Το θεώρημα του Γκάους

Είναι γεγονός ότι ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο περικλείει ένα θετικό ή αρνητικό φορτίο και ότι μια ροή ενέργειας σωλήνα ή ροής υπάρχει μέσα σε αυτό το στατικό ηλεκτρικό πεδίο. Το ηλεκτρικό φορτίο εκπέμπει ή εκπέμπει αυτή τη ροή. Το μέγεθος αυτής της ροής ροής καθορίζεται από την ποσότητα φορτίου που εκπέμπεται. Το θεώρημα Gauss δημιουργήθηκε για να προσδιορίσει αυτή τη σχέση. Σε αυτό το άρθρο, θα κατανοήσουμε την έννοια του θεωρήματος του Gauss και θα κατανοήσουμε τις βασικές αρχές του.

Η έννοια του θεωρήματος του Gauss 

Σύμφωνα με το θεώρημα του Gauss, η συνολική ηλεκτρική ροή μέσω οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας γύρω από ένα φορτίο είναι ίση με το καθαρό θετικό φορτίο που περικλείεται από αυτήν την επιφάνεια. Ως αποτέλεσμα, η καθαρή ροή σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το καθαρό φορτίο στον όγκο της κλειστής επιφάνειας. Το θεώρημα Gauss μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Φ =→ E.d → A =_qnet /ε₀

Με τη χρήση αυτής της εξίσωσης, μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα ροής μέσω της επιφάνειας στη γύρω περιοχή. Η καθαρή ηλεκτρική ροή παραμένει 0 εάν δεν περικλείονται φορτία από μια επιφάνεια. Ο αριθμός των γραμμών ηλεκτρικού πεδίου που εισέρχονται στην επιφάνεια ισούται με τον αριθμό των γραμμών πεδίου που εξέρχονται από την επιφάνεια.

Μπορεί επίσης να εκφραστεί μαθηματικά ως:

Όπου οι χρεώσεις είναι Q1, Q2, Qi, Qn:

D είναι η πυκνότητα ροής σε coulombs/m2.

Το dS είναι το προς τα έξω κατευθυνόμενο διάνυσμα.

Εξήγηση του Θεωρήματος του Gauss

Το θεώρημα Gauss μπορεί να εξηγηθεί μέσω του παρακάτω παραδείγματος:

Ας πάρουμε το Q ως το φορτίο στο κέντρο μιας σφαίρας και η ροή του φορτίου είναι κανονική στην επιφάνεια. Σύμφωνα με το θεώρημα Gauss, η συνολική ροή που εκπέμπεται από το φορτίο θα είναι ίση με Q κουλόμπ, το οποίο μπορεί επίσης να αποδειχθεί μαθηματικά. Τι συμβαίνει όμως εάν η χρέωση δεν τοποθετηθεί στη μέση αλλά κάπου αλλού;

Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι γραμμές ροής δεν είναι κανονικές στην επιφάνεια γύρω από το φορτίο εκείνη τη στιγμή. Έτσι, η ροή αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες: 

• το οριζόντιο στοιχείο είναι το στοιχείο sin 
• το κατακόρυφο στοιχείο είναι το στοιχείο cos

Όταν όλα αυτά τα συστατικά αθροίζονται για όλα τα φορτία, το καθαρό αποτέλεσμα ισούται με το συνολικό φορτίο του συστήματος, αποδεικνύοντας το θεώρημα του Gauss.

Απόδειξη του Θεωρήματος του Gauss

Για να αποδείξουμε το θεώρημα του Gauss, ας υποθέσουμε ένα ομοιογενές ισότροπο μέσο διαπερατότητας ε που περιέχει ένα φορτίο Q. 

Έτσι, η εξίσωση ροής διαμέσου της περιοχής είναι:

Σημαντικά σημεία στο Θεώρημα Gauss

Για να κατανοήσουμε την έννοια του θεωρήματος του Gauss, πρέπει να ληφθούν υπόψη τα ακόλουθα σημεία:

• Παράγοντες που επηρεάζουν την τιμή του φ:

• Ο αριθμός των φορτίσεων που περιέχονται σε μια κλειστή επιφάνεια
• Οι χρεώσεις που περιορίζονται από μια κλειστή επιφάνεια και η φύση τους
• Το μέσο της κλειστής επιφάνειας

Έτσι: 

φ=∑q/ ε0  για αέρα

φ=∑q/ ε για οποιοδήποτε άλλο μέσο

• Παράγοντες που δεν επηρεάζουν την τιμή του φ:

• Η κατανομή φορτίου στην κλειστή επιφάνεια
• Το μέγεθος του σχήματος μιας κλειστής επιφάνειας και η περιοχή που περικλείει
• Το φορτίο που υπάρχει έξω από την κλειστή επιφάνεια
• Η τιμή της ροής σε σχέση με ένα coulomb είναι 1/ε0.
• Η ροή που εξέρχεται από την επιφάνεια θεωρείται θετική, ενώ η ροή που εισέρχεται στην επιφάνεια θεωρείται αρνητική.
• Ομοίως, εάν το καθαρό φορτίο είναι θετικό, σημαίνει ότι η ροή θα ρέει προς τα έξω. Και αν το καθαρό φορτίο είναι αρνητικό, σημαίνει ότι η ροή θα ρέει προς τα μέσα.
• Αν το καθαρό φορτίο στην κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν, ας πούμε ∑q είναι μηδέν, τότε φ =0. Για παράδειγμα, εάν υπάρχουν ένα ή περισσότερα δίπολα σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, τότε φ =0.
• Αν φ =0 τότε:
  (a) Σq =0 ή  E =0 και
  (β) E &dA είναι κάθετα
• Εάν η φόρτιση "q" διατηρείται στο κέντρο του κύβου, η συνολική ροή από τον κύβο θα είναι:

φ =∑q/ 0

Ενώ η ροή από την όψη του κύβου θα είναι: 

φ’=∑q/6 0

• Ομοίως, εάν το φορτίο "q" διατηρείται σε μια γωνία του κύβου, τότε η ροή από κάθε όψη θα είναι:

φ’=∑q/24 0

Συμπέρασμα

Έτσι, σε αυτό το άρθρο, μάθαμε την έννοια του θεωρήματος Gauss. Το θεώρημα Gauss υποδεικνύει ότι η συνολική ηλεκτρική ροή μέσω οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας γύρω από ένα φορτίο είναι ίση με το καθαρό θετικό φορτίο που περικλείεται από αυτήν την επιφάνεια. Επιπλέον, οι πηγές (θετικά φορτία) και οι καταβόθρες (αρνητικά φορτία) των ηλεκτρικών πεδίων που περικλείονται από την επιφάνεια είναι οι μόνες πηγές (θετικά φορτία) και καταβόθρες (αρνητικά φορτία) της ηλεκτρικής ροής από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια.