Το μυστήριο στην καρδιά της φυσικής που μόνο τα μαθηματικά μπορούν να λύσουν

Κατά τον περασμένο αιώνα, η κβαντική θεωρία πεδίου έχει αποδειχθεί ότι είναι η πιο σαρωτική και επιτυχημένη φυσική θεωρία που επινοήθηκε ποτέ. Είναι ένας όρος-ομπρέλα που περιλαμβάνει πολλές συγκεκριμένες θεωρίες κβαντικού πεδίου — ο τρόπος με τον οποίο το «σχήμα» καλύπτει συγκεκριμένα παραδείγματα όπως το τετράγωνο και ο κύκλος. Η πιο σημαντική από αυτές τις θεωρίες είναι γνωστή ως Καθιερωμένο Μοντέλο, και αυτό το πλαίσιο της φυσικής είναι που ήταν τόσο επιτυχημένο.

"Μπορεί να εξηγήσει σε ένα θεμελιώδες επίπεδο κυριολεκτικά κάθε πείραμα που έχουμε κάνει ποτέ", δήλωσε ο David Tong, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Cambridge.

Αλλά η κβαντική θεωρία πεδίου, ή QFT, είναι αναμφισβήτητα ελλιπής. Ούτε οι φυσικοί ούτε οι μαθηματικοί γνωρίζουν ακριβώς τι κάνει μια κβαντική θεωρία πεδίου κβαντική θεωρία πεδίου. Έχουν μια γεύση από την πλήρη εικόνα, αλλά δεν μπορούν ακόμη να το καταλάβουν.

«Υπάρχουν διάφορες ενδείξεις ότι θα μπορούσε να υπάρξει καλύτερος τρόπος σκέψης για το QFT», δήλωσε ο Nathan Seiberg, φυσικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών. "Φαίνεται ότι είναι ένα ζώο που μπορείτε να το αγγίξετε από πολλά μέρη, αλλά δεν βλέπετε ολόκληρο το ζώο."

Τα μαθηματικά, που απαιτούν εσωτερική συνέπεια και προσοχή στην τελευταία λεπτομέρεια, είναι η γλώσσα που μπορεί να κάνει το QFT ολοκληρωμένο. Εάν τα μαθηματικά μπορούν να μάθουν πώς να περιγράφουν το QFT με την ίδια αυστηρότητα με την οποία χαρακτηρίζουν καθιερωμένα μαθηματικά αντικείμενα, πιθανότατα θα έρθει μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του φυσικού κόσμου στη διαδρομή.

«Αν καταλάβατε πραγματικά την κβαντική θεωρία πεδίου με σωστό μαθηματικό τρόπο, αυτό θα μας έδινε απαντήσεις σε πολλά ανοιχτά προβλήματα φυσικής, ίσως ακόμη και στην κβαντοποίηση της βαρύτητας», είπε ο Robbert Dijkgraaf, διευθυντής του Ινστιτούτου Προηγμένων Μελετών (και τακτικός αρθρογράφος για Quanta ).

Ούτε αυτός είναι μονόδρομος. Για χιλιετίες, ο φυσικός κόσμος ήταν η μεγαλύτερη μούσα των μαθηματικών. Οι αρχαίοι Έλληνες επινόησαν την τριγωνομετρία για να μελετήσουν την κίνηση των άστρων. Τα μαθηματικά το μετέτρεψαν σε μια πειθαρχία με ορισμούς και κανόνες που τώρα μαθαίνουν οι μαθητές χωρίς καμία αναφορά στην ουράνια προέλευση του θέματος. Σχεδόν 2.000 χρόνια αργότερα, ο Ισαάκ Νεύτων ήθελε να κατανοήσει τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών και προσπάθησε να βρει έναν αυστηρό τρόπο σκέψης για την απειροελάχιστη αλλαγή. Αυτή η παρόρμηση (μαζί με τις αποκαλύψεις από τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς) γέννησε το πεδίο του λογισμού, τον οποίο τα μαθηματικά οικειοποιήθηκαν και βελτίωσαν — και σήμερα δύσκολα θα μπορούσε να υπάρξει χωρίς.

Τώρα οι μαθηματικοί θέλουν να κάνουν το ίδιο για το QFT, παίρνοντας τις ιδέες, τα αντικείμενα και τις τεχνικές που έχουν αναπτύξει οι φυσικοί για να μελετήσουν τα θεμελιώδη σωματίδια και να τα ενσωματώσουν στο κύριο σώμα των μαθηματικών. Αυτό σημαίνει τον καθορισμό των βασικών χαρακτηριστικών του QFT, έτσι ώστε οι μελλοντικοί μαθηματικοί να μην χρειάζεται να σκεφτούν το φυσικό πλαίσιο στο οποίο προέκυψε για πρώτη φορά η θεωρία.

Οι ανταμοιβές είναι πιθανό να είναι μεγάλες:Τα μαθηματικά μεγαλώνουν όταν βρίσκουν νέα αντικείμενα προς εξερεύνηση και νέες δομές που καταγράφουν μερικές από τις πιο σημαντικές σχέσεις - μεταξύ αριθμών, εξισώσεων και σχημάτων. Το QFT προσφέρει και τα δύο.

"Η ίδια η φυσική, ως δομή, είναι εξαιρετικά βαθιά και συχνά ένας καλύτερος τρόπος να σκεφτόμαστε μαθηματικά πράγματα που μας ενδιαφέρουν ήδη. Είναι απλώς ένας καλύτερος τρόπος να τα οργανώσουμε", δήλωσε ο David Ben-Zvi, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τέξας, Όστιν.

Για τουλάχιστον 40 χρόνια, το QFT έχει δελεάσει τους μαθηματικούς με ιδέες που πρέπει να ακολουθήσουν. Τα τελευταία χρόνια, άρχισαν επιτέλους να κατανοούν μερικά από τα βασικά αντικείμενα στο ίδιο το QFT — αφαιρώντας τα από τον κόσμο της σωματιδιακής φυσικής και μετατρέποντάς τα σε μαθηματικά αντικείμενα από μόνα τους.

Ωστόσο, είναι ακόμη νωρίς στην προσπάθεια.

«Δεν θα μάθουμε μέχρι να φτάσουμε εκεί, αλλά είναι σίγουρα η προσδοκία μου ότι βλέπουμε απλώς την κορυφή του παγόβουνου», είπε ο Γκρεγκ Μουρ, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο Ράτγκερς. "Εάν οι μαθηματικοί κατανοούσαν πραγματικά [QFT], αυτό θα οδηγούσε σε βαθιά πρόοδο στα μαθηματικά."

Πεδία για πάντα

Είναι σύνηθες να πιστεύουμε ότι το σύμπαν είναι κατασκευασμένο από θεμελιώδη σωματίδια:ηλεκτρόνια, κουάρκ, φωτόνια και τα παρόμοια. Αλλά η φυσική προ πολλού κινήθηκε πέρα ​​από αυτήν την άποψη. Αντί για σωματίδια, οι φυσικοί μιλούν τώρα για πράγματα που ονομάζονται «κβαντικά πεδία» ως το πραγματικό στημόνι και το πλέγμα της πραγματικότητας.

Αυτά τα πεδία εκτείνονται σε όλο τον χωροχρόνο του σύμπαντος. Έρχονται σε πολλές ποικιλίες και κυμαίνονται σαν κυλιόμενος ωκεανός. Καθώς τα πεδία κυματίζουν και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, τα σωματίδια αναδύονται από αυτά και μετά εξαφανίζονται ξανά μέσα τους, όπως οι φευγαλέες κορυφές ενός κύματος.

«Τα σωματίδια δεν είναι αντικείμενα που υπάρχουν για πάντα», είπε ο Tong. "Είναι ένας χορός των χωραφιών."

Για να κατανοήσετε τα κβαντικά πεδία, είναι πιο εύκολο να ξεκινήσετε με ένα συνηθισμένο ή κλασικό πεδίο. Φανταστείτε, για παράδειγμα, να μετράτε τη θερμοκρασία σε κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης. Συνδυάζοντας τα άπειρα σημεία στα οποία μπορείτε να κάνετε αυτές τις μετρήσεις, σχηματίζεται ένα γεωμετρικό αντικείμενο, που ονομάζεται πεδίο, το οποίο συσκευάζει όλες αυτές τις πληροφορίες θερμοκρασίας.

Γενικά, τα πεδία εμφανίζονται κάθε φορά που έχετε κάποια ποσότητα που μπορεί να μετρηθεί μοναδικά σε απείρως λεπτή ανάλυση σε ένα χώρο. «Μπορείτε κατά κάποιο τρόπο να κάνετε ανεξάρτητες ερωτήσεις για κάθε σημείο του χωροχρόνου, όπως τι είναι το ηλεκτρικό πεδίο εδώ σε σχέση με εκεί πέρα», είπε ο Davide Gaiotto, φυσικός στο Perimeter Institute for Theoretical Physics στο Waterloo του Καναδά. /P>

Τα κβαντικά πεδία εμφανίζονται όταν παρατηρείτε κβαντικά φαινόμενα, όπως η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου, σε κάθε σημείο του χώρου και του χρόνου. Αλλά τα κβαντικά πεδία είναι θεμελιωδώς διαφορετικά από τα κλασικά.

Ενώ η θερμοκρασία σε ένα σημείο της Γης είναι αυτή που είναι, ανεξάρτητα από το αν τη μετρήσετε, τα ηλεκτρόνια δεν έχουν συγκεκριμένη θέση μέχρι τη στιγμή που θα τα παρατηρήσετε. Πριν από αυτό, οι θέσεις τους μπορούν να περιγραφούν μόνο πιθανολογικά, με την ανάθεση τιμών σε κάθε σημείο ενός κβαντικού πεδίου που καταγράφει την πιθανότητα να βρείτε ένα ηλεκτρόνιο εκεί σε σχέση με κάπου αλλού. Πριν από την παρατήρηση, τα ηλεκτρόνια ουσιαστικά δεν υπάρχουν πουθενά — και παντού.

«Τα περισσότερα πράγματα στη φυσική δεν είναι απλώς αντικείμενα. είναι κάτι που ζει σε κάθε σημείο του χώρου και του χρόνου», είπε ο Dijkgraaf.

Μια κβαντική θεωρία πεδίου συνοδεύεται από ένα σύνολο κανόνων που ονομάζονται συναρτήσεις συσχέτισης που εξηγούν πώς οι μετρήσεις σε ένα σημείο ενός πεδίου σχετίζονται - ή συσχετίζονται με - μετρήσεις που λαμβάνονται σε ένα άλλο σημείο.

Κάθε κβαντική θεωρία πεδίου περιγράφει τη φυσική σε συγκεκριμένο αριθμό διαστάσεων. Οι δισδιάστατες θεωρίες κβαντικού πεδίου είναι συχνά χρήσιμες για την περιγραφή της συμπεριφοράς υλικών, όπως οι μονωτές. Οι εξαδιάστατες θεωρίες κβαντικού πεδίου είναι ιδιαίτερα σχετικές με τη θεωρία χορδών. και οι τετραδιάστατες κβαντικές θεωρίες πεδίου περιγράφουν τη φυσική στο πραγματικό τετραδιάστατο σύμπαν μας. Το Καθιερωμένο Μοντέλο είναι ένα από αυτά. είναι η πιο σημαντική θεωρία κβαντικού πεδίου επειδή είναι αυτή που περιγράφει καλύτερα το σύμπαν.

Υπάρχουν 12 γνωστά θεμελιώδη σωματίδια που αποτελούν το σύμπαν. Το καθένα έχει το δικό του μοναδικό κβαντικό πεδίο. Σε αυτά τα 12 σωματιδιακά πεδία το Καθιερωμένο Μοντέλο προσθέτει τέσσερα πεδία δύναμης, που αντιπροσωπεύουν τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις:τη βαρύτητα, τον ηλεκτρομαγνητισμό, την ισχυρή πυρηνική δύναμη και την ασθενή πυρηνική δύναμη. Συνδυάζει αυτά τα 16 πεδία σε μια ενιαία εξίσωση που περιγράφει πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Μέσω αυτών των αλληλεπιδράσεων, τα θεμελιώδη σωματίδια νοούνται ως διακυμάνσεις των αντίστοιχων κβαντικών πεδίων τους και ο φυσικός κόσμος αναδύεται μπροστά στα μάτια μας.

Μπορεί να ακούγεται περίεργο, αλλά οι φυσικοί συνειδητοποίησαν στη δεκαετία του 1930 ότι η φυσική που βασίζεται σε πεδία και όχι σε σωματίδια, έλυσε μερικές από τις πιο πιεστικές ασυνέπειές τους, που κυμαίνονται από ζητήματα σχετικά με την αιτιότητα έως το γεγονός ότι τα σωματίδια δεν ζουν για πάντα. Εξήγησε επίσης αυτό που διαφορετικά φαινόταν να είναι μια απίθανη συνέπεια στον φυσικό κόσμο.

«Όλα τα σωματίδια του ίδιου τύπου παντού στο σύμπαν είναι τα ίδια», είπε ο Tong. «Αν πάμε στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων και φτιάξουμε ένα φρεσκοκομμένο πρωτόνιο, είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που ταξιδεύει εδώ και 10 δισεκατομμύρια χρόνια. Αυτό αξίζει κάποια εξήγηση». Το QFT το παρέχει:Όλα τα πρωτόνια είναι απλώς διακυμάνσεις στο ίδιο υποκείμενο πεδίο πρωτονίων (ή, αν μπορούσατε να δείτε πιο προσεκτικά, τα υποκείμενα πεδία κουάρκ).

Αλλά η επεξηγηματική δύναμη του QFT έχει υψηλό μαθηματικό κόστος.

«Οι κβαντικές θεωρίες πεδίου είναι μακράν τα πιο περίπλοκα αντικείμενα στα μαθηματικά, σε σημείο που οι μαθηματικοί δεν έχουν ιδέα πώς να τις καταλάβουν», είπε ο Tong. "Η κβαντική θεωρία πεδίου είναι μαθηματικά που δεν έχουν εφευρεθεί ακόμη από μαθηματικούς."

Πολύ Άπειρο

Τι το κάνει τόσο περίπλοκο για τους μαθηματικούς; Με μια λέξη, άπειρο.

Όταν μετράτε ένα κβαντικό πεδίο σε ένα σημείο, το αποτέλεσμα δεν είναι λίγοι αριθμοί όπως συντεταγμένες και θερμοκρασία. Αντίθετα, είναι ένας πίνακας, ο οποίος είναι ένας πίνακας αριθμών. Και όχι οποιοσδήποτε πίνακας — ένας μεγάλος, που ονομάζεται τελεστής, με άπειρες στήλες και σειρές. Αυτό αντικατοπτρίζει πώς ένα κβαντικό πεδίο περιβάλλει όλες τις δυνατότητες ενός σωματιδίου που αναδύεται από το πεδίο.

«Υπάρχουν άπειρες θέσεις που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο, και αυτό οδηγεί στο γεγονός ότι η μήτρα που περιγράφει τη μέτρηση της θέσης, της ορμής, πρέπει επίσης να είναι άπειρων διαστάσεων», είπε η Kasia Rejzner του Πανεπιστημίου του York. /P>

Και όταν οι θεωρίες παράγουν άπειρα, θέτει υπό αμφισβήτηση τη φυσική τους σχέση, επειδή το άπειρο υπάρχει ως έννοια, όχι ως οτιδήποτε μπορεί ποτέ να μετρήσει τα πειράματα. Καθιστά επίσης δύσκολη τη μαθηματική εργασία με τις θεωρίες.

«Δεν μας αρέσει να έχουμε ένα πλαίσιο που διατυπώνει το άπειρο. Γι' αυτό αρχίζετε να συνειδητοποιείτε ότι χρειάζεστε μια καλύτερη μαθηματική κατανόηση του τι συμβαίνει», είπε η Alejandra Castro, φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ.

Τα προβλήματα με το άπειρο χειροτερεύουν όταν οι φυσικοί αρχίζουν να σκέφτονται πώς αλληλεπιδρούν δύο κβαντικά πεδία, όπως θα μπορούσαν, για παράδειγμα, όταν μοντελοποιούνται οι συγκρούσεις σωματιδίων στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων έξω από τη Γενεύη. Στην κλασική μηχανική, αυτός ο τύπος υπολογισμού είναι εύκολος:Για να μοντελοποιήσετε τι συμβαίνει όταν δύο μπάλες του μπιλιάρδου συγκρούονται, απλώς χρησιμοποιήστε τους αριθμούς που προσδιορίζουν την ορμή κάθε μπάλας στο σημείο της σύγκρουσης.

Όταν δύο κβαντικά πεδία αλληλεπιδρούν, θα θέλατε να κάνετε κάτι παρόμοιο:πολλαπλασιάστε τον τελεστή άπειρων διαστάσεων για ένα πεδίο με τον τελεστή απεριόριστων διαστάσεων για το άλλο ακριβώς στο σημείο του χωροχρόνου όπου συναντώνται. Αλλά αυτός ο υπολογισμός — ο πολλαπλασιασμός δύο αντικειμένων άπειρων διαστάσεων που είναι απείρως κοντά μεταξύ τους — είναι δύσκολος.

"Εδώ είναι που τα πράγματα πάνε τρομερά στραβά", είπε ο Rejzner.

Καταπληκτική επιτυχία

Οι φυσικοί και οι μαθηματικοί δεν μπορούν να υπολογίσουν χρησιμοποιώντας άπειρα, αλλά έχουν αναπτύξει λύσεις - τρόπους προσέγγισης ποσοτήτων που αποφεύγουν το πρόβλημα. Αυτές οι λύσεις δίνουν κατά προσέγγιση προβλέψεις, οι οποίες είναι αρκετά καλές, επειδή ούτε τα πειράματα είναι απείρως ακριβή.

«Μπορούμε να κάνουμε πειράματα και να μετρήσουμε τα πράγματα με 13 δεκαδικά ψηφία και συμφωνούν και στα 13 δεκαδικά ψηφία. Είναι το πιο εκπληκτικό πράγμα σε όλη την επιστήμη», είπε ο Tong.

Ένας τρόπος αντιμετώπισης ξεκινά με το να φανταστείτε ότι έχετε ένα κβαντικό πεδίο στο οποίο δεν συμβαίνει τίποτα. Σε αυτό το περιβάλλον - που ονομάζεται "ελεύθερη" θεωρία επειδή είναι απαλλαγμένο από αλληλεπιδράσεις - δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τον πολλαπλασιασμό μητρών απεριόριστων διαστάσεων επειδή τίποτα δεν βρίσκεται σε κίνηση και τίποτα δεν συγκρούεται ποτέ. Είναι μια κατάσταση που είναι εύκολο να περιγραφεί με πλήρεις μαθηματικές λεπτομέρειες, αν και αυτή η περιγραφή δεν αξίζει πολλά.

"Είναι τελείως βαρετό, γιατί έχετε περιγράψει ένα μοναχικό πεδίο χωρίς τίποτα να αλληλεπιδράσετε, επομένως είναι λίγο ακαδημαϊκή άσκηση", είπε ο Rejzner.

Αλλά μπορείτε να το κάνετε πιο ενδιαφέρον. Οι φυσικοί επιλέγουν τις αλληλεπιδράσεις, προσπαθώντας να διατηρήσουν τον μαθηματικό έλεγχο της εικόνας καθώς κάνουν τις αλληλεπιδράσεις πιο ισχυρές.

Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται διαταραχή QFT, με την έννοια ότι επιτρέπετε μικρές αλλαγές, ή διαταραχές, σε ένα ελεύθερο πεδίο. Μπορείτε να εφαρμόσετε τη διαταρακτική προοπτική σε κβαντικές θεωρίες πεδίου που είναι παρόμοιες με μια ελεύθερη θεωρία. Είναι επίσης εξαιρετικά χρήσιμο για την επαλήθευση πειραμάτων. "Έχετε εκπληκτική ακρίβεια, εκπληκτική πειραματική συμφωνία", είπε ο Rejzner.

Αλλά αν συνεχίσετε να κάνετε τις αλληλεπιδράσεις ισχυρότερες, η διαταραχή τελικά υπερθερμαίνεται. Αντί να παράγει όλο και πιο ακριβείς υπολογισμούς που προσεγγίζουν το πραγματικό φυσικό σύμπαν, γίνεται όλο και λιγότερο ακριβής. Αυτό υποδηλώνει ότι ενώ η μέθοδος της διαταραχής είναι ένας χρήσιμος οδηγός για πειράματα, τελικά δεν είναι ο σωστός τρόπος να προσπαθήσουμε να περιγράψουμε το σύμπαν:Είναι πρακτικά χρήσιμο, αλλά θεωρητικά ασταθές.

«Δεν ξέρουμε πώς να αθροίσουμε τα πάντα και να πάρουμε κάτι λογικό», είπε ο Gaiotto.

Ένα άλλο σχήμα προσέγγισης προσπαθεί να εισαγάγει κρυφά σε μια πλήρη κβαντική θεωρία πεδίου με άλλα μέσα. Θεωρητικά, ένα κβαντικό πεδίο περιέχει άπειρες λεπτομερείς πληροφορίες. Για να μαγειρέψουν αυτά τα πεδία, οι φυσικοί ξεκινούν με ένα πλέγμα ή πλέγμα και περιορίζουν τις μετρήσεις σε σημεία όπου οι γραμμές του πλέγματος διασταυρώνονται μεταξύ τους. Επομένως, αντί να μπορείτε να μετράτε το κβαντικό πεδίο παντού, στην αρχή μπορείτε να το μετρήσετε μόνο σε επιλεγμένα σημεία σε σταθερή απόσταση μεταξύ τους.

Από εκεί, οι φυσικοί ενισχύουν την ανάλυση του πλέγματος, τραβώντας τα νήματα πιο κοντά μεταξύ τους για να δημιουργήσουν μια λεπτότερη και λεπτότερη ύφανση. Καθώς σφίγγεται, ο αριθμός των σημείων στα οποία μπορείτε να κάνετε μετρήσεις αυξάνεται, πλησιάζοντας την εξιδανικευμένη ιδέα ενός πεδίου όπου μπορείτε να κάνετε μετρήσεις παντού.

«Η απόσταση μεταξύ των σημείων γίνεται πολύ μικρή και κάτι τέτοιο γίνεται ένα συνεχές πεδίο», είπε ο Seiberg. Με μαθηματικούς όρους, λένε ότι το κβαντικό πεδίο συνεχούς είναι το όριο του πλέγματος σύσφιξης.

Οι μαθηματικοί έχουν συνηθίσει να εργάζονται με όρια και ξέρουν πώς να αποδεικνύουν ότι ορισμένα υπάρχουν πραγματικά. Για παράδειγμα, έχουν αποδείξει ότι το όριο της άπειρης ακολουθίας $latex \frac{1}{2}$ + $latex \frac{1}{4}$ +$latex \frac{1}{8}$ + Το $latex \frac{1}{16}$ … είναι 1. Οι φυσικοί θα ήθελαν να αποδείξουν ότι τα κβαντικά πεδία είναι το όριο αυτής της διαδικασίας πλέγματος. Απλώς δεν ξέρουν πώς.

"Δεν είναι τόσο σαφές πώς να λάβετε αυτό το όριο και τι σημαίνει μαθηματικά", είπε ο Μουρ.

Οι φυσικοί δεν αμφιβάλλουν ότι το πλέγμα σύσφιξης κινείται προς την εξιδανικευμένη έννοια του κβαντικού πεδίου. Η στενή ταύτιση μεταξύ των προβλέψεων του QFT και των πειραματικών αποτελεσμάτων υποδηλώνει έντονα ότι συμβαίνει αυτό.

«Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι όλα αυτά τα όρια υπάρχουν πραγματικά, επειδή η επιτυχία της κβαντικής θεωρίας πεδίου ήταν πραγματικά εκπληκτική», είπε ο Seiberg. Αλλά το να έχεις ισχυρές αποδείξεις ότι κάτι είναι σωστό και να αποδεικνύεις οριστικά ότι είναι είναι δύο διαφορετικά πράγματα.

Είναι ένας βαθμός ανακρίβειας που δεν συμβαδίζει με τις άλλες μεγάλες φυσικές θεωρίες που το QFT φιλοδοξεί να αντικαταστήσει. Οι νόμοι της κίνησης του Ισαάκ Νεύτωνα, η κβαντική μηχανική, οι θεωρίες ειδικής και γενικής σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν — είναι όλα απλώς κομμάτια της μεγαλύτερης ιστορίας που θέλει να πει το QFT, αλλά σε αντίθεση με το QFT, μπορούν όλα να γραφτούν με ακριβείς μαθηματικούς όρους. P>

«Η κβαντική θεωρία πεδίου εμφανίστηκε ως μια σχεδόν καθολική γλώσσα φυσικών φαινομένων, αλλά είναι σε κακή μαθηματική κατάσταση», είπε ο Dijkgraaf. Και για ορισμένους φυσικούς, αυτός είναι ένας λόγος για παύση.

«Αν η ολομέλεια βασίζεται σε αυτή τη βασική έννοια που η ίδια δεν είναι κατανοητή με μαθηματικό τρόπο, γιατί είστε τόσο σίγουροι ότι περιγράφει τον κόσμο; Αυτό οξύνει το όλο θέμα», είπε ο Dijkgraaf.

Εξωτερικός αναδευτήρας

Ακόμη και σε αυτή την ημιτελή κατάσταση, το QFT έχει προκαλέσει μια σειρά από σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις. Το γενικό μοτίβο αλληλεπίδρασης ήταν ότι οι φυσικοί που χρησιμοποιούν QFT σκοντάφτουν σε εκπληκτικούς υπολογισμούς που οι μαθηματικοί στη συνέχεια προσπαθούν να εξηγήσουν.

«Είναι μια μηχανή δημιουργίας ιδεών», είπε ο Tong.

Σε βασικό επίπεδο, τα φυσικά φαινόμενα έχουν στενή σχέση με τη γεωμετρία. Για να πάρουμε ένα απλό παράδειγμα, εάν θέσετε μια μπάλα σε κίνηση σε μια λεία επιφάνεια, η τροχιά της θα φωτίσει τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων, μια ιδιότητα γνωστή ως γεωδαισιακή. Με αυτόν τον τρόπο, τα φυσικά φαινόμενα μπορούν να ανιχνεύσουν γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός σχήματος.

Τώρα αντικαταστήστε τη μπάλα του μπιλιάρδου με ένα ηλεκτρόνιο. Το ηλεκτρόνιο υπάρχει πιθανώς παντού σε μια επιφάνεια. Μελετώντας το κβαντικό πεδίο που καταγράφει αυτές τις πιθανότητες, μπορείτε να μάθετε κάτι για τη συνολική φύση αυτής της επιφάνειας (ή πολλαπλής, για να χρησιμοποιήσω τον όρο των μαθηματικών), όπως πόσες τρύπες έχει. Αυτό είναι ένα θεμελιώδες ερώτημα που θέλουν να απαντήσουν οι μαθηματικοί που εργάζονται στη γεωμετρία και στο σχετικό πεδίο της τοπολογίας.

"Ένα σωματίδιο που κάθεται εκεί, χωρίς να κάνει τίποτα, θα αρχίσει να γνωρίζει για την τοπολογία μιας πολλαπλής", είπε ο Tong.

Στα τέλη της δεκαετίας του 1970, φυσικοί και μαθηματικοί άρχισαν να εφαρμόζουν αυτή την προοπτική για να λύσουν βασικές ερωτήσεις στη γεωμετρία. Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, ο Seiberg και ο συνεργάτης του Edward Witten ανακάλυψαν πώς να το χρησιμοποιήσουν για να δημιουργήσουν ένα νέο μαθηματικό εργαλείο - που τώρα ονομάζεται αναλλοίωτες Seiberg-Witten - που μετατρέπει τα κβαντικά φαινόμενα σε έναν δείκτη για καθαρά μαθηματικά χαρακτηριστικά ενός σχήματος:Μετρήστε τον αριθμό φορές που τα κβαντικά σωματίδια συμπεριφέρονται με συγκεκριμένο τρόπο και έχετε μετρήσει αποτελεσματικά τον αριθμό των οπών σε ένα σχήμα.

«Ο Witten έδειξε ότι η κβαντική θεωρία πεδίου δίνει εντελώς απροσδόκητες αλλά απόλυτα ακριβείς γνώσεις σε γεωμετρικά ερωτήματα, καθιστώντας τα δυσεπίλυτα προβλήματα επιλύτα», δήλωσε ο Graeme Segal, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.

Ένα άλλο παράδειγμα αυτής της ανταλλαγής συνέβη επίσης στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι φυσικοί έκαναν υπολογισμούς σχετικά με τη θεωρία χορδών. Τα εκτέλεσαν σε δύο διαφορετικούς γεωμετρικούς χώρους με βάση θεμελιωδώς διαφορετικούς μαθηματικούς κανόνες και συνέχισαν να παράγουν μεγάλα σύνολα αριθμών που ταίριαζαν ακριβώς μεταξύ τους. Οι μαθηματικοί έπιασαν το νήμα και το επεξεργάστηκαν σε ένα εντελώς νέο πεδίο έρευνας, που ονομάζεται συμμετρία καθρέφτη, που ερευνά τη σύμπτωση — και πολλά άλλα παρόμοια.

«Η φυσική θα έβγαζε αυτές τις καταπληκτικές προβλέψεις και οι μαθηματικοί θα προσπαθούσαν να τις αποδείξουν με τα δικά μας μέσα», είπε ο Ben-Zvi. "Οι προβλέψεις ήταν περίεργες και υπέροχες και αποδείχτηκαν σχεδόν πάντα σωστές."

Όμως, ενώ το QFT ήταν επιτυχές στη δημιουργία δυνητικών πελατών για να ακολουθήσουν τα μαθηματικά, οι βασικές του ιδέες εξακολουθούν να υπάρχουν σχεδόν εξ ολοκλήρου εκτός των μαθηματικών. Οι κβαντικές θεωρίες πεδίου δεν είναι αντικείμενα που οι μαθηματικοί κατανοούν αρκετά καλά ώστε να χρησιμοποιούν τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να χρησιμοποιήσουν πολυώνυμα, ομάδες, πολλαπλότητες και άλλους πυλώνες του κλάδου (πολλοί από τους οποίους προέρχονται επίσης από τη φυσική).

Για τους φυσικούς, αυτή η μακρινή σχέση με τα μαθηματικά είναι ένα σημάδι ότι πρέπει να καταλάβουν πολλά περισσότερα σχετικά με τη θεωρία που γέννησαν. «Κάθε άλλη ιδέα που χρησιμοποιήθηκε στη φυσική τους τελευταίους αιώνες είχε τη φυσική της θέση στα μαθηματικά», είπε ο Ζάιμπεργκ. "Αυτό δεν συμβαίνει σαφώς με την κβαντική θεωρία πεδίου."

Και για τους μαθηματικούς, φαίνεται ότι η σχέση μεταξύ QFT και μαθηματικών θα έπρεπε να είναι βαθύτερη από την περιστασιακή αλληλεπίδραση. Αυτό συμβαίνει επειδή οι κβαντικές θεωρίες πεδίου περιέχουν πολλές συμμετρίες ή υποκείμενες δομές, που υπαγορεύουν τον τρόπο με τον οποίο τα σημεία σε διαφορετικά μέρη ενός πεδίου σχετίζονται μεταξύ τους. Αυτές οι συμμετρίες έχουν φυσική σημασία — ενσωματώνουν τον τρόπο με τον οποίο διατηρούνται ποσότητες όπως η ενέργεια καθώς τα κβαντικά πεδία εξελίσσονται με την πάροδο του χρόνου. Αλλά είναι επίσης μαθηματικά ενδιαφέροντα αντικείμενα από μόνα τους.

«Ένας μαθηματικός μπορεί να ενδιαφέρεται για μια συγκεκριμένη συμμετρία και μπορούμε να τη βάλουμε σε ένα φυσικό πλαίσιο. Δημιουργεί αυτή την όμορφη γέφυρα μεταξύ αυτών των δύο χωραφιών», είπε ο Κάστρο.

Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν ήδη συμμετρίες και άλλες πτυχές της γεωμετρίας για να διερευνήσουν τα πάντα, από λύσεις σε διαφορετικούς τύπους εξισώσεων μέχρι την κατανομή των πρώτων αριθμών. Συχνά, η γεωμετρία κωδικοποιεί απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με αριθμούς. Το QFT προσφέρει στους μαθηματικούς έναν πλούσιο νέο τύπο γεωμετρικού αντικειμένου για να παίξουν — αν μπορούν να το πάρουν απευθείας στα χέρια τους, δεν υπάρχει καμία ένδειξη τι θα μπορούν να κάνουν.

«Παίζουμε σε κάποιο βαθμό με το QFT», είπε ο Dan Freed, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τέξας, στο Austin. "Χρησιμοποιούσαμε το QFT ως εξωτερικό ερέθισμα, αλλά θα ήταν ωραίο να ήταν ένα εσωτερικό ερέθισμα."

Κάντε το δρόμο για το QFT

Τα μαθηματικά δεν δέχονται νέα θέματα επιπόλαια. Πολλές βασικές έννοιες πέρασαν από μακροχρόνιες δοκιμές προτού εγκατασταθούν στις κατάλληλες, κανονικές τους θέσεις στο πεδίο.

Πάρτε τους πραγματικούς αριθμούς - όλα τα άπειρα σημάδια στην αριθμητική γραμμή. Χρειάστηκαν μαθηματικά σχεδόν 2.000 χρόνια εξάσκησης για να συμφωνήσουμε σε έναν τρόπο ορισμού τους. Τελικά, στη δεκαετία του 1850, οι μαθηματικοί συμφώνησαν σε μια ακριβή δήλωση τριών λέξεων που περιγράφει τους πραγματικούς αριθμούς ως ένα «πλήρες διατεταγμένο πεδίο». Είναι πλήρεις επειδή δεν περιέχουν κενά, ταξινομούνται επειδή υπάρχει πάντα ένας τρόπος να προσδιοριστεί αν ένας πραγματικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από έναν άλλο και σχηματίζουν ένα «πεδίο», το οποίο για τους μαθηματικούς σημαίνει ότι ακολουθούν τους κανόνες της αριθμητικής .

«Αυτές οι τρεις λέξεις είναι ιστορικά σκληρές», είπε ο Freed.

Προκειμένου να μετατρέψουν το QFT σε ένα εσωτερικό ερέθισμα - ένα εργαλείο που μπορούν να χρησιμοποιήσουν για τους δικούς τους σκοπούς - οι μαθηματικοί θα ήθελαν να δώσουν την ίδια αντιμετώπιση στο QFT που έδωσαν στους πραγματικούς αριθμούς:μια σαφή λίστα χαρακτηριστικών που χρειάζεται κάθε συγκεκριμένη κβαντική θεωρία πεδίου ικανοποιεί.

Πολλές εργασίες για τη μετάφραση μερών του QFT στα μαθηματικά προήλθαν από έναν μαθηματικό που ονομάζεται Kevin Costello στο Ινστιτούτο Perimeter. Το 2016 συνέγραψε ένα εγχειρίδιο που θέτει το διαταραγμένο QFT σε σταθερή μαθηματική βάση, συμπεριλαμβανομένης της επισημοποίησης του τρόπου εργασίας με τις άπειρες ποσότητες που εμφανίζονται καθώς αυξάνεις τον αριθμό των αλληλεπιδράσεων. Το έργο ακολουθεί μια προηγούμενη προσπάθεια από τη δεκαετία του 2000 που ονομάζεται αλγεβρική κβαντική θεωρία πεδίου που αναζητούσε παρόμοιους σκοπούς και την οποία ο Rejzner εξέτασε σε ένα βιβλίο του 2016. Έτσι τώρα, ενώ το διαταραγμένο QFT εξακολουθεί να μην περιγράφει πραγματικά το σύμπαν, οι μαθηματικοί ξέρουν πώς να αντιμετωπίσουν τα φυσικά μη αισθητά άπειρα που παράγει.

«Οι συνεισφορές του είναι εξαιρετικά ευφυείς και διορατικές. Έβαλε τη [διαταραχή] θεωρία σε ένα ωραίο νέο πλαίσιο που είναι κατάλληλο για αυστηρά μαθηματικά», είπε ο Μουρ.

Ο Κοστέλο εξηγεί ότι έγραψε το βιβλίο από την επιθυμία να κάνει τη διαταραχή κβαντικής θεωρίας πεδίου πιο συνεκτική. «Μόλις βρήκα ορισμένες μεθόδους φυσικών χωρίς κίνητρα και ad hoc. Ήθελα κάτι πιο αυτοτελές με το οποίο ένας μαθηματικός θα μπορούσε να εργαστεί», είπε.

Καθορίζοντας ακριβώς πώς λειτουργεί η θεωρία των διαταραχών, ο Costello δημιούργησε μια βάση πάνω στην οποία οι φυσικοί και οι μαθηματικοί μπορούν να κατασκευάσουν νέες θεωρίες κβαντικού πεδίου που ικανοποιούν τις επιταγές της προσέγγισής του για τις διαταραχές. Αγκαλιάστηκε γρήγορα από άλλους στο χώρο.

«Σίγουρα έχει πολλούς νέους που εργάζονται σε αυτό το πλαίσιο. [Το βιβλίο του] είχε την επιρροή του», είπε ο Freed.

Ο Costello εργάζεται επίσης για να ορίσει τι ακριβώς είναι η θεωρία κβαντικού πεδίου. Σε απογυμνωμένη μορφή, μια κβαντική θεωρία πεδίου απαιτεί έναν γεωμετρικό χώρο στον οποίο μπορείτε να κάνετε παρατηρήσεις σε κάθε σημείο, σε συνδυασμό με συναρτήσεις συσχέτισης που εκφράζουν τον τρόπο με τον οποίο οι παρατηρήσεις σε διαφορετικά σημεία σχετίζονται μεταξύ τους. Το έργο του Costello περιγράφει τις ιδιότητες που πρέπει να έχει μια συλλογή συναρτήσεων συσχέτισης προκειμένου να χρησιμεύσει ως εφαρμόσιμη βάση για μια κβαντική θεωρία πεδίου.

Οι πιο γνωστές θεωρίες κβαντικού πεδίου, όπως το Καθιερωμένο Μοντέλο, περιέχουν πρόσθετα χαρακτηριστικά που μπορεί να μην υπάρχουν σε όλες τις θεωρίες κβαντικών πεδίων. Οι κβαντικές θεωρίες πεδίου που δεν έχουν αυτά τα χαρακτηριστικά πιθανότατα περιγράφουν άλλες, άγνωστες ακόμα ιδιότητες που θα μπορούσαν να βοηθήσουν τους φυσικούς να εξηγήσουν φυσικά φαινόμενα που το Καθιερωμένο Μοντέλο δεν μπορεί να εξηγήσει. Εάν η ιδέα σας για μια κβαντική θεωρία πεδίου είναι πολύ στενή με τις εκδόσεις που ήδη γνωρίζουμε, θα δυσκολευτείτε ακόμη και να οραματιστείτε τις άλλες, απαραίτητες δυνατότητες.

«Υπάρχει ένας μεγάλος φανοστάτης κάτω από τον οποίο μπορείτε να βρείτε θεωρίες πεδίων [όπως το Καθιερωμένο Μοντέλο], και γύρω του υπάρχει ένα μεγάλο σκοτάδι [κβαντικών θεωριών πεδίου] που δεν ξέρουμε πώς να ορίσουμε, αλλά ξέρουμε ότι είναι εκεί. », είπε ο Gaiotto.

Ο Κοστέλο έχει φωτίσει μέρος αυτού του σκοτεινού χώρου με τους ορισμούς του για τα κβαντικά πεδία. Από αυτούς τους ορισμούς, ανακάλυψε δύο εκπληκτικές νέες θεωρίες κβαντικού πεδίου. Κανένα από τα δύο δεν περιγράφει το τετραδιάστατο σύμπαν μας, αλλά ικανοποιεί τις βασικές απαιτήσεις ενός γεωμετρικού χώρου εξοπλισμένου με συναρτήσεις συσχέτισης. Η ανακάλυψή τους μέσω της καθαρής σκέψης είναι παρόμοια με το πώς τα πρώτα σχήματα που μπορεί να ανακαλύψετε είναι εκείνα που υπάρχουν στον φυσικό κόσμο, αλλά μόλις έχετε έναν γενικό ορισμό ενός σχήματος, μπορείτε να σκεφτείτε παραδείγματα χωρίς καμία φυσική συνάφεια.

Και αν τα μαθηματικά μπορούν να προσδιορίσουν τον πλήρη χώρο των πιθανοτήτων για τις θεωρίες κβαντικού πεδίου - όλες οι πολλές διαφορετικές δυνατότητες για την ικανοποίηση ενός γενικού ορισμού που περιλαμβάνει συναρτήσεις συσχέτισης - οι φυσικοί μπορούν να το χρησιμοποιήσουν για να βρουν το δρόμο τους προς τις συγκεκριμένες θεωρίες που εξηγούν τα σημαντικά φυσικά ερωτήματα που τους ενδιαφέρουν περισσότερο περίπου.

«Θέλω να μάθω τον χώρο όλων των QFT γιατί θέλω να μάθω τι είναι η κβαντική βαρύτητα», είπε ο Κάστρο.

Μια πρόκληση πολλών γενεών

Υπάρχει πολύς δρόμος. Μέχρι στιγμής, όλες οι κβαντικές θεωρίες πεδίου που έχουν περιγραφεί με πλήρεις μαθηματικούς όρους βασίζονται σε διάφορες απλοποιήσεις, οι οποίες καθιστούν ευκολότερη τη μαθηματική εργασία μαζί τους.

Ένας τρόπος για να απλοποιήσουμε το πρόβλημα, που πηγαίνουμε δεκαετίες πίσω, είναι να μελετήσουμε απλούστερα δισδιάστατα QFT αντί για τετραδιάστατα. Μια ομάδα στη Γαλλία κατέγραψε πρόσφατα όλες τις μαθηματικές λεπτομέρειες ενός εξέχοντος δισδιάστατου QFT.

Άλλες απλοποιήσεις υποθέτουν ότι τα κβαντικά πεδία είναι συμμετρικά με τρόπους που δεν ταιριάζουν με τη φυσική πραγματικότητα, αλλά που τα καθιστούν πιο ελκυστικά από μαθηματική προοπτική. Αυτά περιλαμβάνουν «υπερσυμμετρικά» και «τοπολογικά» QFT.

Το επόμενο, και πολύ πιο δύσκολο, βήμα θα είναι να αφαιρέσουμε τα δεκανίκια και να παρέχουμε μια μαθηματική περιγραφή μιας κβαντικής θεωρίας πεδίου που ταιριάζει καλύτερα στον φυσικό κόσμο που θέλουν να περιγράψουν περισσότερο οι φυσικοί:το τετραδιάστατο, συνεχές σύμπαν στο οποίο είναι δυνατές όλες οι αλληλεπιδράσεις ταυτόχρονα.

"Αυτό είναι [ένα] πολύ ενοχλητικό πράγμα που δεν έχουμε ούτε μία κβαντική θεωρία πεδίου που μπορούμε να περιγράψουμε σε τέσσερις διαστάσεις, χωρίς διαταραχές", είπε ο Rejzner. "Είναι ένα δύσκολο πρόβλημα και προφανώς χρειάζεται περισσότερες από μία ή δύο γενιές μαθηματικών και φυσικών για να το λύσουν."

Αλλά αυτό δεν εμποδίζει τους μαθηματικούς και τους φυσικούς να το βλέπουν άπληστα. Για τους μαθηματικούς, το QFT είναι τόσο πλούσιος τύπος αντικειμένου όσο θα μπορούσαν να ελπίζουν. Ο καθορισμός των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που μοιράζονται όλες οι κβαντικές θεωρίες πεδίου θα απαιτήσει σχεδόν σίγουρα τη συγχώνευση δύο από τους πυλώνες των μαθηματικών:την ανάλυση, η οποία εξηγεί τον τρόπο ελέγχου των άπειρων και τη γεωμετρία, η οποία παρέχει μια γλώσσα για να μιλήσουμε για τη συμμετρία.

«Είναι ένα συναρπαστικό πρόβλημα μόνο στα ίδια τα μαθηματικά, γιατί συνδυάζει δύο υπέροχες ιδέες», είπε ο Dijkgraaf.

Εάν οι μαθηματικοί μπορούν να καταλάβουν το QFT, δεν μπορούμε να πούμε ποιες μαθηματικές ανακαλύψεις περιμένουν στο ξεκλείδωμά του. Οι μαθηματικοί καθόρισαν τις χαρακτηριστικές ιδιότητες άλλων αντικειμένων, όπως οι πολλαπλότητες και οι ομάδες, πριν από πολύ καιρό, και αυτά τα αντικείμενα διαπερνούν πλέον σχεδόν κάθε γωνιά των μαθηματικών. Όταν ορίστηκαν για πρώτη φορά, θα ήταν αδύνατο να προβλεφθούν όλες οι μαθηματικές προεκτάσεις τους. Το QFT υπόσχεται τουλάχιστον το ίδιο για τα μαθηματικά.

«Μου αρέσει να λέω ότι οι φυσικοί δεν ξέρουν απαραίτητα τα πάντα, αλλά η φυσική ξέρει», είπε ο Ben-Zvi. "Αν του κάνετε τις σωστές ερωτήσεις, έχει ήδη τα φαινόμενα που αναζητούν οι μαθηματικοί."

Και για τους φυσικούς, μια πλήρης μαθηματική περιγραφή του QFT είναι η άλλη πλευρά του πρωταρχικού στόχου του τομέα τους:μια πλήρης περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας.

"Αισθάνομαι ότι υπάρχει μια πνευματική δομή που την καλύπτει όλα και ίσως να περιλαμβάνει όλη τη φυσική", είπε ο Seiberg.

Τώρα οι μαθηματικοί πρέπει απλώς να το αποκαλύψουν.