Το βαρυτικό δυναμικό μιας ομοιόμορφης στερεής σφαίρας
Σύμφωνα με το νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα, κάθε σωματίδιο σε αυτό το σύμπαν έλκει ένα άλλο σωματίδιο με δύναμη. Η δύναμη είναι ευθέως ανάλογη με το γινόμενο των αντίστοιχων μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης που υπάρχει μεταξύ τους. Αυτή η δύναμη είναι γνωστή ως βαρυτική δύναμη.
Το βαρυτικό δυναμικό είναι η δυναμική ενέργεια μιας μονάδας μάζας σε αυτό το σημείο λόγω της βαρυτικής δύναμης της γης. Μια ενέργεια που κατέχεται από ένα αντικείμενο λόγω της θέσης του σε ένα βαρυτικό πεδίο ονομάζεται βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια
Η βαρυτική δυναμική ενέργεια U(r) ενός συστήματος δύο σωματιδίων, με μάζες M και m και χωρισμένες με απόσταση r, είναι το αρνητικό του έργου που θα έκανε η βαρυτική δύναμη του είτε σωματίδιο που ενεργεί πάνω στο άλλο αν ο διαχωρισμός μεταξύ των σωματιδίων άλλαζε από άπειρο (πολύ μεγάλο) σε r.
Η βαρυτική δυναμική ενέργεια δίνεται από- U=GMm/r.
Σε ένα σύστημα με περισσότερα από δύο σωματίδια, η συνολική βαρυτική δυναμική ενέργεια U είναι το άθροισμα των όρων που αντιπροσωπεύει όλες τις πιθανές ενέργειες των ζευγαριών. Για παράδειγμα, για τρία σωματίδια, μάζας m1, m2 και m3,
Τύπος βαρυτικού δυναμικού ενέργειας
Η εξίσωση για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι:
Βαρυτική δυναμική ενέργεια =mgh
πού,
- m αντιπροσωπεύουν τη μάζα σε κιλά
- η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι g
- το ύψος πάνω από το επίπεδο του εδάφους σε μέτρα είναι h.
Βαρυτικό δυναμικό ενός σφαιρικού κελύφους
Ας εξετάσουμε ένα λεπτό ομοιόμορφο σφαιρικό κέλυφος της ακτίνας (R) και της μάζας (M) που υπάρχει στο διάστημα. Τώρα,
1. Όταν το σημείο «P» βρίσκεται μέσα στο σφαιρικό κέλυφος (r Καθώς E =0, το V είναι μια σταθερά.
Το βαρυτικό δυναμικό δίνεται από το V =-GM/R.
2. Όταν το σημείο «P» βρίσκεται στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους (r=R):
Στην επιφάνεια της γης, E =-GM/R.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση, V=-∫E.dr
με όριο (0 έως R), θα πάρουμε,
Βαρυτικό δυναμικό (V) =-GM/R.
3:Όταν το σημείο "P" βρίσκεται έξω από το σφαιρικό κέλυφος (r>R):
Έξω από το σφαιρικό κέλυφος, E =-GM/r.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση, V=-∫E.dr
με όριο (0 έως r) παίρνουμε,
V =-GM/r.
Βαρυτικό δυναμικό λόγω ομοιόμορφης στερεάς σφαίρας
Μια συμπαγής σφαίρα υποτίθεται ότι αποτελείται από πολλές λεπτές στολές
ομόκεντρα σφαιρικά κελύφη, οι μάζες των οποίων υποτίθεται ότι είναι
συγκεντρωμένο στο κέντρο O.
(i) Σε σημείο εκτός της σφαίρας
Η δυνατότητα που οφείλεται σε τέτοια κελύφη σε ένα εξωτερικό σημείο P δίνεται ως
όπου m1, m2, m3, κ.λπ. αντιπροσωπεύουν τις μάζες των κελυφών που βρίσκονται κάτω από
εξέταση. Επομένως,
εδώ M =m1 + m2+…, αντιπροσωπεύει τη μάζα της συμπαγούς σφαίρας.
Εδώ, η ένταση μπορεί να ληφθεί διαφοροποιώντας την έκφραση για το V όταν το σημείο P είναι έξω από το κέλυφος. Έτσι, διαφοροποιώντας την Εξ. (1), παίρνουμε την ένταση ως:
(ii) Το σημείο P βρίσκεται στη σφαίρα
Ο υπολογισμός γίνεται ακριβώς με παρόμοιο τρόπο και μπορεί να φανεί ότι το δυναμικό δίνεται από
V=-GM/a
όπου το a αντιπροσωπεύει την ακτίνα της συμπαγούς σφαίρας.
Η ένταση μπορεί να ληφθεί διαφοροποιώντας την έκφραση για το V όταν το σημείο P βρίσκεται έξω από την επιφάνεια του κελύφους. Έτσι, η ένταση δίνεται από
(iii) Σε σημείο εντός της σφαίρας
Ας εξετάσουμε ένα σημείο που υπάρχει μέσα στη σφαίρα όπως το P, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο O. Το σημείο P, είναι εξωτερικό σε μια συμπαγή σφαίρα ακτίνας r και εσωτερικό σε μια παχιά σφαίρα κέλυφος ακτίνων a και r.
Έστω V1 και V2 να υποδηλώνουν τα δυναμικά στο P που οφείλονται σε αυτά τα δύο μέρη.
πού είναι η πυκνότητα του υλικού της σφαίρας.
Για να υπολογίσουμε το V2, θεωρούμε ένα λεπτό ομόκεντρο σφαιρικό κέλυφος ακτίνας x και πάχους dx, εκ των οποίων P είναι ένα εσωτερικό σημείο. Επομένως, όπως είδαμε νωρίτερα, το δυναμικό σε ένα εσωτερικό σημείο είναι ίσο με αυτό στην επιφάνεια. το δυναμικό στο P λόγω του λεπτού σφαιρικού κελύφους που εξετάζουμε δίνεται από-
Επομένως, για το παχύ κέλυφος των ακτίνων a και r, το δυναμικό δίνεται από
Επομένως, το δυναμικό στο P λόγω ολόκληρης της στερεάς σφαίρας παρέχεται από
Τώρα, η μάζα της στερεάς σφαίρας δίνεται από το
Επομένως, η ένταση σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο δίνεται από:
Συμπέρασμα
Το βαρυτικό δυναμικό ενός σημείου σε ένα βαρυτικό πεδίο είναι το έργο που γίνεται ανά μονάδα μάζας που θα έπρεπε να γίνει από κάποια εξωτερικά εφαρμοζόμενη δύναμη για να φέρει ένα τεράστιο αντικείμενο σε αυτό το σημείο από κάποια καθορισμένη θέση μηδενικού δυναμικού, συνήθως άπειρου.
Η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ του επιλεγμένου σημείου και της θέσης έχει μηδενικό δυναμικό. Ενώ αντιμετωπίζει μια βαρυτική δύναμη ένα σωματίδιο μετακινείται από ένα αρχικό σημείο σε ένα τελικό σημείο. Το έργο που γίνεται από αυτή τη δύναμη και η αλλαγή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας είναι ανεξάρτητη από την πορεία που ακολουθείται.
Καθώς E =0, το V είναι μια σταθερά.
Το βαρυτικό δυναμικό δίνεται από το V =-GM/R.
2. Όταν το σημείο «P» βρίσκεται στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους (r=R):
Στην επιφάνεια της γης, E =-GM/R.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση, V=-∫E.dr
με όριο (0 έως R), θα πάρουμε,
Βαρυτικό δυναμικό (V) =-GM/R.
3:Όταν το σημείο "P" βρίσκεται έξω από το σφαιρικό κέλυφος (r>R):
Έξω από το σφαιρικό κέλυφος, E =-GM/r.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση, V=-∫E.dr
με όριο (0 έως r) παίρνουμε,
V =-GM/r.
Βαρυτικό δυναμικό λόγω ομοιόμορφης στερεάς σφαίρας
Μια συμπαγής σφαίρα υποτίθεται ότι αποτελείται από πολλές λεπτές στολές
ομόκεντρα σφαιρικά κελύφη, οι μάζες των οποίων υποτίθεται ότι είναι
συγκεντρωμένο στο κέντρο O.
(i) Σε σημείο εκτός της σφαίρας
Η δυνατότητα που οφείλεται σε τέτοια κελύφη σε ένα εξωτερικό σημείο P δίνεται ως
όπου m1, m2, m3, κ.λπ. αντιπροσωπεύουν τις μάζες των κελυφών που βρίσκονται κάτω από
εξέταση. Επομένως,
εδώ M =m1 + m2+…, αντιπροσωπεύει τη μάζα της συμπαγούς σφαίρας.
Εδώ, η ένταση μπορεί να ληφθεί διαφοροποιώντας την έκφραση για το V όταν το σημείο P είναι έξω από το κέλυφος. Έτσι, διαφοροποιώντας την Εξ. (1), παίρνουμε την ένταση ως:
(ii) Το σημείο P βρίσκεται στη σφαίρα
Ο υπολογισμός γίνεται ακριβώς με παρόμοιο τρόπο και μπορεί να φανεί ότι το δυναμικό δίνεται από
V=-GM/a
όπου το a αντιπροσωπεύει την ακτίνα της συμπαγούς σφαίρας.
Η ένταση μπορεί να ληφθεί διαφοροποιώντας την έκφραση για το V όταν το σημείο P βρίσκεται έξω από την επιφάνεια του κελύφους. Έτσι, η ένταση δίνεται από
(iii) Σε σημείο εντός της σφαίρας
Ας εξετάσουμε ένα σημείο που υπάρχει μέσα στη σφαίρα όπως το P, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο O. Το σημείο P, είναι εξωτερικό σε μια συμπαγή σφαίρα ακτίνας r και εσωτερικό σε μια παχιά σφαίρα κέλυφος ακτίνων a και r.
Έστω V1 και V2 να υποδηλώνουν τα δυναμικά στο P που οφείλονται σε αυτά τα δύο μέρη.
πού είναι η πυκνότητα του υλικού της σφαίρας.
Για να υπολογίσουμε το V2, θεωρούμε ένα λεπτό ομόκεντρο σφαιρικό κέλυφος ακτίνας x και πάχους dx, εκ των οποίων P είναι ένα εσωτερικό σημείο. Επομένως, όπως είδαμε νωρίτερα, το δυναμικό σε ένα εσωτερικό σημείο είναι ίσο με αυτό στην επιφάνεια. το δυναμικό στο P λόγω του λεπτού σφαιρικού κελύφους που εξετάζουμε δίνεται από-
Επομένως, για το παχύ κέλυφος των ακτίνων a και r, το δυναμικό δίνεται από
Επομένως, το δυναμικό στο P λόγω ολόκληρης της στερεάς σφαίρας παρέχεται από
Τώρα, η μάζα της στερεάς σφαίρας δίνεται από το
Επομένως, η ένταση σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο δίνεται από:
Συμπέρασμα
Το βαρυτικό δυναμικό ενός σημείου σε ένα βαρυτικό πεδίο είναι το έργο που γίνεται ανά μονάδα μάζας που θα έπρεπε να γίνει από κάποια εξωτερικά εφαρμοζόμενη δύναμη για να φέρει ένα τεράστιο αντικείμενο σε αυτό το σημείο από κάποια καθορισμένη θέση μηδενικού δυναμικού, συνήθως άπειρου.
Η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ του επιλεγμένου σημείου και της θέσης έχει μηδενικό δυναμικό. Ενώ αντιμετωπίζει μια βαρυτική δύναμη ένα σωματίδιο μετακινείται από ένα αρχικό σημείο σε ένα τελικό σημείο. Το έργο που γίνεται από αυτή τη δύναμη και η αλλαγή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας είναι ανεξάρτητη από την πορεία που ακολουθείται.
