Περιστροφική κινητική ενέργεια

Ροπή αδράνειας

Η ροπή αδράνειας ενός συστήματος είναι μια μέτρηση του πόσο δύσκολο είναι να τροποποιηθεί η περιστροφική κίνηση ενός αντικειμένου γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα. Είναι μια μέτρηση για την περιστροφική αδράνεια ενός συστήματος. Η ροπή αδράνειας ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου καθορίζεται από τη μάζα του αντικειμένου καθώς και από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας αυξάνεται όταν η μάζα διασκορπίζεται πιο μακριά από τον άξονα, καθιστώντας πιο δύσκολη τη ρύθμιση της περιστροφικής κίνησης. Για διαφορετικά σώματα, η ροπή αδράνειας έχει ποικίλες τιμές.

kg m2 είναι η μονάδα SI για τη ροπή αδράνειας (η οποία είναι σύμφωνη με την αντίληψή μας ότι εξαρτάται από τη μάζα και το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα περιστροφής).

Κινητική ενέργεια περιστροφής

Η περιστροφική κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια που έχει ένα αντικείμενο όταν περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. Η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος είναι παρόμοια με τη γραμμική κινητική ενέργεια και καθορίζεται από τους ακόλουθους παράγοντες:

1. Η ενέργεια είναι ανάλογη με την ταχύτητα με την οποία το πράγμα περιστρέφεται. Όσο πιο γρήγορα περιστρέφεται το αντικείμενο, τόσο περισσότερη ενέργεια έχει.

2. Η γωνιακή κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου είναι ανάλογη της μάζας του.

3. Η ενέργεια μιας σημειακής μάζας καθορίζεται επίσης από την απόστασή της από τον περιστρεφόμενο άξονα. Τα σωματίδια που βρίσκονται πιο μακριά από τον άξονα περιστροφής έχουν περισσότερη περιστροφική κινητική ενέργεια από εκείνα που βρίσκονται πιο κοντά σε αυτόν.

Τύπος περιστροφικής κινητικής ενέργειας 

Η περιστροφική κινητική ενέργεια έχει έναν τύπο που είναι παρόμοιος με τη γραμμική κινητική ενέργεια. Γνωρίζουμε ότι 12mv2 είναι η γραμμική κινητική ενέργεια μιας μάζας m που ταξιδεύει με ταχύτητα v. Το άκαμπτο σώμα μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από άπειρο αριθμό σημειακών μαζών. Κάθε σημειακή μάζα θα ταξιδεύει με γραμμική ταχύτητα ίση με την εφαπτομενική ταχύτητα αυτού του σημείου σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή. Το μέγεθος της εφαπτομενικής ταχύτητας σε οποιαδήποτε θέση r από τον άξονα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

v=rω 

Η κινητική ενέργεια ενός άκαμπτου σώματος με οποιαδήποτε σημειακή μάζα m1 δίνεται από,

KER=12I2 είναι η περιστροφική κινητική ενέργεια. Η περιστροφική μάζα ή η ροπή αδράνειας ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου συμβολίζεται με I, ενώ η γωνιακή ταχύτητα συμβολίζεται με .

Τζουλ (J) είναι η μονάδα SI για την περιστροφική κινητική ενέργεια.

Διαστατικός τύπος περιστροφικής κινητικής ενέργειας

Γνωρίζουμε ότι το KER=12I2 είναι ο τύπος για την περιστροφική κινητική ενέργεια. Κάθε αντικείμενο με μάζα m έχει ροπή αδράνειας με τις παραμέτρους mr2. [I]=M1L2T0 είναι τώρα ο τύπος διαστάσεων για τη ροπή αδράνειας.

Επίσης, ο διαστατικός τύπος γωνιακής ταχύτητας [ω]=M0 L0T-1.

Συνδέοντας τον τύπο διαστάσεων της ροπής αδράνειας και τη γωνιακή ταχύτητα, παίρνουμε:
Διαστατικό τύπο περιστροφικής κινητικής ενέργειας, [KER]=M1L2T-2, ο οποίος είναι ίδιος με αυτόν του ενέργεια.

Κινητική ενέργεια ενός άκαμπτου σώματος τόσο σε περιστροφική όσο και σε μεταγραφική κίνηση

Όταν το σώμα περιστρέφεται και κινείται και προς τις δύο κατευθύνσεις, παράγει τόσο μεταφορική όσο και περιστροφική κινητική ενέργεια.

KET=1/2mv2COM είναι η μεταφραστική κινητική ενέργεια. Το vCOM είναι η μεταφορική ταχύτητα του κέντρου μάζας του σώματος.

KER=1/2ICOM2 είναι η περιστροφική κινητική ενέργεια. Η ροπή αδράνειας του άκαμπτου σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του συμβολίζεται με το ICOM .

Σαν αποτέλεσμα, η συνολική κινητική ενέργεια του άκαμπτου σώματος θα είναι

 KE=1/2mv2COM+1/2ICOM2

Περιστροφική κινητική ενέργεια με χρήση γωνιακής ορμής

Γνωρίζουμε ότι L=Iω είναι η γωνιακή ορμή ενός άκαμπτου σώματος με ροπή αδράνειας I που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα .

Η περιστροφική κινητική ενέργεια είναι:

Τύπος περιστροφικής κινητικής ενέργειας για μια σφαίρα

Γνωρίζουμε ότι η ροπή αδράνειας μιας στερεής σφαίρας γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο της δίνεται από το I=25 MR2 . Η ακτίνα της συμπαγούς σφαίρας είναι R και η μάζα της στερεής σφαίρας είναι M.

Η περιστρεφόμενη κινητική ενέργεια της σφαίρας δίνεται από,

Σαν αποτέλεσμα, η περιστροφική κινητική ενέργεια μιας στερεής σφαίρας που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι ίση με 

KER=1/5 MR22 

Εφαρμογές της Περιστροφικής Κινητικής Ενέργειας

Ο τύπος περιστροφικής ενέργειας έχει ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για:

1. Υπολογίστε τη βασική κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου.

2. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια ενός κυλιόμενου στοιχείου, το οποίο περιλαμβάνει τόσο περιστροφικές όσο και μεταφορικές κινητικές ενέργειες.

Συμπέρασμα

Υπάρχουν δύο τύποι ενέργειας σε ένα άκαμπτο σώμα:η κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια ενός άκαμπτου σώματος είναι η ενέργεια που αποθηκεύεται στο σώμα ως αποτέλεσμα της θέσης του και άλλων στρεσογόνων παραγόντων. Η κινητική ενέργεια ενός άκαμπτου σώματος είναι ένας τύπος ενέργειας που κατέχει ένα κινούμενο σώμα ως αποτέλεσμα της κίνησής του. Όταν ένα αντικείμενο δουλεύεται με την εφαρμογή μιας καθαρής δύναμης, αποκτά ταχύτητα, η οποία αυξάνει την κινητική του ενέργεια. Η μάζα και η ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος καθορίζουν την κινητική του ενέργεια.