Τι είναι ο Μαθηματικός τύπος Escape Velocity
Φανταστείτε ότι βρίσκεστε στο κάτω μέρος (πάτωμα) του πηγαδιού και πρέπει να δραπετεύσετε (διάσωση). Χρειάζεσαι ενέργεια και δύναμη για να σκαρφαλώσεις από το πηγάδι. Όσο πιο βαθιά είναι το πηγάδι, τόσο περισσότερη ενέργεια χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε για να φτάσετε στην κορυφή του πηγαδιού από όσο νομίζετε. Αν έχεις τη δύναμη να ανέβεις στα μισά, αναπόφευκτα θα κατέβεις στον πάτο. Η ταχύτητα διαφυγής μπορεί να υπολογίσει την ακριβή ποσότητα ενέργειας που απαιτείται για να φτάσει στην κορυφή του πηγαδιού, εάν δεν απομείνει ενέργεια μετά την απομάκρυνση.
Η ταχύτητα διαφυγής μπορεί να εκφραστεί ως η συγκεκριμένη ποσότητα ενέργειας που απαιτείται για την έξοδο από τη βαρυτική έλξη ενός αντικειμένου που φέρει μάζα. Όλα τα πράγματα έχουν μια μετρήσιμη βαρυτική έλξη επειδή έχουν μάζα.
Ταχύτητα διαφυγής
Η ταχύτητα διαφυγής μπορεί να περιγραφεί ως η ελάχιστη ταχύτητα με την οποία ένα σώμα μπορεί να ωθηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω για να διαφύγει (έξοδος) από τη βαρυτική έλξη της γης και να μην επιστρέψει ποτέ στο σπίτι.
Όταν πετάτε κάτι κάθετα προς τα πάνω, ταξιδεύει σε ένα δεδομένο ύψος και στη συνέχεια πέφτει πίσω στο έδαφος. Ωστόσο, η ρίψη του με μεγαλύτερη αρχική ταχύτητα ανεβαίνει ψηλότερα πριν πέσει πίσω στο έδαφος.
Με αυτόν τον τρόπο, εάν συνεχίσουμε να πετάμε ένα αντικείμενο με συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα, το αντικείμενο θα περάσει τελικά μέσα από το βαρυτικό πεδίο της γης και θα διαφύγει (έξοδος) από αυτό.
Η ταχύτητα διαφυγής είναι η ελάχιστη αρχική ταχύτητα με την οποία ένα αντικείμενο μπορεί να προωθηθεί μακριά από τη βαρυτική έλξη της γης.
Ποιος είναι ο μαθηματικός τύπος της ταχύτητας διαφυγής;
Η ταχύτητα διαφυγής ενός αντικειμένου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του τύπου ταχύτητας διαφυγής.
Ο τύπος για την ταχύτητα διαφυγής χρησιμοποιώντας τη γήινη μάζα, την ακτίνα και τη σταθερά βαρύτητας
Ταχύτητα διαφυγής =ve =√(2 G M / R)
όπου,
G =βαρυτική καθολική σταθερά
M =μάζα της γης από όπου το αντικείμενο εκτοξεύεται
R =ακτίνα της γης
Το γράμμα Μ υποδηλώνει τη μάζα του πλανήτη στην εξίσωση. Πλανήτες με μεγαλύτερη μάζα καθιστούν πιο δύσκολη τη διαφυγή από πλανήτες με μικρότερη μάζα. Είναι επειδή η βαρυτική έλξη ενός πλανήτη γίνεται ισχυρότερη όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα του πλανήτη. Για παράδειγμα, η παρακολούθηση βίντεο αστροναυτών που προσγειώνονται στο φεγγάρι φαίνεται αβίαστη. Συμβαίνει επειδή το φεγγάρι έχει πολύ μικρότερη μάζα από τη γη, καταστέλλοντας τη βαρύτητά του.
Η ακτίνα, ή r, στην εξίσωση, υποδηλώνει την απόσταση μεταξύ του αντικειμένου που θέλει να διαφύγει και του κέντρου του πλανήτη. Με άλλους όρους, η ακτίνα μετρά το χάσμα μεταξύ της επιφάνειας ενός πλανήτη και του κέντρου του. Η βαρυτική έλξη του πλανήτη θα έχει μικρότερο αντίκτυπο σε ένα αντικείμενο καθώς απομακρύνεται από αυτό. Όταν ένα αντικείμενο κινείται αρκετά μακριά, βιώνει ουσιαστικά λίγη έλξη. Όταν συμβεί αυτό, η ταχύτητα διαφυγής θα είναι ουσιαστικά 0.
Στην εξίσωση, το G είναι σταθερά. Είναι συγκεκριμένα η σταθερά της βαρύτητας που περιγράφεται από τον Νεύτωνα. Προς το παρόν, το μόνο που πρέπει να καταλάβετε είναι ότι αυτή η σταθερά απαιτείται για να λειτουργήσει η εξίσωση. Το G είναι περίπου ισοδύναμο με 6,67 × 10–11 μέτρα3/(kg)(δευτερόλεπτο)2.
Παραγωγή της ταχύτητας διαφυγής
Θεωρήστε έναν πλανήτη σε σχήμα σφαίρας με μάζα M και ακτίνα R. Από το σημείο Α στην επιφάνεια της γης, εκτοξεύεται ένα σώμα με μάζα m.
Ας γίνουμε μέλος της ΟΑ και ας την επεκτείνουμε. Σκεφτείτε δύο τοποθεσίες, το P και το Q, με αποστάσεις x και (x + dx) από το κέντρο της γης, O.
Ας υποθέσουμε ότι το ve είναι η ελάχιστη ταχύτητα που χρειάζεται για να φύγουμε από την επιφάνεια της γης. Ο τύπος για την κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου με ταχύτητα 'v' και μάζα 'm' είναι:
KE =½ mve2
Όταν το αντικείμενο βρίσκεται στο σημείο P (σε απόσταση x από το κέντρο της γης O), η βαρυτική δύναμη μεταξύ του αντικειμένου και της επιφάνειας της γης είναι:
F =GMm/x2
Τώρα, η προσπάθεια που καταβλήθηκε για να μετακινηθεί το αντικείμενο από το σημείο P στο σημείο Q έναντι των επιπτώσεων της βαρύτητας δίνεται από
dW =F dx =GMm/x2 dx
Η εργασία ολοκληρώθηκε μεταφέροντας το αντικείμενο από την απόσταση x στην απόσταση dx.
Μπορούμε να προσδιορίσουμε το συνολικό έργο που απαιτείται για τη μετακίνηση ενός αντικειμένου από την επιφάνεια της γης στο άπειρο ενώ αντιστεκόμαστε στη βαρύτητα ενσωματώνοντας την εξίσωση από x =R έως x =∞.
Υπολογισμός της συνολικής εργασίας που εκτελείται από ένα αντικείμενο έναντι της βαρυτικής έλξης
Άρα, ο συνολικός όγκος εργασίας είναι:
Η κινητική ενέργεια που εκπέμπεται πρέπει να είναι ισοδύναμη με την ενέργεια έναντι της βαρύτητας που προκλήθηκε ταξιδεύοντας από την επιφάνεια της γης στο άπειρο για να αναχωρήσει (διαφύγει) το αντικείμενο από την επιφάνεια του πλανήτη.
KE =W
Κινητική ενέργεια =Εργασία που εκτελείται ενάντια στη βαρύτητα.
Τώρα, ας αντικαταστήσουμε την τιμή της κινητικής ενέργειας και της εργασίας που εκτελείται σε αντίθεση με τη βαρύτητα.
Λήψη της ταχύτητας διαφυγής αντικαθιστώντας την κινητική ενέργεια με εργασία ενάντια στη βαρύτητα.
Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση που προκαλεί η βαρύτητα ισούται με
g =GM/R2
ve =2gR
Παρέχει τον τελικό τύπο της ταχύτητας διαφυγής.
Η σχέση δείχνει ότι η ταχύτητα διαφυγής ενός αντικειμένου εξαρτάται αποκλειστικά από την ακτίνα και τη μάζα του πλανήτη από τον οποίο εκτοξεύεται και όχι από τη μάζα του προβαλλόμενου αντικειμένου.
Escape Velocity of Earth
Ο τύπος (που αναφέρεται παρακάτω) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της ταχύτητας διαφυγής της γης, η οποία είναι 11,2 km/s:
ve =√ ( 2gR )
Το g (βαρυτική επιτάχυνση) της γης είναι 9,8 m/s2 και η ακτίνα της είναι 6,371 * 106 m. Εισάγοντας αυτές τις τιμές στην παραπάνω εξίσωση, μπορούμε να πάρουμε την ταχύτητα διαφυγής της γης,
Η ταχύτητα διαφυγής της γης =ve
ve = √( 2 * 9,8 * 6,371 * 106 )
= √( 11,17 * 106 )
= 11,17 * 103 m/s
η ταχύτητα της γης είναι 11,2 km/s
Για να ξεφύγει από τη βαρυτική έλξη της γης, ένα διαστημόπλοιο που φεύγει από την επιφάνεια του πλανήτη πρέπει να έχει αρχική ταχύτητα 11,2 km/sec ή 7 μίλια/sec.
Επιπλέον, λόγω αυτής της ουσιαστικής αξίας, τα μόρια αερίου δεν μπορούν να διαφύγουν γρήγορα από τον πλανήτη, δημιουργώντας έτσι την ατμόσφαιρα γύρω του.
| Ενδιαφέρον γεγονός: Escape Velocity of Sun Λόγω της εξαιρετικά υψηλής ταχύτητας διαφυγής του, τα μόρια αερίου δεν μπορούν να ξεφύγουν από τον ήλιο. Κατά συνέπεια, σχηματίστηκε ένα αρκετά συμπαγές αέριο περίβλημα γύρω από τον ήλιο. |
Escape Velocity of Moon
Όπως συζητήθηκε παραπάνω, εάν γνωρίζετε την ακτίνα και τη μάζα οποιουδήποτε δεδομένου αντικειμένου, μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγής του φεγγαριού. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε την ταχύτητα διαφυγής του φεγγαριού χρησιμοποιώντας την παραπάνω εξίσωση. Το φεγγάρι έχει ακτίνα 1738 χιλιομέτρων από τον ισημερινό του. Επιπλέον, θεωρείται ότι ζυγίζει 7.342 1022 κιλά. Η ταχύτητα διαφυγής του φεγγαριού υπολογίζεται ότι είναι 2,38 km/s. Αυτό είναι πολύ χαμηλότερο από τα 11,2 km/s που απαιτούνται για να φύγουμε από τη γη. Ως αποτέλεσμα, τα μόρια αερίου μπορούν εύκολα να διαφύγουν από την επιφάνεια του φεγγαριού. Ως αποτέλεσμα, η ατμόσφαιρα του φεγγαριού είναι σχεδόν απούσα. Πιθανώς οι πύραυλοι θα κατασκευαστούν και θα εκτοξευθούν από το φεγγάρι στο μέλλον και όχι από τη γη!
| Το ξέρατε; Escape Velocity of Planets:
|
Πώς εκτοξεύεται κάτι στο διάστημα;
Ίσως να είστε περίεργοι για το πόσο δύσκολο είναι να λανσάρετε κάτι, το οποίο είναι τόσο τεράστιο! Πόσο γρήγορα πρέπει να κινηθεί; Είναι ενδιαφέρον ότι η ίδια ταχύτητα εκτόξευσης χρειάζεται για να στείλει οτιδήποτε από την επιφάνεια της γης προς το βαθύ διάστημα (διάστημα πέρα από την τροχιά της γης). Περιλαμβάνει το Falcon Heavy, ένα Roadster, ακόμα και ένα μπέιζμπολ. Αυτή η ταχύτητα είναι γνωστή ως ταχύτητα διαφυγής, καθώς είναι αρκετά γρήγορη για να ξεφύγει (έξοδος) από το βαρυτικό φαινόμενο της γης.
Αλλά γιατί η ταχύτητα διαφυγής είναι σταθερή ανεξάρτητα από τη μάζα του αντικειμένου; Επειδή (όπως συζητήθηκε προηγουμένως) η μάζα και η ταχύτητα διαφυγής δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα, θέλετε να διανύσετε 100 χιλιόμετρα σε μία ώρα. Δεν θα είχε σημασία αν χειρίζατε ένα μικρό αυτοκίνητο ή ένα μεγάλο φορτηγό όχημα. Για να φτάσετε εκεί, θα πρέπει να ταξιδέψετε με 100 km/h.
Συμπέρασμα
Η ταχύτητα διαφυγής είναι η ταχύτητα με την οποία ένα σώμα πρέπει να κινηθεί για να ξεφύγει από τη βαρυτική έλξη ενός πλανήτη ή της σελήνης. Στο πεδίο της φυσικής της κινηματικής, η εξαγωγή της ταχύτητας διαφυγής είναι μια έννοια με νόημα και οι ερωτήσεις σχετικά με αυτήν περιλαμβάνονται συχνά στις σχολικές εξετάσεις. Για την πλήρη κατανόηση των συνδεδεμένων εννοιών και την αντίληψη των εννοιών σε βάθος, η εξαγωγή της ταχύτητας διαφυγής είναι πολύ σημαντική. Χρησιμοποιώντας την εξαγωγή του τύπου ταχύτητας διαφυγής, μπορείτε να υπολογίσετε την ελάχιστη ταχύτητα που χρειάζεται ένα αντικείμενο για να ξεφύγει από τη βαρυτική επίδραση ενός πλανήτη ή ενός αντικειμένου.
Συχνές ερωτήσεις
1. Ποια είναι ακριβώς η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια της γης;
Απ. Είναι απίστευτα 11,2 km/s (χιλιόμετρα ανά δευτερόλεπτο). Για την ακρίβεια, είναι πάνω από 40.000 km/h. Θα μπορούσατε να φτάσετε από τον Βορρά στον Νότιο Πόλο σε περίπου 21 λεπτά με αυτή την ταχύτητα!
2. Ποιος πλανήτης έχει τον πιο αργό ρυθμό διαφυγής;
Απ. Ο πλανήτης με τη χαμηλότερη μάζα έχει τον πιο αργό ρυθμό αναχώρησης στο ηλιακό μας σύστημα. Ο Ερμής έχει την πιο αργή ταχύτητα διαφυγής στο πλανητικό σύστημα. Η ταχύτητα διαφυγής του Ερμή είναι 4,25 km/s.
3. Πώς προσδιορίζεται η ταχύτητα διαφυγής;
Απ. Η ταχύτητα που απαιτείται για την έξοδο από την τροχιά και το βαρυτικό πεδίο που διέπει αυτήν την τροχιά μπορούν να υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα που απαιτείται για τη διατήρηση της τροχιάς σε ένα συγκεκριμένο ύψος και πολλαπλασιάζοντάς την με την τετραγωνική ρίζα του 2 (περίπου 1,414).
