Thermal De Broglie μήκος κύματος
Στη δηλωμένη θερμοκρασία, το θερμικό μήκος κύματος de Broglie είναι περίπου το μέσο μήκος κύματος De Broglie των σωματιδίων αερίου. Ορίζεται ως εξής:
Σε αυτήν την εξίσωση,
Τοh αντιπροσωπεύει τη σταθερά Planck,
Τοm αντιπροσωπεύει τη μάζα,
kB αντιπροσωπεύει τη σταθερά Boltzmann,
και το T αντιπροσωπεύει τη θερμοκρασία.
Το θερμικό μήκος κύματος de Broglie είναι περίπου το μέσο μήκος κύματος De Broglie των σωματιδίων αερίου σε ένα ιδανικό αέριο στην αναφερόμενη θερμοκρασία.
Η μέση απόσταση μεταξύ των σωματιδίων στο αέριο μπορεί να υπολογιστεί ως V/N, όπου V είναι ο όγκος και Ν είναι ο αριθμός των σωματιδίων. Όταν το θερμικό μήκος κύματος De Broglie είναι σημαντικά μικρότερο από την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων, το αέριο ταξινομείται ως κλασικό ή Maxwell-Boltzmann. Όταν το θερμικό μήκος κύματος De Broglie είναι ίσο ή μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων, οι κβαντικές διεργασίες αναλαμβάνουν και το αέριο πρέπει να ταξινομηθεί ως αέριο Fermi ή αέριο Bose, ανάλογα με τη φύση των σωματιδίων αερίου. Η κρίσιμη θερμοκρασία είναι το σημείο στο οποίο συναντώνται αυτά τα δύο καθεστώτα, και σε αυτή τη θερμοκρασία, το θερμικό μήκος κύματος είναι σχεδόν ίσο με την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων.
Θερμικό μήκος κύματος
Το θερμικό μήκος κύματος είναι ένα ουσιαστικό και χρήσιμο στατιστικό στοιχείο στη θερμοδυναμική επειδή ποσοτικοποιεί τη θερμοδυναμική αβεβαιότητα στον εντοπισμό ενός σωματιδίου μάζας m με τη μέση θερμική ορμή. Είναι κοινώς κατανοητό ότι για ένα τρισδιάστατο μη σχετικιστικό ελεύθερο ιδανικό κβαντικό σύστημα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θερμικό μήκος κύματος.
Φωτόνιο:mass=0 kg, μήκος κύματος =1,6483*10-5 m στους 298 K είναι ένα παράδειγμα του θερμικού μήκους κύματος De Broglie.
Σημασία της θερμικής σχέσης De Broglie
Το αέριο θα υπακούει στις στατιστικές Maxwell-Boltzmann όταν η απόσταση μεταξύ των σωματιδίων είναι σημαντικά μεγαλύτερη από το θερμικό μήκος κύματος De Broglie. Αυτό ισχύει για μοριακά ή ατομικά αέρια σε θερμοκρασία περιβάλλοντος, καθώς και για θερμικά νετρόνια που εκπέμπονται από μια πηγή νετρονίων.
Εξίσωση θερμικού μήκους κύματος De Broglie
Η εξίσωση του θερμικού μήκους κύματος De Broglie γράφεται ως εξής:
Στην παραπάνω εξίσωση,
Τοh είναι γνωστό ως η σταθερά Planck,
m είναι η μάζα του σωματιδίου,
kB είναι γνωστή ως σταθερά Boltzmann,
T είναι η θερμοκρασία.
Παραγωγή του μήκους κύματος Thermal De Broglie
Θεωρήστε ένα ιδανικό αέριο του οποίου η μερική συνάρτηση δίνεται από
Επομένως, η χαρακτηριστική θερμική ορμή δίνεται από το
pT =√(2mkT)
Για να εξαγάγετε τον αρχικό ορισμό του θερμικού μήκους κύματος de Broglie, εξετάστε το μήκος κύματος de Broglie ενός σωματιδίου με αυτή τη χαρακτηριστική ορμή:
Ο ορισμός του θερμικού μήκους κύματος γενικά
Ο Yan παρείχε μια περιεκτική περιγραφή του θερμικού μήκους κύματος για ένα ιδανικό κβαντικό αέριο σε οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων, καθώς και μια γενικευμένη σύνδεση μεταξύ ενέργειας και ορμής (σχέση διασποράς). Είναι χρήσιμο στην πράξη, καθώς υπάρχουν διάφορες πειραματικές συνθήκες με ποικίλες σχέσεις διαστάσεων και διασποράς.
Αν n είναι ο αριθμός των διαστάσεων και η σχέση μεταξύ ενέργειας (E) και ορμής (p) δίνεται από:
όπου a και s είναι σταθερές, τότε το θερμικό μήκος κύματος ορίζεται ως:
όταν χρησιμοποιείται η συνάρτηση Gamma. Για παράδειγμα, στο κανονικό σενάριο των τεράστιων σωματιδίων σε ένα τρισδιάστατο αέριο, παίρνουμε n=3 και E=p/2m, δίνοντας τα ευρήματα για τεράστια σωματίδια που δίνονται παραπάνω. Έχουμε n=3 και E=pc για σωματίδια χωρίς μάζα σε ένα τρισδιάστατο αέριο, που μας δίνει τα προαναφερθέντα ευρήματα για τα σωματίδια χωρίς μάζα.
Συμπέρασμα
Το θερμικό μήκος κύματος των σωματιδίων σε οποιαδήποτε θετική διάσταση με οποιαδήποτε ορμή ενέργειας θετικού εκθέτη (δηλαδή διασπορά) ανακαλύπτεται ότι η σχέση επαναπροσδιορίζεται. Εάν ένα σωματίδιο είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το δικό του μήκος κύματος de Broglie ή εάν αλληλεπιδρά με άλλα αντικείμενα σε κλίμακα σημαντικά μεγαλύτερη από το μήκος κύματος του de Broglie, τότε οι κυματοειδείς ιδιότητές του δεν είναι αισθητές. Για καθημερινά αντικείμενα σε κανονικές ταχύτητες, τα λdB είναι πολύ μικρά για να δούμε τυχόν παρατηρήσιμα κβαντικά αποτελέσματα. Ένα αυτοκίνητο 1.000 kg που ταξιδεύει με 30 ms-1, έχει μήκος κύματος de Broglie λdB =2 × 10 m, πολλές τάξεις μεγέθους μικρότερο από τα μεγέθη των ατομικών πυρήνων. Ένα τυπικό ηλεκτρόνιο σε ένα μέταλλο έχει μήκος κύματος De Broglie τάξης ~ 10 nm. Επομένως, βλέπουμε κβαντομηχανικά αποτελέσματα στις ιδιότητες ενός μετάλλου όταν το πλάτος του δείγματος είναι γύρω από αυτήν την τιμή. Όταν το θερμικό μήκος κύματος De Broglie είναι σημαντικά μικρότερο από την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων, το αέριο ταξινομείται ως κλασικό ή Maxwell-Boltzmann. Όταν το θερμικό μήκος κύματος De Broglie είναι ίσο ή μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων, οι κβαντικές διεργασίες αναλαμβάνουν και το αέριο πρέπει να ταξινομηθεί ως αέριο Fermi ή αέριο Bose, ανάλογα με τη φύση των σωματιδίων αερίου. Η κρίσιμη θερμοκρασία είναι το σημείο στο οποίο συναντώνται αυτά τα δύο καθεστώτα, και σε αυτή τη θερμοκρασία, το θερμικό μήκος κύματος είναι σχεδόν ίσο με την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων. Έτσι, η θερμική σχέση De Broglie μπορεί να είναι εφαρμόσιμη για την εξίσωση ιδανικού αερίου.
