Ιδιότητες Αόριστης Ολοκλήρωσης

Ένα αόριστο ολοκλήρωμα είναι η ολοκλήρωση μιας δεδομένης συνάρτησης που δεν έχει όρια. Η ολοκλήρωση είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης, αφού αντιστρέφει τη διαδικασία διαφοροποίησης. Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια θεμελιώδης έννοια στον λογισμό, με διαφορετικές ιδιότητες αόριστης ολοκλήρωσης και η εφαρμογή περιοριστικών σημείων σε αυτό το μετατρέπει σε καθορισμένα ολοκληρώματα.

Σαν αποτέλεσμα, ένα αόριστο ολοκλήρωμα ορίζεται ότι δεν έχει ούτε ανώτερο ούτε κατώτερο όριο. Η αντιδιαφοροποίηση, γνωστή και ως αόριστη ολοκλήρωση, αντιστρέφει τη διαδικασία διαφοροποίησης. Βρίσκοντας μια συνάρτηση F έτσι ώστε F’ =f., όπου I είναι ρεύμα σε Amperes, C είναι χωρητικότητα σε Farads, V είναι τάση σε Volts και t είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα, δίνοντας μια συνάρτηση f.

Αόριστη ολοκλήρωση:Σημασία

Ολοκλήρωση είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τον προσδιορισμό της περιοχής που περιέχεται από μια καμπύλη που αφορά έναν από τους άξονες συντεταγμένων. Η ολοκλήρωση με μέρη, η αντικατάσταση, τα μερικά κλάσματα και η ολοκλήρωση αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι όλες προσεγγίσεις για την επίλυση αόριστων ολοκληρωμάτων. Μάθετε περισσότερα για τα αόριστα ολοκληρώματα, συμπεριλαμβανομένων των βασικών τύπων, των παραδειγμάτων και της διάκρισης μεταξύ αόριστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση F της οποίας η παράγωγος μπορεί να είναι πανομοιότυπη με την αρχική συνάρτηση f είναι μια αντιπαράγωγος, πρωτόγονο ολοκλήρωμα, πρωταρχική συνάρτηση, αόριστο ολοκλήρωμα ή αντίστροφη παράγωγος μιας δεδομένης συνάρτησης f στον λογισμό. F’ =f είναι ένα σύμβολο που μπορεί να το εκφράσει αυτό.

Η αντιδιαφοροποίηση (ή η αόριστη ολοκλήρωση) είναι ο τρόπος με τον οποίο μπορείτε να λύσετε αντιπαράγωγα, ενώ η διαφοροποίηση είναι η αντίθετη λειτουργία - είναι η διαδικασία επίλυσης μιας παραγώγου. Τα κεφαλαία αλφάβητα, για παράδειγμα, F &G, χρησιμοποιούνται συχνά για να ορίσουν αντιπαράγωγα. Ρίξτε μια ματιά στις ιδιότητες της αόριστης ολοκλήρωσης που αναφέρονται παρακάτω.

Αόριστες ακέραιες ιδιότητες

Πρώτη ιδιότητα

d/dx ∫ f(x) dx =f(x) και ∫ f '(x) dx =f(x) + C,

πού,

Το C θα μπορούσε να έχει οποιαδήποτε αυθαίρετη τιμή.

Απόδειξη

Επιτρέψτε στο G να είναι οποιοδήποτε αντί-παράγωγο του f.

d/dx[G(x)] =f(x) ……. (1)

∫ f(x) dx =G(x) + C

d/dx[∫ f(x) dx] =d/dx[G(x) + C]

=d/dx[G(x)] ['.' d/dx (C) =0]

=f(x) [από (1)]

Ως εκ τούτου, d/dx[∫ f(x)dx] =f(x)

Είμαστε ήδη εξοικειωμένοι με αυτό,

 d/dx[f(x)]

dx =∫ f ‘ (x) dx

⇒ ∫ f ‘(x)dx =f(x) + C

Επομένως, το C αναφέρεται ως η σταθερά ολοκλήρωσης σε αυτήν την περίπτωση. 

Δεύτερη ιδιότητα

Δύο αόριστα ολοκληρώματα της ίδιας παραγώγου παράγουν το ίδιο σύνολο καμπυλών και είναι ίσα.

Απόδειξη

Έστω f και g δύο συναρτήσεις με την ιδιότητα ότι,

d/dx ∫ f(x ) dx =d/dx ∫ g(x)dx

⇒d/dx ∫ f( x)dx – d/dx ∫ g(x)dx =0

⇒d/dx[∫f (x)dx – ∫g(x)dx] =0

d/dx(Σταθερά) =0

⇒ ∫ f(x)dx – ∫ g(x) dx = 

Όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά

∫ f(x)dx =∫ g(x) dx + C

Αν C =C2 – C1, τότε

∫ f(x)dx =∫ g(x) + C2 – C1

⇒ ∫ f(x)dx + C1 =∫ g(x) + C2

{∫ f(x)dx + C1,C2 ∈ R} και {∫ g(x)dx + C1,C2 ∈ R} είναι πανομοιότυπα }

∫ f(x)dx και ∫ g(x)dx είναι ίσα

Τρίτη ιδιότητα

Αν υποθέσουμε ότι τα f και g αντιπροσωπεύουν δύο κύριες συναρτήσεις, τότε το αποτέλεσμα είναι το [f(x) + g(x)].

dx =f(x) dx συν g(x) dx

d/dx ∫ f(x) dx =f(x)

d/dx ∫ [f(x) + g(x)] dx =f(x) + g(x) …….(1)

Σκεφτείτε d/dx [∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx]

=d/dx ∫ f(x) dx + d/dx ∫ g(x) dx

=f(x) + g(x)…..(2)

 d/dx ∫ [f(x) + g(x)] dx =d/dx [ ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx]——- (3)

∫ [f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Έτσι, το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των συναρτήσεων.

Αυτές είναι μερικές ιδιότητες αόριστης ολοκλήρωσης που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε και να λύσετε εύκολα τις εξισώσεις.

Ανομοιότητες μεταξύ αόριστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων

• Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα έχει κάτω και άνω όρια και παράγει σταθερό αποτέλεσμα όταν λυθεί. Ένα άπειρο ολοκλήρωμα είναι αυτό στο οποίο δεν επιβάλλονται όρια και μια αυθαίρετη σταθερά εισάγεται ως απαίτηση.

• Όταν τα άνω και κάτω όρια του αριθμού είναι σταθερά, το οριστικό ολοκλήρωμα το εκφράζει. Ένα άπειρο ολοκλήρωμα είναι μια γενίκευση μιας οικογένειας συναρτήσεων με παραγώγους f.

• Αν και οι τιμές ή οι λύσεις που λαμβάνονται από καθορισμένα ολοκληρώματα είναι σταθερές, μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Μια απροσδιόριστη ολοκληρωμένη λύση είναι μια γενική λύση με μια σταθερή τιμή προσαρτημένη σε αυτήν, που συνήθως συμβολίζεται ως C.

• Σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, το άνω και το κάτω όριο είναι πάντα σταθερά. Επειδή είναι μια γενική αναπαράσταση, δεν υπάρχουν περιορισμοί για αόριστα ολοκληρώματα.

Συμπέρασμα

Ένα αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια συνάρτηση που εκτελεί την αντιπαράγωγο μιας άλλης συνάρτησης. Μπορεί να εμφανιστεί ως αναπόσπαστο σύμβολο, συνάρτηση και dx. Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια απλούστερη προσέγγιση για την αναπαράσταση της λήψης του αντιπαραγώγου. Επιπλέον, το αόριστο ολοκλήρωμα σχετίζεται, αλλά όχι το ίδιο με το οριστικό ολοκλήρωμα.