Λοξή συμμετρική ορίζουσα

Κάποιος μπορεί να γράψει μια μετατόπιση ενός πίνακα εναλλάσσοντας τις σειρές σε στήλες ή το αντίστροφο. Για έναν πίνακα όπου οι πίνακες είναι ίσοι με το αρνητικό της μετάθεσής του, ο πίνακας που σχηματίζεται είναι ο λοξός-συμμετρικός πίνακας. Ωστόσο, η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα ορίζεται ως ο λοξός-συμμετρικός προσδιοριστής. Ας υποθέσουμε ότι, εάν οριστεί ένας πίνακας Α και η λοξή-συμμετρική μεταθέτησή του δίνεται ως -AT, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα θα γραφεί ως det(-AT). Ορίζουσα είναι οποιαδήποτε βαθμωτή ποσότητα (πραγματική ή μιγαδική) που σχετίζεται με οποιονδήποτε πίνακα. Στο άρθρο, ο αναγνώστης θα κατανοήσει τις έννοιες τέτοιων πινάκων, μαζί με παραδείγματα.

Σημασία λοξής-συμμετρικής ορίζουσας 

1. Η σημασία της ορίζουσας λοξής συμμετρίας υποδηλώνει ότι μια ορίζουσα είναι μια βαθμωτή που σχετίζεται με κάθε πίνακα, επιτρέποντας την κλιμάκωση/χαρακτηρισμό του πίνακα και έχει φυσική σημασία.
2. Μπορεί να γίνει κατανοητό αν προσπαθήσει κανείς να κατανοήσει την έννοια των οριζόντων σε πίνακες. Ωστόσο, για έναν λοξό-συμμετρικό πίνακα, η ορίζοντή του μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με την ίδια διαδικασία για οποιονδήποτε πίνακα, και έτσι η τιμή θα είναι μια κλιμακωτή ποσότητα. Θεωρήστε έναν πίνακα 2 x 2 A γραμμένο ως, 4 7 0  -2 . Στη συνέχεια, ο λοξός-συμμετρικός πίνακας του A θα γραφεί ως η αρνητική μετάθεση, που θα είναι, 

-AT =4 0 7  -2 .

Τώρα η ορίζουσα αυτού του πίνακα θα γραφτεί ως,

4  0 7  -2 ως (4 x -2) – (7 x 0) =-8-0=-8

Επομένως, η λοξή-συμμετρική ορίζουσα του παρόντος δεδομένου πίνακα είναι -8.

Ιδιότητες ορίζουσας λοξής συμμετρίας

Υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες για την λοξή-συμμετρική ορίζουσα. Ρίξτε μια ματιά: 

1. Αν δοθεί η τάξη ενός πίνακα ως περιττή, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα θα είναι μηδέν, για παράδειγμα, δίνεται ένας πίνακας 3 x 3 που σημαίνει ότι η σειρά είναι 3, που είναι περιττός αριθμός. Τότε η ορίζουσα της λοξής-συμμετρικής μορφής του θα βγει αρνητική.
2. Αν δοθεί η τάξη ενός πίνακα ως άρτια, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα θα είναι μη μηδενική, για παράδειγμα, δίνεται ένας πίνακας 2 x 2 που υποδηλώνει ότι η σειρά είναι 2, που είναι ένας ζυγός αριθμός. Τότε η λοξή-συμμετρική ορίζουσα μορφή θα είναι ένα μη μηδενικό τέλειο τετράγωνο.

Θεωρήστε έναν πίνακα A=0 2 -2  0 , τότε η μετάθεσή του είναι AT=0 -2 2  0 και 

Det (AT) =(0 x 0)- (2 x -2) =0 + 4 =4, που είναι τέλειο τετράγωνο αφού η σειρά του πίνακα είναι άρτια.

Λοξοσυμμετρική ορίζουσα τιμή 

1. Ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα. Για κάθε γραμμική εξίσωση, υπάρχει μια κλιμακωτή ποσότητα γνωστή ως ιδιοτιμή αυτής της εξίσωσης.
2. Η ιδιοτιμή μπορεί να έχει θετική ή αρνητική τιμή ή μπορεί ακόμη και να είναι ένας φανταστικός αριθμός. Για έναν πίνακα M, η εξίσωση Eigen μπορεί να γραφτεί ως MX =λX, όπου λ είναι η ιδιοτιμή του πίνακα M και X είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα.
3. Για έναν λοξό-συμμετρικό πίνακα, η τιμή του λ θα είναι είτε 0 είτε ένας φανταστικός αριθμός. Η έννοια της ιδιοτιμής είναι απαραίτητη για την οπτική γωνία της εξέτασης, καθώς αυτές έρχονται σε καυτές ερωτήσεις με λοξές συμμετρικές καθοριστικές ερωτήσεις.

Θεώρημα λοξής-συμμετρικής ορίζουσας

1. Ας υποθέσουμε ότι το M είναι ένας λοξός-συμμετρικός πίνακας της τάξης N x N, τότε η ορίζουσα det (MT)=det (-M) =(-1)N det (M). Επομένως, για N=περιττό, η ορίζουσα θα είναι μηδέν, αυτοί οι πίνακες ονομάζονται όλοι ενικοί σύμφωνα με το θεώρημα του Jabobi.

Ας υποθέσουμε ότι ένας λοξός πίνακας ορίζεται ως M=a -b b a, τότε το det (M) θα είναι ένα τέλειο τετράγωνο σύμφωνα με τις ιδιότητες.

1. Για N=ζυγό, τότε το det (M) =P(M)2, που σημαίνει ότι η λοξή-συμμετρική ορίζουσα τιμή για έναν άρτιο πίνακα θα είναι ένα τέλειο τετράγωνο που είναι πάντα θετικό.

Ας υποθέσουμε ότι ένας λοξός πίνακας ορίζεται ως M=0 a b -a 0 k -b -k 0, τότε το det (M) θα είναι 0 σύμφωνα με τις ιδιότητες. Οι καυτές ερωτήσεις λοξής-συμμετρικής προσδιοριστικής είναι απαραίτητες από την άποψη των εξετάσεων.

Συμπέρασμα

Όταν γράφεται ένα αρνητικό μεταθέσεως, ο προκύπτων πίνακας είναι ένας λοξός-συμμετρικός πίνακας με ένα μοναδικό σύνολο ιδιοτήτων. Ωστόσο, όταν κάποιος ανακαλύψει την ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα, η τιμή μπορεί να διαφέρει ανάλογα με τη σειρά του πίνακα. Ένας πίνακας περιττής τάξης έχει ορίζουσα μηδέν, ενώ ένας πίνακας άρτιας τάξης έχει ορίζουσα μη μηδενικό τέλειο τετράγωνο. Η λοξή-συμμετρική ορίζουσα περιγράφεται στο κείμενο διεξοδικά, μαζί με μερικά λυμένα παραδείγματα. Κατά την ανάγνωση του άρθρου, ο αναγνώστης θα κατανοήσει τις έννοιες σε βάθος, μαζί με μερικά λυμένα παραδείγματα για το ίδιο. Η κατανόηση αυτών των εννοιών είναι ζωτικής σημασίας στη φυσική και στα μαθηματικά.