Για να σώσετε ανθρώπους που πνίγονται, ρωτήστε τον εαυτό σας «Τι θα έκανε το φως;»

Φανταστείτε ότι είστε ναυαγοσώστης και βλέπετε κάποιον να αγωνίζεται να παραμείνει στη ζωή. Όντας υπεύθυνος ναυαγοσώστης, θέλεις να τους φτάσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται. Είστε αρκετά γρήγοροι όταν κολυμπάτε, αλλά ακόμα πιο γρήγοροι τρέχετε στην άμμο. Ποια είναι λοιπόν η πιο γρήγορη διαδρομή για να φτάσετε στον κολυμβητή; Μπορεί να μην ακούγεται έτσι, αλλά αυτό το παζλ, το οποίο σχεδίασε ο διάσημος φυσικός Richard Feynman, είναι στην πραγματικότητα μια αναλογία για τη συμπεριφορά του φωτός. Αν και το διάβασα για πρώτη φορά πριν από περισσότερα από 10 χρόνια, το μάθημά του για το πώς τα ταξίδια με φως με έχουν κολλήσει.

Στην αρχή σκέφτηκες θα μπορούσες να σκεφτείς αν μια ευθεία γραμμή (μονοπάτι Α) είναι η ταχύτερη διαδρομή. Αυτό είναι πράγματι το συντομότερο, αλλά δεν είναι το πιο γρήγορο. Μπορείτε να τα καταφέρετε καλύτερα, γιατί αν τρέξετε πιο μακριά κατά μήκος της παραλίας, θα διανύσετε μεγαλύτερη απόσταση στη στεριά παρά στο νερό. Και επειδή είστε πιο γρήγοροι στη στεριά, θα φτάσετε εκεί σε λιγότερο χρόνο.

Μήπως λοιπόν η επιλογή Β είναι πιο γρήγορη; Από όλες τις επιλογές, αυτό το μονοπάτι περιλαμβάνει το λιγότερο κολύμπι. Αλλά ούτε αυτό είναι σωστό. Αν και κινείστε πιο γρήγορα τώρα, αυτή η διαδρομή είναι πολύ μεγάλη και σας επιβραδύνει.

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχει μια αντιστάθμιση εδώ. Όπως το θέτει ο Feynman, «το μονοπάτι της ελάχιστης απόστασης έχει πάρα πολύ νερό μέσα του. Το μονοπάτι με ελάχιστο νερό έχει πάρα πολύ γη μέσα του. το μονοπάτι του ελάχιστου χρόνου είναι ένας συμβιβασμός μεταξύ των δύο. ” Η πιο γρήγορη διαδρομή είναι η C—ένα πολύ συγκεκριμένο μονοπάτι που βρίσκεται κάπου μεταξύ Α και Β.

Οι μαθητές του λογισμού μαθαίνουν να λύνουν αυτού του είδους τα προβλήματα βελτιστοποίησης. Αλλά πώς το κάνουν οι ναυαγοσώστες; Οι ναυαγοσώστες υπολογίζουν παράγωγα και λύνουν εξισώσεις στο κεφάλι τους; Αμφιβάλλω. Στοιχηματίζω ότι χρησιμοποιούν κάποιο συνδυασμό προπόνησης και καθαρού ενστίκτου, με τον ίδιο τρόπο που ένας μπασκετμπολίστας δεν χρειάζεται να κατανοήσει τους νόμους της κίνησης των βλημάτων για να κάνει μια ελεύθερη βολή. Κατά κάποιο τρόπο είμαστε σε θέση να προσεγγίσουμε λύσεις σε αρκετά δύσκολα μαθηματικά προβλήματα χωρίς να κάνουμε ρητά μαθηματικά. (Είναι ακόμα πιο δύσκολο να λυθεί στην πραγματικότητα, λόγω των προστιθέμενων μεταβλητών όπως το ωκεάνιο ρεύμα.)

Ίσως αναρωτιέστε τι σχέση έχει αυτό με το φως. Το 1657 ο Γάλλος δικηγόρος και μαθηματικός Pierre De Fermat (ο ίδιος τύπος πίσω από το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά) ανακάλυψε ότι όταν το φως ταξιδεύει από το ένα μέρος στο άλλο, παίρνει πάντα το μονοπάτι του ελάχιστου χρόνου. Το περίεργο συμπέρασμα είναι ότι εάν ένας ναυαγοσώστης χρειαστεί να φτάσει κάπου όσο το δυνατόν γρηγορότερα, θα πρέπει να αναρωτηθεί τι θα έκανε το φως.

Εδώ είναι ένας τρόπος για να το καταλάβετε αυτό. Ας πούμε ότι παίρνετε έναν δείκτη λέιζερ και τον γυαλίζετε σε ένα μπολ με νερό. Το φως βρίσκεται τώρα σε παρόμοια κατάσταση με τον ναυαγοσώστη. Όταν κινείται μέσω του αέρα, μπορεί να σφυρίζει απίστευτα γρήγορα, αλλά ενώ βρίσκεται στο νερό, επιβραδύνεται, επειδή συνεχίζει να προσκρούει στα μόρια του νερού. Και βλέπεις τι κάνει το φως; Λυγίζει, ακριβώς όπως κάνει το μονοπάτι της ναυαγοσώστη όταν φτάνει στο νερό.

Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένας τύπος που ονομάζεται νόμος του Snell που προβλέπει σωστά την ακριβή γωνία με την οποία κάμπτεται το φως, ανάλογα με τα υλικά μέσα από τα οποία ταξιδεύει και τη γωνία με την οποία προσκρούει στην επιφάνεια. Αυτή η φόρμουλα λειτουργεί, αλλά δεν είναι ιδιαίτερα διαφωτιστική (να το πω έτσι)—σας δίνει τη σωστή απάντηση, αλλά δεν σας δίνει έναν λόγο γιατί το φως λυγίζει.

Αλλά ο Fermat είχε διαφορετικό τρόπο να το δει αυτό. Ρώτησε, όταν το φως ταξιδεύει, από όλες τις διαφορετικές διαδρομές που θα μπορούσε ενδεχομένως να ακολουθήσει, τι θα συμβεί αν επιλέξει την ταχύτερη δυνατή διαδρομή για οποιοδήποτε δεδομένο τελικό σημείο; Τι θα σήμαινε αυτό; Και όταν επεξεργάστηκε τις συνέπειες αυτής της εικασίας, διαπίστωσε ότι ξεπέρασε τον παλιό καλό νόμο του Snell. Η εικασία του Fermat ταιριάζει τέλεια με την παρατηρούμενη συμπεριφορά του φωτός.* Εδώ ήταν μια λογική εξήγηση για την περίεργη συμπεριφορά του φωτός—μια κρυφή μέθοδος για την τρέλα του.

Και δεν έχει να κάνει μόνο με το πώς λυγίζει το φως. Η αρχή του ελάχιστου χρόνου του Fermat εξηγεί επίσης γιατί το φως αναπηδά συμμετρικά από έναν καθρέφτη, γιατί οι φακοί στα γυαλιά μας έχουν τα σχήματα που έχουν ή γιατί οι κεραίες των πιάτων είναι παραβολικές. (Μπορείτε να μάθετε για αυτές τις προσεγμένες εφαρμογές από τον ίδιο τον Feynman, σε κείμενο ή σε βίντεο.)

Εάν η ιδέα του Fermat σας ακούγεται λίγο περίεργη, δεν είστε μόνοι. Ένας από τους κορυφαίους ειδικούς στο φως την εποχή του Φερμά, ο Claude Clerselier, έγραψε τα εξής,

Η αρχή του Fermat δεν μπορεί να είναι η αιτία, γιατί διαφορετικά θα αποδίδαμε γνώση στη φύση:[η φύση] δρα χωρίς πρόγνωση, χωρίς επιλογή, αλλά με έναν απαραίτητο προσδιορισμό.

Αυτό που ενόχλησε τους πάντες σχετικά με την ιδέα του Φερμά είναι ότι φαινόταν να απαιτεί αντιπροσωπεία. Πώς θα μπορούσε το φως να επιλέξει ένα μονοπάτι? Πώς θα μπορούσε να ξέρει ποιο μονοπάτι ήταν το πιο γρήγορο; Μυρίζει με κάποιο τρόπο τα άλλα μονοπάτια; Ο Fermat δεν το ήξερε εκείνη τη στιγμή, αλλά η απάντηση είναι ναι. Να πώς το θέτει ο Feynman:

Η αρχή του ελάχιστου χρόνου είναι μια εντελώς διαφορετική φιλοσοφική αρχή σχετικά με τον τρόπο που λειτουργεί η φύση. Αντί να λέει ότι είναι ένα αιτιώδες πράγμα, ότι όταν κάνουμε ένα πράγμα, συμβαίνει κάτι άλλο, και ούτω καθεξής, λέει το εξής:ρυθμίζουμε την κατάσταση, και το φως αποφασίζει ποιος είναι ο συντομότερος χρόνος ή ο ακραίος και επιλέγει εκείνο το μονοπάτι. Τι κάνει όμως, πώς το ανακαλύπτει; Μυρίζει τα κοντινά μονοπάτια και τα ελέγχει μεταξύ τους; Η απάντηση είναι, ναι, κατά κάποιο τρόπο.

Όπως η παράξενη κβαντική συμπεριφορά του φωτός σε επιδείξεις όπως η «κβαντική γόμα», αυτό είναι πολύ δύσκολο να ταιριάξει με τη διαισθητική κατανόησή μας για το πώς λειτουργεί η φυσική σε κλίμακα ανθρώπινου μεγέθους. Όμως τα πειράματα, μαζί με τη συνεχή χρησιμότητα των ποτηριών και των παραβολικών πιάτων, επιβεβαιώνουν αξιόπιστα ότι το φως ρουφάει αποτελεσματικά και επιλέγει τη συντομότερη διαθέσιμη διαδρομή.

Πρόσφατα, συνάντησα δύο ιστορίες ζώων που έκαναν το ίδιο κόλπο με τους ναυαγοσώστες και το φως — να πάνε από το ένα μέρος στο άλλο χρησιμοποιώντας τη διαδρομή που απαιτεί τον λιγότερο χρόνο. Το πώς ξέρουν να το κάνουν αυτό είναι ένα μυστήριο.

Το πρώτο πλάσμα είναι ένας σκύλος, ένα ουαλικό κοργκί που ονομάζεται Έλβις και ζούσε με έναν καθηγητή μαθηματικών ονόματι Τιμ Πένινγκς. Ο Τιμ θα έπαιζε με τον Έλβις στην όχθη της λίμνης Μίσιγκαν. Έριχνε την αγαπημένη μπάλα του τένις του Έλβις στο νερό και ο Έλβις έτρεχε με το βέλος και την έφερνε.

Κατά τη διάρκεια αυτού του παιχνιδιού, ο Τιμ παρατήρησε ότι ο Έλβις έκανε κάτι ενδιαφέρον. Όταν πέταξε την μπάλα στο νερό, ο Έλβις δεν πήδηξε απλώς στο σερφ και κολύμπησε σε όλη τη διαδρομή. Αντί να επιλέξει το άμεσο μονοπάτι, ο Έλβις έτρεχε συνήθως κατά μήκος της ακτής και, σε ένα ορισμένο σημείο, ξαφνικά έστριβε στο νερό και κολυμπούσε για την μπάλα.

Αυτό δημιούργησε ένα ερώτημα στο μυαλό του Τιμ:Τι γίνεται αν ο Έλβις ακολουθεί το μονοπάτι του ελάχιστου χρόνου; Ο Τιμ, ως καθηγητής μαθηματικών, κάθισε και χρησιμοποίησε λογισμό για να βρει τη βέλτιστη λύση στο πρόβλημα της μπάλας του τένις. Στη συνέχεια αποφάσισε να δοκιμάσει την ιδέα του.

Πέρασε μια μέρα με τον σκύλο του στη λίμνη Μίσιγκαν, πετώντας μπάλες του τένις στο νερό, σημαδεύοντας και μετρώντας τις αποστάσεις που έτρεξε ο Έλβις κατά μήκος της ακτής και πόσο μακριά ταξίδεψε η μπάλα. Αφού συνέλεξε 35 τέτοια σημεία δεδομένων (τις τιμές x και y στο παραπάνω σχήμα, σε μέτρα), τα σχεδίασε. Μαζί με αυτά τα σημεία δεδομένων, σχεδίασε επίσης τη βέλτιστη τροχιά, που φαίνεται από την ευθεία γραμμή παρακάτω.

Και πράγματι, ο Έλβις έκανε πολύ καλή δουλειά στην εύρεση του βέλτιστου μονοπατιού — επέλεγε με συνέπεια την ταχύτερη δυνατή διαδρομή αντί για τη συντομότερη! Λάβετε υπόψη ότι το μαθηματικό μοντέλο έπρεπε να κάνει πολλές απλοποιητικές υποθέσεις — ότι δεν υπάρχουν ρεύματα στο νερό, ότι ο Έλβις τρέχει και κολυμπά με σταθερή ταχύτητα χωρίς να κουράζεται, ότι η ακτή είναι ευθεία γραμμή κ.λπ. Στην πραγματικότητα, είναι πιθανό ο Έλβις να ήταν ακόμη πιο γρήγορος από τη λύση που είχε προβλέψει το μοντέλο.

Ο Τιμ εντυπωσιάστηκε αρκετά από το κόλπο του Έλβις για να γράψει μια εργασία με τίτλο "Dogs Know Calculus?" Σε αυτό καθησυχάζει τον αναγνώστη ότι «ο Έλβις δεν γνωρίζει λογισμό…Στην πραγματικότητα», προσθέτει ο Τιμ, «έχει πρόβλημα να διαφοροποιήσει ακόμη και απλά πολυώνυμα. Πιο σοβαρά, αν και δεν κάνει τους υπολογισμούς, η συμπεριφορά του Έλβις είναι ένα παράδειγμα του παράξενου τρόπου με τον οποίο η φύση βρίσκει συχνά τις βέλτιστες λύσεις."

(Παρεμπιπτόντως, ο Έλβις δεν ήταν ο μόνος βελτιστοποιητής σκύλων. Σε μια άλλη εργασία, δύο μαθηματικοί επιβεβαίωσαν ότι η Σάλσα, μια γυναίκα Λαμπραντόρ, διάλεξε επίσης το μονοπάτι του ελάχιστου χρόνου όταν έπαιζε αλιεύματα κατά μήκος μιας λίμνης στη Γαλλία. Ίσως τα σκυλιά των μαθηματικών υιοθετήσουν κάποια των ικανοτήτων των κατόχων τους;)

Το δεύτερο πλάσμα με αυτή την παράξενη ικανότητα είναι ένα από τα πιο χωροκατακτητικά είδη στον κόσμο—το μικρό μυρμήγκι της φωτιάς ή Wasmannia auropunctata . Τα μυρμήγκια βοηθούν το ένα το άλλο στην πλοήγηση αφήνοντας ίχνη φερομονών καθώς ταξιδεύουν, και με την πάροδο του χρόνου, αυτά τα ίχνη συγκλίνουν σε μια ευθεία γραμμή από μια πηγή τροφής στη φωλιά τους. Αυτά τα μικρά παιδιά είναι φυσικοί βελτιστοποιητές και μπορούν ακόμη και να βρουν το συντομότερο μονοπάτι σε έναν αρκετά περίπλοκο λαβύρινθο.

Αλλά κανείς δεν είχε μελετήσει πραγματικά τι συμβαίνει όταν ένα μυρμήγκι αντιμετωπίζει το δίλημμα ναυαγοσώστη. Όταν μετακινείται από μια λεία επιφάνεια (όπου είναι γρήγορη) σε μια πραγματικά κολλώδη (όπου είναι πιο αργή), επιλέγει την άμεση διαδρομή ή επιλέγει τη διαδρομή του ελάχιστου χρόνου;

Έτσι, μια ομάδα ερευνών ξεκίνησε να το δοκιμάσει, χρησιμοποιώντας μια γυάλινη επιφάνεια και μια τραχιά πράσινη επιφάνεια από τσόχα, ανάλογη με την άμμο και το νερό. Διαπίστωσαν ότι τα ίχνη των μυρμηγκιών ήταν πολύ πιο κοντά στο πιο γρήγορο μονοπάτι παρά στο άμεσο μονοπάτι. Όπως το φως και οι ναυαγοσώστες, αυτά τα μυρμήγκια φαινόταν να ελαχιστοποιούν το χρόνο και όχι την απόσταση.

Πώς το κάνουν όμως; Σίγουρα δεν κάνουν τα μαθηματικά; Οι ερευνητές πρότειναν ότι ίσως από καθαρή τύχη κάποια μυρμήγκια παρεκκλίνουν σε μια πιο γρήγορη διαδρομή, και επειδή είναι πιο αποτελεσματικές, αυτές οι διαδρομές ενισχύονται μέχρι να γίνουν η κύρια διαδρομή. Αλλά κανείς δεν ξέρει πραγματικά πώς αυτά τα μυρμήγκια λύνουν το δίλημμα του ναυαγοσώστη. Παραμένει ανοιχτό το ερώτημα.

Η εξέλιξη είναι φυσικά ένας βελτιστοποιητής, ανταμείβοντας την αποτελεσματικότητα με αυξημένη εκπροσώπηση στη γονιδιακή δεξαμενή. Οι έξυπνες και αποτελεσματικές στρατηγικές θα αποκομίσουν τα μεγαλύτερα οφέλη. Ίσως δεν πρέπει να μας εκπλήσσει, λοιπόν, ότι πολύ διαφορετικά πλάσματα φτάνουν στο ίδιο τέχνασμα με πολύ διαφορετικά μέσα. Επομένως, την επόμενη φορά που θα κολλήσετε στην κίνηση προσπαθώντας να βρείτε τον πιο γρήγορο τρόπο επιστροφής στο σπίτι, ίσως θα πρέπει να πάρετε ένα μάθημα από μυρμήγκια, σκύλους ή ακόμα και φως.

Υποσημείωση

*Η σύγχρονη δήλωση της αρχής του Fermat είναι ότι το φως επιλέγει μια διαδρομή τέτοια ώστε μια μικρή αλλαγή στο μήκος της διαδρομής να μην επηρεάζει τον χρόνο ταξιδιού. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό μειώνεται στο μονοπάτι του ελάχιστου χρόνου. Η διάλεξη του Feynman έχει περισσότερα για αυτό.

Για τον αναγνώστη που έχει τάση για λογισμό:Η παραπάνω εργασία των Perruchet και Gallego επινοεί έναν έξυπνο κανόνα που μπορούν να ακολουθήσουν τα σκυλιά για να βελτιστοποιήσουν την πορεία τους, χωρίς να χρειάζονται καμία πρόγνωση ολόκληρης της τροχιάς. Είναι μια ενδιαφέρουσα ανάγνωση. Και εδώ είναι μια εξαγωγή του τρόπου με τον οποίο μπορείτε να φτάσετε στο νόμο του Snell και στο νόμο της αντανάκλασης από την αρχή του Fermat.

Αναφορές

Φάινμαν, Ρίτσαρντ Φίλιπς. QED:Η περίεργη θεωρία του φωτός και της ύλης . Princeton University Press, 2006.

Pennings, Timothy J. "Do dogs know calculus?" College Mathematics Journal 34.3 (2003):178-182.

Perruchet, Pierre και Jorge Gallego. «Γνωρίζουν τα σκυλιά σχετικά ποσοστά αντί για βελτιστοποίηση;» The College Mathematics Journal 37 (2006):1.

Oettler, Jan, et al. «Η Αρχή του Ελάχιστου Χρόνου του Fermat προβλέπει τη διάθλαση των ιχνών των μυρμηγκιών στα όρια του υποστρώματος». PloS One 8.3 (2013):e59739.

Το κεφάλαιο για την Αρχή του Ελάχιστου Χρόνου από τις Διαλέξεις Feynman, οι οποίες είναι πλέον δωρεάν διαθέσιμες στο διαδίκτυο.

Ο Aatish Bhatia είναι πρόσφατος Ph.D Φυσικής. εργάζεται στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον για να φέρει την επιστήμη και τη μηχανική σε ένα ευρύτερο κοινό. Γράφει το βραβευμένο επιστημονικό ιστολόγιο Empirical Zeal και είναι στο Twitter ως @aatishb.

ΠΡΟΣΟΧΗ:Το εύρημα της μαύρης τρύπας για το οποίο είναι διάσημος ο Στίβεν Χόκινγκ ανακαλύφθηκε από τον Ρίτσαρντ Φάινμαν ένα χρόνο πριν σε έναν μαυροπίνακα.

Αστροφυσικός και μυθιστοριογράφος." data-credits=”” style=”width:733px”>

Αυτή η κλασική ανάρτηση Facts So Romantic δημοσιεύτηκε αρχικά τον Μάρτιο του 2014.