Αφαίρεση

Τα διανύσματα απεικονίζουν οντότητες που έχουν μέγεθος και ενεργούν προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Ένα βέλος τους απεικονίζει. Η κεφαλή του βέλους δείχνει προς την κατεύθυνση στην οποία ενεργεί το διάνυσμα. Το μήκος του βέλους είναι το μέγεθος του διανύσματος. Όλα τα διανύσματα έχουν σημεία από τα οποία ξεκινούν και κατευθύνσεις προς τις οποίες δείχνουν. Ένα διάνυσμα μπορεί να απεικονιστεί με πρόσημο συν ή πλην όσον αφορά την κατεύθυνσή του σε μία διάσταση. Σε έναν δισδιάστατο χώρο, ωστόσο, δίνεται η κατεύθυνση του διανύσματος σχετικά με κάποιο αντικείμενο ή σύστημα, για παράδειγμα, το σύστημα συντεταγμένων. Παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών είναι η μετατόπιση, η ταχύτητα, η δύναμη κ.λπ. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πώς γίνεται η πρόσθεση και η αφαίρεση όταν εργάζεστε με διανύσματα.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι κρίσιμη όταν γίνεται η αφαίρεση των διανυσμάτων. Αυτό συμβαίνει επειδή η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων καθορίζει την κατεύθυνση και το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει. Έτσι, το γινόμενο με τελείες μπορεί να υπολογίσει τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Ο τύπος για το γινόμενο με τελείες δύο διανυσμάτων a και b είναι a.b =|a|.|b|cosθ. Όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Έτσι, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο θ =cos -1[a.b / |a|.|b|]

Τύποι διανυσμάτων

Υπάρχουν διάφοροι τύποι διανυσμάτων. Είναι οι εξής:

• Διανύσματα θέσης:Αυτά τα διανύσματα υποδηλώνουν την κατεύθυνση και τη θέση των διανυσμάτων που κινούνται στον τρισδιάστατο χώρο. Τα διανύσματα θέσης μπορούν να συσχετιστούν με άλλα αντικείμενα και το μέγεθος και η κατεύθυνσή τους μπορεί να αλλάξουν με βάση τη σχέση τους με άλλα αντικείμενα

• Αρνητικό διάνυσμα:Εάν ένα διάνυσμα έχει το ίδιο μέγεθος με ένα άλλο διάνυσμα, αλλά η κατεύθυνσή του είναι αντίθετη, τότε το διάνυσμα είναι αρνητικό του άλλου διανύσματος

• Συναρχικά διανύσματα:Τα διανύσματα που έχουν την ακριβή προέλευση ονομάζονται ομοαρχικά διανύσματα

• Ορθογώνια διανύσματα:Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 90 μοίρες, είναι ορθογώνια

• Παράλληλο διάνυσμα:εάν δύο διανύσματα έχουν διαφορετικά μεγέθη, αλλά έχουν κλίση στην ίδια γωνία προς την ίδια κατεύθυνση, ονομάζονται παράλληλα διανύσματα. Η διαφορά μεταξύ των γωνιών των παράλληλων διανυσμάτων είναι μηδέν. Εάν δύο διανύσματα έχουν διαφορετικό μέγεθος και η διαφορά μεταξύ των γωνιών τους είναι 180 μοίρες, είναι γνωστά ως αντιπαράλληλα.

• Ίσα διανύσματα:Τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μέγεθος και κατεύθυνση λέγονται ίσα διανύσματα. Οι αντίστοιχες συνιστώσες ίσων διανυσμάτων είναι ίσες. Τα ίσα διανύσματα μπορεί να έχουν διαφορετικά σημεία προέλευσης και τερματισμού

• Μοναδιαία διανύσματα:Το μέγεθος των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι ίσο με 1. Είναι επίσης γνωστά ως πολλαπλασιαστική ταυτότητα διανυσμάτων. Ο πρωταρχικός σκοπός των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι να δώσουν την κατεύθυνση των διανυσμάτων

• Μηδενικό διάνυσμα:Ένα διάνυσμα χωρίς μέγεθος και κατεύθυνση είναι γνωστό ως μηδενικό διάνυσμα. Αντιπροσωπεύεται από =(0,0,0). Αυτά τα διανύσματα ονομάζονται επίσης προσθετική ταυτότητα διανυσμάτων.

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η αφαίρεση των διανυσμάτων μπορεί να γίνει με τις γραφικές και αναλυτικές μεθόδους ή το παραλληλόγραμμο και το τρίγωνο. Και η αφαίρεση των διανυσμάτων πρέπει να ακολουθεί ορισμένους κανόνες, οι οποίοι είναι οι εξής:

• Η αφαίρεση των διανυσμάτων μπορεί να γίνει μόνο μεταξύ των διανυσμάτων.

• Τα διανύσματα πρέπει να είναι της ίδιας φυσικής ποσότητας.

1. Γραφική αφαίρεση διανυσμάτων

Για να κατανοήσουμε τι σημαίνει αφαίρεση διανυσμάτων, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τι σημαίνει αφαίρεση διανυσμάτων. Όταν ένα διάνυσμα Β αφαιρείται από ένα διάνυσμα Α, σημαίνει απλώς ότι το αρνητικό διάνυσμα Β προστίθεται στο διάνυσμα Α. Αυτό μπορεί να γραφτεί με τη μορφή εξίσωσης με τον ακόλουθο τρόπο Α + (-Β). Το αρνητικό οποιουδήποτε διανύσματος έχει το ίδιο μέγεθος αλλά την κατεύθυνσή του αντίθετη από το διάνυσμα. Άρα η αφαίρεση των διανυσμάτων είναι επέκταση της πρόσθεσης των διανυσμάτων. Είναι η προσθήκη ενός αρνητικού διανύσματος σε ένα άλλο διάνυσμα. Μπορεί να γίνει γραφικά με τον ακόλουθο τρόπο.

• Σχεδιάστε ένα βέλος που αντιπροσωπεύει το πρώτο διάνυσμα

• Σχεδιάστε το δεύτερο διάνυσμα έτσι ώστε η ουρά του να αγγίζει την κεφαλή του πρώτου διανύσματος

• Σχεδιάστε ένα βέλος που συνδέει την ουρά του πρώτου διανύσματος με την κεφαλή του δεύτερου διανύσματος

• Μετρήστε αυτό το διάνυσμα με έναν χάρακα. Αυτό είναι το προκύπτον διάνυσμα

• Η κατεύθυνση του διανύσματος μπορεί να βρεθεί μετρώντας τη γωνία που δημιουργεί το διάνυσμα που προκύπτει με το πλαίσιο αναφοράς.

2. Αναλυτική αφαίρεση διανυσμάτων

Οι αναλυτικές μέθοδοι αφαίρεσης διανυσμάτων έχουν το πλεονέκτημα της ακρίβειας σε σχέση με τις γραφικές μεθόδους. Αυτό συμβαίνει γιατί η γραφική μέθοδος σχεδίασης και μέτρησης των διανυσμάτων υπόκειται στην ακρίβεια του σχεδίου. Από την άλλη πλευρά, οι αναλυτικές μέθοδοι καθορίζονται από το πόσο ακριβής γίνεται η μέτρηση των pg=φυσικών μεγεθών. Η αναλυτική μέθοδος αφαίρεσης διανυσμάτων χρησιμοποιεί γεωμετρία και στοιχεία απλής τριγωνομετρίας για να ανακαλύψει το μέγεθος και την κατεύθυνση των διανυσμάτων. Έτσι, ένα σημαντικό μέρος των αναλυτικών μεθόδων υπολογισμού των διανυσμάτων είναι η εύρεση των κάθετων συνιστωσών των διανυσμάτων. Κάθετες συνιστώσες είναι τα κάθετα διανύσματα που έχουν ως αποτέλεσμα το υπό σύσταση διάνυσμα όταν προστίθεται. Το Πυθαγόρειο θεώρημα συσχετίζει τις κάθετες συνιστώσες του διανύσματος και το ίδιο το διάνυσμα. Υποθέτοντας ότι υπάρχει ένα διάνυσμα A και οι κάθετες συνιστώσες του είναι Ax και Ay, τότε A =√[(Ax)2 + (Ay)2]

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διανύσματα, το Α και το Β. Το διάνυσμα Β αφαιρείται από το διάνυσμα Α. Το διάνυσμα που προκύπτει μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τρόπο:

• Βρείτε τις επιμέρους κάθετες συνιστώσες των διανυσμάτων Α και Β. Ας υποθέσουμε ότι είναι Axe, Ay, Bx, By.

• Δεδομένου ότι το διάνυσμα Β πρέπει να αφαιρεθεί, οι κάθετες συνιστώσες του θα λάβουν αρνητική τιμή

• Τα παραπάνω στοιχεία αθροίζονται για να βρεθούν οι κάθετες συνιστώσες του προκύπτοντος διανύσματος R. Άρα Rx=Ax – Bx και Ry =Ay – By

• Τώρα που είναι γνωστές οι κάθετες συνιστώσες του προκύπτοντος διανύσματος, το προκύπτον διάνυσμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

3. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου

Η αφαίρεση των διανυσμάτων γίνεται με αυτήν τη μέθοδο με τον ακόλουθο τρόπο:

• Σχεδιάστε τα δύο διανύσματα με τα αρχικά τους σημεία να συμπίπτουν για να γίνουν ομοαρχικά διανύσματα

• Αντρέψτε το διάνυσμα Β έτσι ώστε η κατεύθυνσή του να γίνει αντίθετη. Είναι πλέον ένα αρνητικό διάνυσμα του B που γράφεται ως -B

• Συμπληρώστε το παραλληλόγραμμο

• Σχεδιάστε μια διαγώνιο από το αρχικό σημείο των δύο διανυσμάτων στην απέναντι κορυφή.

• Αυτή η διαγώνιος είναι το διάνυσμα που προκύπτει.

4. Η μέθοδος του τριγώνου

Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αφαίρεση ενός διανύσματος από ένα άλλο στα ακόλουθα βήματα-

• Σχεδιάστε τα δύο διανύσματα, ώστε να είναι ομοαρχικά διανύσματα

• Ενώστε τα άκρα τους σε μια ευθεία γραμμή

• Αυτή η ευθεία είναι το προκύπτον διάνυσμα

• Η ουρά του διανύσματος που προκύπτει είναι πάντα προς την κεφαλή του αρνητικού διανύσματος σε αυτήν τη μέθοδο.

Είναι ζωτικής σημασίας να έχουμε καλά επεξεργασμένο υλικό μελέτης διανυσματικής αφαίρεσης εάν κάποιος στοχεύει να εκτελέσει υπολογισμούς που περιλαμβάνουν διανύσματα.

Συμπέρασμα

Η αφαίρεση των διανυσμάτων είναι αναπόσπαστο μέρος της εργασίας με διανύσματα. Χρησιμοποιείται σε πολλές περιπτώσεις όπου πρέπει να γίνουν υπολογισμοί που αφορούν τη δύναμη, τη μετατόπιση, την επιτάχυνση και την ταχύτητα. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την αφαίρεση των διανυσμάτων είναι η γραφική, η αναλυτική, το παραλληλόγραμμο και το τρίγωνο. Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος που χρησιμοποιεί τριγωνομετρία και γεωμετρία είναι η πιο ακριβής. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου και οι μέθοδοι τριγώνου είναι παράγωγα της αναλυτικής μεθόδου αφού χρησιμοποιούνται αρχές γεωμετρίας για τον προσδιορισμό του διανύσματος που προκύπτει. Η κατοχή κατανοητών σημειώσεων υλικού μελέτης σχετικά με την αφαίρεση των διανυσμάτων είναι απαραίτητη για την κατανόηση της εργασίας με διανύσματα σε προβλήματα ή μηχανική.