσερις χώρους, επειδή όλη η θεωρία των κόμβων αποσυντίθεται όταν ανεβείτε σε τέσσερις διαστάσεις, λόγω του γεγονότος ότι κάθε κόμβος μπορεί να ξεμπερδευτεί σε τέσσερα διάστημα.

Strogatz (17:29):Αυτή η ιδέα ότι οι κόμποι μπορούν να λυθούν σε τέσσερις διαστάσεις, νομίζω ότι είναι τόσο συναρπαστική. Και αν μπορούσαμε να δώσουμε στους ανθρώπους λίγη διαίσθηση σχετικά με αυτό, νομίζω ότι θα το βρουν πολύ αξέχαστο και θα το χρησιμοποιήσουν σαν ένα μικρό κόλπο για κοκτέιλ πάρτι. Πρώτα απ 'όλα, ίσως θα έπρεπε να πείτε, ξέρουμε πώς να σκεφτόμαστε τις τρεις διαστάσεις του χώρου. Αλλά πώς θα σκεφτείτε — επειδή δεν μπορούμε να φανταστούμε πραγματικά μια τέταρτη χωρική διάσταση — ποια θα είναι η τέταρτη διάσταση σε αυτό το διαισθητικό επιχείρημα;

Adams (17:54):Ναι, ένα μοντέλο που μου αρέσει πολύ για την περιγραφή του τετραδιάστατου χώρου είναι, χρησιμοποιώ αυτό που λέγεται χρωματικό μοντέλο. Και έτσι, αν σκεφτείτε το χρωματικό φάσμα — ξέρετε, κόκκινο, πορτοκαλί, κίτρινο, πράσινο, μπλε, λουλακί — μπορώ να φανταστώ ότι φτιάχνω τέσσερις χώρους από μια συλλογή τρισδιάστατων κομματιών τεσσάρων διαστημάτων, καθεμία από τις οποίες έχει διαφορετικό χρώμα. Και θα είναι μια συνέχεια χρωμάτων. Θα πάει λοιπόν:Το κόκκινο θα είναι μια φέτα, και μετά λίγο πιο κοκκινωπό πορτοκαλί, και μετά λίγο πιο κοκκινωπό πορτοκαλί θα πάει στο πορτοκαλί. Και θα έχω αυτή τη συνέχεια από φέτες, κάθε φέτα έχει ένα μοναδικό χρώμα. Και αυτός είναι ένας πλεονεκτικός τρόπος για να σκεφτείτε τον τετραχώρο, επειδή δεν χρησιμοποιείτε τον χρόνο ως την τέταρτη διάστασή σας. Έτσι, μπορείτε πραγματικά να κυκλοφορείτε σε αυτόν τον χώρο, φανταστείτε πώς θα ήταν να ζείτε σε αυτόν τον χώρο. Επομένως, είναι ένα πολύ ωραίο μοντέλο για τέσσερις χώρους.

Τώρα. Θέλω να κάνω την ερώτηση:Μπορώ να δείξω ότι ένας κόμπος μπορεί στην πραγματικότητα να είναι χωρίς κόμπους σε τέσσερις χώρους; Και έτσι μπορώ να φανταστώ να κάνω τον κόμπο μου στην πράσινη φέτα του τετραχώρου. Και έτσι αυτή είναι μια τρισδιάστατη πράσινη φέτα τεσσάρων διαστημάτων, και έχω τον κόμπο μου να κάτσω εκεί. Και μετά αυτό που πρόκειται να κάνω είναι να σπρώξω λίγο από τον κόμπο μου στο γειτονικό κίτρινο χρώμα, έτσι θα γίνει κάπως ένα πρασινωπό κίτρινο. Αλλά στον τρισδιάστατο χώρο πρασίνου μου, δεν θα βλέπω πια αυτό το μέρος. Δεν υπάρχει στο πράσινο τρίχωρο. Μόνο - αυτό το μικρό μέρος υπάρχει μόνο στα γειτονικά χρώματα που είναι κοντά. Και έτσι στον πράσινο χώρο μου, βλέπω τώρα έναν κόμπο που έχει κοπεί. Και μπορώ να το ξεμπερδέψω. Και έτσι μπορώ να το ξεμπερδέψω εκεί, και μετά έχω τώρα τον κόμπο μου σε τέσσερις χώρο και είναι εντελώς ξεμπερδεμένος. Άρα, υπό αυτή την έννοια, δεν υπάρχουν μη τετριμμένοι κόμβοι σε τέσσερις χώρους.

Strogatz (19:32):Εντάξει, δεν υπάρχουν θηλιές με κόμπους σε δύο χώρους, επειδή δεν υπάρχει αρκετός χώρος στο αεροπλάνο. Και δεν υπάρχουν κόμποι στον τετραδιάστατο χώρο, γιατί υπάρχει πάρα πολύς χώρος. Μπορούν απλώς να λυθούν επιπόλαια κοκκινίζοντας όταν πρέπει να περάσουν από μέσα τους, αλλάζοντας το χρώμα τους σε εκείνο το σημείο διέλευσης. Είναι λοιπόν αυτό το φανταστικό πράγμα όπου αν ανεβείτε κατά δύο διαστάσεις, όπως ένας βρόχος είναι ένα μονοδιάστατο πράγμα όπως ένα μονοδιάστατο νήμα, μπορείτε να πείτε πού βρίσκεστε στο νήμα δίνοντας απλώς έναν αριθμό, πόσο μακριά είστε την κλωστή καθώς την περιτριγυρίζετε, σαν ένας γύρος. Έτσι, έχετε αυτό το μονοδιάστατο πράγμα που κάθεται σε τρισδιάστατο χώρο. Και εκεί συμβαίνει ο κόμπος. Αλλά μπορούμε να σηκώσουμε το όλο θέμα προς τα πάνω και στα δύο, θα μπορούσαμε τώρα να πάμε σε ένα δισδιάστατο αντικείμενο όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας, αλλά να το αφήσουμε να ζήσει σε τέσσερις διαστάσεις. Και πάλι λοιπόν, κάτι δισδιάστατο, δύο διαστάσεις υψηλότερο. Και μου λέτε ότι μπορώ να πάρω μια σφαίρα και να την δέσω κόμπο, αν ζει σε έναν τετραδιάστατο χώρο.

Adams (20:35):Ναι. Και ως παράδειγμα, ας δούμε αν μπορώ να εξηγήσω - δώστε ένα παράδειγμα για το πώς μπορείτε να το κάνετε αυτό. Ας επιστρέψουμε στο χρωματικό μοντέλο. Έτσι, στο χρωματικό μοντέλο, θυμηθείτε, είχαμε αυτές τις τρισδιάστατες φέτες, η καθεμία με διαφορετικό χρώμα, και θα προσπαθήσω να δημιουργήσω μια σφαίρα με κόμπους. Εντάξει, και να πώς θα το κάνω. Θα πάρω ένα τρίφυλλο κόμπο, που είναι ακριβώς αυτός ο κόμπος με τρεις διασταυρώσεις, θα κάνω έναν κόκκινο. Και μετά θα πάω, ακριβώς δίπλα, θα έχω ένα κοκκινωπό πορτοκαλί και ένα πορτοκαλί. Και σε όλη τη συνέχεια, θα έχω όλους αυτούς τους κόμπους τρίφυλλου, εντάξει, έτσι είναι… Έτσι σε κάθε τρισδιάστατη φέτα τεσσάρων διαστημάτων, θα έχω έναν από αυτούς τους κόμπους τριφυλλιού. Αλλά θα κάνω αυτά καθώς βγαίνω προς το αριστερό άκρο του φάσματος, το κόκκινο άκρο του φάσματος, θα τα κάνω να γίνονται λίγο μικρότερα και μικρότερα και μικρότερα. Και όταν βγαίνω από την άλλη άκρη, προς την άκρη του indigo, θα τα κάνω να γίνονται όλο και πιο μικρά και μικρότερα. Μέχρι να φτάσω στο indigo, είναι απλώς ένα σημείο. Και όταν φτάνω στο κόκκινο είναι απλώς ένα σημείο.

Εντάξει. Και αυτό το αντικείμενο, είτε το πιστεύετε είτε όχι, είναι στην πραγματικότητα μια σφαίρα. Επειδή μπορείτε να κόψετε μια σφαίρα ξεκινώντας από το ένα άκρο σε ένα σημείο και μετά να την κόψετε και να πάρετε έναν μικρό κύκλο και μετά έναν μεγαλύτερο κύκλο και έναν μεγαλύτερο κύκλο μέχρι να φτάσετε στο — στο μεσαίο σημείο, που είναι ο μεγαλύτερος κύκλος και μετά οι κύκλοι συρρικνώνονται σε ένα σημείο. Μόνο τώρα, αυτή τη φορά, όλοι αυτοί οι κύκλοι έχουν γίνει κόμποι.

Strogatz (21:51):Θεέ μου, είσαι ο ήρωάς μου. Έχω ζήσει πολύ καιρό να σκέφτομαι τους κόμπους. Και ποτέ δεν κατάλαβα πώς θα μπορούσες να έχεις μια σφαίρα με κόμπους σε τέσσερις διαστάσεις. Ας προσπαθήσω όμως να πω αυτό που μόλις είπες. Νομίζω ότι το κατάλαβα. Αυτό είναι ωραίο. Θα κάνετε λοιπόν ένα τρίφυλλο κόμπο, αυτός είναι ο μικρός μας κόμπος με τρεις διασταυρώσεις, μοιάζει με τριφυλλόφυλλο, κάπως, εκτός από το ότι είναι τριφύλλι, αλλά αγνοήστε το.

Έχω λοιπόν αυτόν τον κόμπο τριφυλλιού. Και φαντάζεστε μια συλλογή ουράνιου τόξου από φύλλα τριφυλλιού που πηγαίνουν από κόκκινο στη μία άκρη έως λουλακί στην άλλη άκρη. Έχω όλο αυτό το φάσμα, ένα ολόκληρο ουράνιο τόξο από τρίφυλλα που κάθονται το ένα δίπλα στο άλλο. Και μετά λέτε σε κάθε άκρο, συρρικνώστε τα έτσι ώστε στα άκρα, το κόκκινο να είναι σχεδόν ένα σημείο. Και το indigo είναι ένα σημείο. Και τώρα έχω κάτι που λέτε ότι σας θυμίζει, αν κοιτούσατε την υδρόγειο, μια συνηθισμένη σφαίρα, και ξεκινούσατε να κάνετε φέτες από τον βόρειο πόλο μέχρι το νότιο πόλο, παίρνοντας φέτες κατά μήκος των γραμμών γεωγραφικού πλάτους - θα ξεκινούσα απλά αποκόπτοντας τον βόρειο πόλο, αυτό είναι ένα σημείο. Στη συνέχεια, καθώς κατεβαίνω, γίνονται όλο και μεγαλύτεροι οι γεωγραφικοί κύκλοι. Μετά φτάνω στον ισημερινό, βγάζω έναν μεγάλο κύκλο. Τότε οι κύκλοι μου αρχίζουν να μικραίνουν ξανά και μετά συρρικνώνονται σε ένα σημείο.

Έτσι, μια σφαίρα αποτελείται από αυτά — ένα σημείο που ακολουθείται από αυξανόμενους κύκλους που ακολουθούνται από συρρικνούμενους κύκλους που ακολουθούνται από ένα σημείο. Και μόλις το έκανες με τον κόμπο του τριφυλλιού. Εκτός από το ότι συμβαίνει να έχει κόμπους, αλλά λέτε ότι κατά κάποιο τρόπο δεν βλέπουμε ότι εξακολουθεί να είναι μια σφαίρα που αξίζει τα τρίφυλλα.

Ουάου. Μου αρέσει αυτό που μόλις εξηγήσατε σχετικά με τη σκέψη για τις σφαίρες με κόμπους σε τέσσερις διαστάσεις. Επειδή ένα από τα πράγματα για τα οποία θέλω να μιλήσω με τον επόμενο καλεσμένο μου, με τη Lisa Piccirillo, είναι η δουλειά που έκανε σχετικά με το αν ένα συγκεκριμένο είδος κόμπου με 11 διασταυρώσεις, που ονομάζεται κόμπος Conway, είναι "slice" — το οποίο ήταν πολύ διάσημο μακροχρόνιο πρόβλημα στη θεωρία των κόμβων. Δηλαδή, πώς πρέπει να σκεφτώ το slice;

Adams (23:51):Ναι, λοιπόν, το κομμάτι επιστρέφει σε αυτό το γεγονός που ανέφερα ότι κάθε κόμπος σε τέσσερα διαστήματα είναι ασήμαντο. Με άλλα λόγια, κάθε κόμπος στο τετραχώρο μπορεί να παραμορφωθεί στον ασήμαντο κόμβο και μόλις τον παραμορφώσετε στον ασήμαντο κόμπο, θα μπορούσατε πραγματικά να τον παραμορφώσετε σε ένα επίπεδο, ένα δισδιάστατο επίπεδο σε τετραδιάστατο. Και αυτό το δισδιάστατο επίπεδο δεσμεύει έναν δίσκο.

Εντάξει; Έτσι, αυτός ο κόμπος δεσμεύει έναν δίσκο. Και όταν κοιτάξετε για πρώτη φορά τον κόμπο, προτού τον παραμορφώσετε ώστε να μοιάζει με τον ασήμαντο κόμπο που κάθεται σε ένα αεροπλάνο, μπορεί να είναι πραγματικά ακατάστατα, άσχημα πράγματα που κάθονται στο διάστημα και δεν μπορείτε καν να πείτε ότι είναι στην πραγματικότητα ασήμαντο, αλλά ξέρουμε ότι είναι. Και ως εκ τούτου, υπάρχει αυτός ο δίσκος που έχει απλώς λυγίσει και δεν έχει σχήμα, και φαίνεται πολύ άσχημος και είναι πραγματικά απαίσιος, αλλά είναι εκεί. Έτσι, κάθε μεμονωμένος κόμπος πρέπει να δεσμεύει έναν δίσκο σε τετραδιάστατο χώρο.

Και το ερώτημα είναι πόσο ωραίος είναι ο δίσκος; Και αυτό είναι πραγματικά αυτό που συμβαίνει όταν μιλάτε για sliceness. Έτσι, συγκεκριμένα, μπορείτε να θέσετε το ερώτημα:για έναν δεδομένο κόμπο, είναι ομαλή κοπή; Και τι σημαίνει αυτό είναι, δεσμεύει έναν λείο δίσκο; Και ένας ομαλός δίσκος σημαίνει ότι είναι πολύ ωραίος, δεν τσακίζει πουθενά, είναι πολύ ομαλός, έχει - υπάρχουν όλα τα παράγωγα, με τον τρόπο που λέτε επίσημα ότι δεν υπάρχουν τσακίσματα σε αυτόν. Αυτή είναι λοιπόν μια ερώτηση που έχουν κάνει οι άνθρωποι για διάφορους κόμπους με την πάροδο του χρόνου. Και συγκεκριμένα, υπάρχει αυτός ο κόμπος που λέγεται κόμπος Conway που οφειλόταν στον John Conway όταν έβαζε τους κόμβους σε πίνακα και υποθέτω ότι δεν το είπα πριν, αλλά ο John Conway όταν ήταν στο γυμνάσιο, άρχισε να ταξινομεί τα κόμβους, και εκείνη την εποχή, το μόνο που ήξεραν ήταν οι κόμβοι των 10 σταυρών, και κατάλαβε πώς να καταγράψει τους κόμβους των 11 σταυρών.

(25:37) And so he was looking at the 11-crossing knots and he stumbled across this one knot that was really difficult to decide whether or not it was smoothly slice or not. And so he had this very difficult knot to deal with, but what made it difficult was that it was what’s called a mutant of another knot, called the Kinoshita-Terasaka knot. A very well-known knot, and he needed to figure out whether or not this particular knot, this new knot, that was a mutant of the other knot, was smoothly slice. And the Kinoshita-Terasaka knot is smoothly slice.

And interestingly enough, those two knots actually appear on the north gate and the south gate of the Mathematics Institute in Cambridge, because they were such famous knots, people were so intrigued by these two knots.

And so he put out this problem and he asked this question, and when he asked this question, this would have been in 1970 or so, ’74 maybe, and so, it’s, you know, a good 50 years ago that he asked this question, is this knot smoothly slice? Does this knot bound a disk in four-space that is this beautiful, smooth surface? And that question remained open for 50 years.

Strogatz (26:46):Wow. So, Colin, this has been absolutely wonderful. Thank you so much for spending time with us. I really feel like it taught us a lot.

Adams: Oh, thanks, Steve. It was really a lot of fun to talk to you.

Announcer (26:59):Want to know what’s happening at the frontiers of math, physics, computer science and biology? Get entangled with Quanta Magazine , an editorially independent publication supported by the Simons Foundation. Our mission is to illuminate basic science and math research through public service journalism. Visit us at quantamagazine.org.

Strogatz (27:27):So, we’ve just heard a lot about knots and some of their uses from Colin Adams. Let’s talk now with someone who solved the 50-year-old problem about something called the Conway knot. My next guest, Lisa Piccirillo, did this on her own time as a graduate student, and she cracked it in about a week of intense work. Lisa Piccirillo is now an assistant professor of mathematics at MIT, where she specializes in the study of three-and four-dimensional spaces. Thank you so much for joining us today, Lisa.

Lisa Piccirillo (27:57):Thanks for having me.

Strogatz: I’m really excited about this. This is a great treat.

Your story got a lot of press over the years. It’s a sensational discovery that you made, and a really slick proof, beautiful argument. And I guess I’d love it if you could tell it as a story. Like, my understanding is you were at somebody’s — was it a birthday conference or something, when you first became aware of the question?

Piccirillo (28:21):Yeah, that’s right. I was at Bob Gompf’s birthday conference at UT [University of Texas] Austin, and it was like the end of the day on Saturday. I’d been to quite a few talks, and somebody was giving a talk on something a bit adjacent to what I do. But early on, you know, she was trying to convince people that her work is hard, and there’s lots of hard problems here. And she, she put up this slide. And she said, for example, we still don’t even know if this 11-crossing knot is slice.

And I know a bit about the field. But I don’t work in it too carefully. But, you know, there are tools, this is a mature field, I just thought, “Come on. Like, what do you mean, we don’t know that that 11-crossing knot is not slice?”

I guess I thought, “Well, it must not be that hard. It just must be that nobody cares.” So, but I thought, there are some people in my department who are interested in this sort of thing, and it was close to some work I was doing. So maybe I would try to use some tools I’d been developing to do this. And I’ll just show, like, the speaker, maybe. And she’ll say, wow, that’s nice. Good job. And that would be that.

Strogatz (29:31):So who was the speaker that you’re referring to?

Piccirillo: Oh, Shelly Harvey. She’s faculty at Rice.

Strogatz: Εντάξει. And she’s a topologist, I assume.

Piccirillo (29:39):That’s right. And she really studies knot concordance as sort of her primary interest.

Strogatz (29:44):Huh. So Shelly gives this talk. You’re sitting there. At that point you’re how far into grad school?

Piccirillo (29:51):I was in my, the end of my fifth year. So I had one more year left, and I was going on the job market that fall.

Strogatz (29:56):Okay. And you mentioned that it was a Saturday. Is that the end of the conference?

Piccirillo (30:00):No, there were a couple of talks early in the morning on Sunday because the World Cup was on. And they were supposed to be at a normal time. But then people made them put the talks at like 7am so that they could go to the bar at like 10 to watch the World Cup.

Strogatz (30:15):This is it; the true secrets of mathematicians finally being revealed.

Piccirillo: Yeah, maybe I shouldn’t say that.

Strogatz (30:21):Okay, but so, you’re at this event, it’s a Saturday, you hear the talk. Like you — apparently you didn’t understand the magnitude of the question at the time.

Piccirillo (30:29):No, she just said it flippantly. Kind of like, yeah, we’re sort of bad at knot concordance because we can’t even do this.

Strogatz (30:35):Maybe this would be a good time for you to tell us a little, what the problem was, or why is Conway’s knot interesting?

Piccirillo (30:42):Yeah, so John Conway is this really legendary mathematician. He studied many things, knot theory, like, once or twice, but had a big impact on the field, in any case. And he built this knot, which is now called the Conway knot, in the late ‘70s. And he built it to be kind of a sneaky pathological knot. He was interested in some more three-dimensional properties of it, but it turned out he did a good job building a sneaky knot. So it’s hard, it’s kind of hard to deal with the Conway knot in almost all settings.

Strogatz (31:17):Can you tell us what’s sneaky about it?

Piccirillo (31:19):Yeah, what’s sneaky about it is that it has, like, a friend. Its friend is called the Kinoshita-Terasaka knot. There’ll be a quiz about that at the end. And it looks a lot like its friend, but they’re not actually the same knot. But it’s hard to tell that they’re not the same knot because they look so similar that the ways that we try to measure when knots are different, they can’t tell they’re different.

Strogatz (31:43):That’s very elegant. I love that. That’s a great summary, that this is the big issue in knot theory. I mean, Colin Adams mentioned that to us, when we were speaking to him, that one of the main enterprises is to figure out ways of distinguishing two knots, if they’re truly different. And you said that in the case of the Conway knot, the Conway knot was sort of artfully contrived to be ultimately very sneaky, a very good imposter to look a lot like this Kinoshita, what was it? Terasaka? What was it? I’m failing the quiz! Did I get that right?

Piccirillo (32:14):That’s exactly right.

Strogatz: So, that’s the point though. It’s like this artful imposter.

Piccirillo (32:17):That’s right. There’s a word for the type of imposter it is. It’s called a mutant of the Kinoshita-Terasaka knot.

Strogatz (32:23):Okay. So anyway, I mean, one thing that I’ve heard said about the Conway knot, is that, in terms of Conway’s contributions, one of the things he did was, people had understood or classified the knots up to 10 crossings. But all the knots with 11 crossings had not been classified apparently, or listed even, enumerated, until his work. And that he found this peculiar one with 11 crossings that could, as far as a certain invariant called the Alexander polynomial, or maybe even the Conway polynomial, that Conway’s knot was this fantastic imposter for a perfect circle, the Alexander polynomial couldn’t tell it apart.

Piccirillo (33:04):Yeah, that’s right. And even worse, maybe, the circle and the Kinoshita-Terasaka knot and the Conway knot all have the same Alexander polynomial.

Strogatz (33:14):Alright, so you hear about this problem from Shelley at the conference and you had this feeling… I forget exactly how you put it, but sort of like, “oh, come on, maybe I can solve this and show her.”

Piccirillo (33:28):Yeah, so I knew, right away, how I would try to show it. But there’s this kind of technical thing you have to do. So, I went to the conference dinner and had fun and didn’t do any more math. And then on Sunday, I think, maybe I didn’t go to watch the World Cup. And instead, I went to a café, and I started writing down the kind of technical thing I’d need to do, if I was going to show this knot wasn’t slice.

I don’t know, I worked for a few hours, and then put it away because I had, sort of, things I actually needed to be doing. And I just kind of kept following up on the evenings for the rest of the week, building this other knot. Maybe by midweek, I had the other knot. And then I computed something for the other knot. But I wasn’t doing this every night or staying up really late or anything.

Strogatz (34:11):All right, so maybe we should back up a little. And … I mean, because you’ve sketched what your strategy was, that you needed to compute a certain technical thing. And that would settle the question, and then you spent the rest of the week, I guess, computing it and everything worked, more or less. Which does make it sound easy, except that nobody else had been able to do it for 50 years.

Piccirillo (34:31):Well, the technical thing was not in vogue for 50 years. It’s probably still not in vogue, but it was what I was into. That’s maybe kind of where I had something that other people didn’t have, was that I study traces.

Strogatz (34:45):But we don’t yet know what a trace is. So maybe you could try to tell us a little, what is the trace of a knot?

Piccirillo (34:50):Sure. Something topologists do all the time is they use knots to build manifolds. A manifold is a space. In fact, for me, manifolds are the whole point of math, and knots are just a thing you use to get manifolds.

So that’s what I do with knots, I build manifolds out of them. And there’s a lot of ways to build a manifold out of a knot. If you think about a knot, maybe you’re thinking about it as being, kind of just floating in 3D space in front of you. And what you could do is you could look at its complement. So, the space around the knot, but not the knot itself. That’s this kind of interesting three-dimensional thing. So that’s a three-dimensional manifold associated to the knot.

A trace is a four-dimensional manifold associated to the knot, and — how should I tell you to think about the trace?

So let me do everything a dimension down first. If you had a knot embedded in two-dimensional space. So, you have a circle, maybe it looks kinda boring, that’s fine, you have a circle sitting on the table top. Then, you have some 3D space that sits below the table, all the air under there. And what you could do is you could take a bowl and put it upside down on top of the table, so that the rim of the bowl sits on your knot. And what we would call the 3D trace of that knot, which is sitting in the tabletop, would be the space below the table, plus the bowl.

You know, there’s the tabletop, that’s the 2D space that the knot lives in. There’s the air below the table. That’s 3D. And then there’s, like, this ceramic bowl, which is also 3D, sitting over the knot. So that would be the trace of a knot that was in 2D space.

Strogatz (36:16):That’s, it’s very illuminating to hear you trying to explain this. Admittedly, it’s very tough, and I want to congratulate you for doing it. But it’s, I think it’s revealing that you are using these analogies a dimension down, where we can picture things. Is that actually how you do this, when you’re working? Do you kind of go by analogy? Since I assume you can’t really picture these four-dimensional traces.

Piccirillo (36:53):That’s right. We call these analogies schematics, and all I do all day is draw schematics. And because — because of course, I can’t draw pictures of four-dimensional space. But I think that one of the things that drew me to topology, and four-dimensional topology in particular is — okay, topology is a really visual field, I really like that. And in three dimensions, sometimes we prove things by just, like, drawing the right picture of them.

And in four dimensions, that gets harder. Like, that ability to just literally observe the space goes away. But you can still draw these representative pictures where you lose some but not all information. And maybe if you draw many different pictures like that, if they each lose different types of information, then the set of pictures together, like, actually does still let you understand your space.

Maybe here’s something. Let me say what it means for a knot to be slice and then try to give you a little bit of intuition about why not all knots are slice. And I’ll use a very low-dimensional example to do it. A knot is slice, if it bounds a disk in four-dimensional space. So the disk gets to go kind of into that four-dimensional foam block, but the knot has to stay on its boundary, in three-space. And you can’t picture that, I can’t picture that, but that’s what it means.

So let’s try to picture what we maybe could picture which is, if we took, if we took our one-dimensional knot in the tabletop again, you know, you could find a disk that it bounds in the foam block below the table, because you could just sort of think about a bowl, you know, down there in the foam, and that would be a two-dimensional disk that the knot bounds.

Strogatz (38:29):Though actually, if I — to just pause for a second there, I don’t want you to lose your train of thought. But when you say disk, I think most people at this point are imagining a geometrical disk. So they would have thought of the flat part of the table underneath the bowl. But you — but in topology we don’t care about flatness. So you would say any bowl that has that circle as its boundary, including the disk that I’m picturing, but it could be a floppy thing that’s in the foam.

Piccirillo (38:54):Yeah, yeah, that’s right, I forgot to even make the distinction. All of my objects are made of rubber.

Strogatz (38:58):All right, but sorry, I interrupted you, so.

Piccirillo (38:59):So, and we were going to talk about zero-dimensional knots in one-dimensional space. So, a zero-dimensional knot is two points. And it lives in a line, if we’re letting it live in one-dimensional space. If a knot like that were going to be slice, what we would be asking for is a one-dimensional disk. So, like an interval, to have its boundary that knot.

I can’t build you a zero-dimensional knot that’s not slice, but I can build you a zero-dimensional link that’s not slice. So you’re going to think about your 1D space as being, like, the real numbers. And let’s take our first knot to be the points -1 and 1, and our second knot to be the points 0 and 2. So our knots are kind of intertwined.

Strogatz (39:43):Oh, that’s cool. So this is already the idea of what it means to be a link in one dimension. Is those two points, these pairs of points are interdigitated, where one of them is between the other two.

Piccirillo (39:53):Interdigitated is a really good word. Ναι.

Strogatz: Okay.

Piccirillo (39:58):So that one-dimensional space, we’re thinking of that as being, you know, the top of some piece of paper. And what we’d want to find is two intervals in our piece of paper that don’t intersect each other, and whose boundaries are two knots. Well, you can visualize trying to do that. And I think what you’re visualizing is it not going very well, right, those two intervals would have to hit each other if you want them to.

Strogatz (40:21):I’m picturing two chin straps.

Piccirillo: Exactly.

Strogatz (40:24):Right, so there’s two points on a line, and they’re each one — each of the pairs of points has a chin strap hanging down, that goes from one point to the other point. And then when I interdigitate the other chin strap, the chin straps cross each other. And that’s bad? That’s no good?

Piccirillo (40:40):That’s bad. Yeah, you’re not allowed to have that. So I would call that link not slice because the chin straps are touching.

Strogatz ( 40:47):Oh, god, this is great. Thank you this, this was really helpful.

Piccirillo (40:51):Yeah, it’s sort of stunning that down there in dimension zero, you can learn something. But there we go.

Strogatz (40:56):Sounds like we need to talk more about the Rasmussen invariant, which you didn’t mention yet, and that kind of stuff.

Piccirillo (41:02):Sure. So the approach was, it was kind of in two parts. There’s this — and it started with this fact that I knew, because everybody who studies traces knows this fact, which is if you have a pair of knots that have the same trace, then they’re either both slice or they’re both not slice. So the thing that was immediate in the room, because I knew this fact, was that apparently the Conway knot is weird. So I don’t want to try to prove whether the Conway knot is slice or not, what I’m going to do is build another knot that has same trace as the Conway knot. And I’m going to study that other knot, and hopefully it won’t be so weird and hard to deal with.

So, the thing I went home to do was build the other knot. And that’s what took, I don’t know, until Thursday or something. But then, on Thursday night, I have this other knot in my hands. And now I just have to show that this other knot isn’t slice. And for that, well, I just used, as you mentioned, an invariant, one of these tools we use to detect properties of knots. There’s a kind of common invariant for obstructing sliceness called the “s” invariant, which was defined by Jake Rasmussen. And that’s what I used, then it worked.

Strogatz (42:07):And was it the first — like, you got lucky on the first try? Or did you try a few other invariants and they didn’t work?

Piccirillo (42:13):Well… both. I knew that a lot of other invariants couldn’t work. And there’s many invariants which, if the knots have the same trace, then the invariants match. So, since the Conway knot… In fact, I didn’t check, but since Shelly seemed to believe it was hard to show the Conway knot wasn’t slice, I assumed that she had checked the invariants for the Conway knot, so I shouldn’t use any that would sort of be preserved by the trace. And I had recently shown in some earlier work that the Rasmussen invariant didn’t have this property of being preserved by traces. So, it was a good choice.

Strogatz (42:48):Well, Lisa, thank you. This has been super fun, and mind-blowing,  honestly. And all I can say is thank you very much for sharing. Really enjoyed talking with you.

Piccirillo (42:59):Thanks. It was a pleasure to be here.

Announcer (43:05):Explore more science mysteries in the Quanta book Alice and Bob Meet the Wall of Fire , published by The MIT Press. Available now at amazon.com, barnesandnoble.com or your local bookstore. Also, make sure to tell your friends about The Joy of Why podcast, and give us a positive review or follow where you listen. It helps people find this podcast.

Strogatz (43:30):The Joy of Why is a podcast from Quanta Magazine , an editorially independent publication supported by the Simons Foundation. Funding decisions by the Simons foundation have no influence on the selection of topics, guests or other editorial decisions in this podcast, or in Quanta Magazine . The Joy of Why is produced by Susan Valot and Polly Stryker. Our editors are John Rennie and Thomas Lin. Our theme music was composed by Richie Johnson, and I’m your host, Steve Strogatz. If you have any questions or comments for us, please email us at [email protected] Thanks for listening.