Επίλυση προβλημάτων με τύπο συνδυασμών
Βασική αρχή της μέτρησης:
Σύμφωνα με τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης, εάν πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των διευθετήσεων δύο γεγονότων ταυτόχρονα, είναι το γινόμενο του αριθμού των μεμονωμένων γεγονότων.
Ας υποθέσουμε ότι εάν ένα γεγονός συμβεί x αριθμό φορές και ένα άλλο συμβάν συμβεί y πολλές φορές, τότε οι συνολικοί πιθανοί τρόποι διευθέτησης μπορούν να βρεθούν κατά x × y.
Αρχή πολλαπλασιασμού:
Η αρχή του πολλαπλασιασμού επεκτείνει τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης. Όταν συνυπάρχουν πολλά συμβάντα, ο συνολικός αριθμός των πιθανών διευθετήσεων είναι το γινόμενο του αριθμού κάθε συμβάντος.
Για παράδειγμα, εάν ένα συμβάν συμβεί m1 πολλές φορές, μετά το οποίο ένα δεύτερο συμβάν συμβαίνει m2 φορές και ένα τρίτο γεγονός m3 φορές και ούτω καθεξής έως ότου ένα συμβάν συμβεί mn πολλές φορές, τότε ο συνολικός αριθμός οι ρυθμίσεις είναι m1× m2×…×mn.
Μεταθέσεις:
Αυτή είναι μία από τις τεχνικές μέτρησης που βοηθούν στον προσδιορισμό του αριθμού των διαφορετικών τρόπων τακτοποίησης μιας συγκεκριμένης ομάδας.
Οι μεταθέσεις είναι μια διάταξη μιας ομάδας αριθμών με σταθερή σειρά. Μπορείτε να πάρετε μερικούς ή όλους τους αριθμούς ταυτόχρονα.
Εάν η επανάληψη δεν επιτρέπεται, ο τύπος για τις μεταθέσεις είναι
nPr =n! / (n – r)!
Πού,
n =συνολικός αριθμός διαφορετικών αντικειμένων
r =επιλεγμένο αντικείμενο
n! =n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x …x 1
Η μετάθεση, όταν επιτρέπεται η επανάληψη, δίνεται από τον αριθμό.
Έτσι, πριν ξεκινήσουμε τους συνδυασμούς, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε την έννοια της παραγοντικής σημειογραφίας.
Τι είναι ο παραγοντικός συμβολισμός;
Το ν! προφέρεται ως n παραγοντικό είναι το γινόμενο των πρώτων n φυσικών αριθμών.
n! =1 x 2 x 3 x…x (n – 1) x n
Συνδυασμοί:
Αν θέλετε να επιλέξετε ορισμένα στοιχεία από μια ομάδα χωρίς να τα τακτοποιήσετε, επιλύστε τέτοια προβλήματα με συνδυασμούς.
Ο τύπος συνδυασμών καθορίζει τους συνολικούς πιθανούς τρόπους επιλογής όλων των αντικειμένων ή ορισμένων από αυτά από μια ομάδα χωρίς να τα ταξινομήσετε.
Εάν θέλετε να επιλέξετε r αριθμό αντικειμένων από n δεδομένα αντικείμενα, τότε ο τύπος συνδυασμού δίνεται από,
nCr =n! / r! (n – r)!
Πώς να επιλέξετε συνδυασμούς και μεταθέσεις;
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον παρακάτω πίνακα για να προσδιορίσετε εάν οι ερωτήσεις αντιπροσωπεύουν προβλήματα με συνδυασμούς ή μεταθέσεις.
Μερικοί σημαντικοί τύποι συνδυασμών:
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω τύπους για να λύσετε προβλήματα με συνδυασμούς.
nCr =nCn – r
nCr + nCr – 1 =n + 1Cr
n × n – 1Cr – 1 =(n- r + 1) × nCr – 1
Παράδειγμα τύπου συνδυασμών:
Ακολουθεί ένα παράδειγμα για την καλύτερη κατανόηση της έννοιας των συνδυασμών. Ο τρόπος επίλυσης ενός παραγοντικού φαίνεται επίσης στη λύση.
Ας υποθέσουμε ότι ένας μαθητής πρέπει να απαντήσει σε πέντε ερωτήσεις από τις 7. Ο μαθητής πρέπει να επιλέξει τουλάχιστον 1 ερώτηση από την Ενότητα Α και Β. Υπάρχουν τρεις ερωτήσεις στην Ενότητα Α και τέσσερις ερωτήσεις στην Ενότητα Β. Πόσες είναι δυνατοί τρόποι επιλογής;
Ο μαθητής μπορεί να επιλέξει με τους εξής τρόπους:
3 και 2 ερωτήσεις από την Ενότητα Α και Τμήμα Β αντίστοιχα =3C3 x 4C2
=[3! / 3! (3-3)!] x [4! / 2! (4-2)!]
={(1 x 2 x 3)/ [(1 x 2 x 3) x 0!]} x [(1 x 2 x 3 x 4)/ (1 x 2) (1 x 2)]
=1 x 6 =6
*0! =1
Ομοίως,
2 και 3 ερωτήσεις από την Ενότητα Α και Ενότητα Β αντίστοιχα =3C2 x 4C3 =3 x 4 =12
1 και 4 ερωτήσεις από την Ενότητα Α και Ενότητα Β αντίστοιχα =3C1 x 4C4 =3 x 1 =4
Έτσι, ο αριθμός των τρόπων επιλογής μιας ερώτησης είναι –
3C3 x 4C2 + 3C2 x 4C3 + 3C1 x 4C4
=6 + 12 + 4
=22
Ακολουθούν ορισμένες από τις συνήθεις ερωτήσεις σχετικά με την επίλυση προβλημάτων με συνδυασμούς.
Συμπέρασμα:
Οι συνδυασμοί είναι μία από τις χρήσιμες τεχνικές μέτρησης για να βρείτε τον αριθμό των πιθανών τρόπων επιλογής ενός ή περισσότερων αντικειμένων σε μια ομάδα.
Μπορείτε να λύσετε προβλήματα με συνδυασμούς εύκολα κατανοώντας τους παράγοντες διαφοροποίησης μεταξύ συνδυασμών και μεταθέσεων και εφαρμόζοντας τον κατάλληλο τύπο.
Το παραπάνω θέμα όχι μόνο θα βοηθήσει τους επίδοξους φοιτητές IIT/JEE στις εισαγωγικές εξετάσεις, αλλά έχει επίσης τεράστια αξία στην πραγματική ζωή.
