Εικονογράφηση προβλήματος στο Κέντρο Μάζας

Πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν εάν η μάζα του αντικειμένου πιστεύεται ότι βρίσκεται σε μία μόνο θέση. The Center of Mass είναι το όνομα που δόθηκε σε αυτόν τον μοναδικό ιστότοπο. Η θέση του καθορίζεται από ένα αντικείμενο ή μια ομάδα αντικειμένων των οποίων το Κέντρο Μάζας πρέπει να υπολογιστεί. Συνήθως είναι το κέντρο για ομοιόμορφα σχήματα. Τώρα που ξέρουμε τη σημασία για τις σημειώσεις του κέντρου μάζας jee, ας δούμε περαιτέρω λεπτομέρειες.

Δεν χρειάζεται να σκεφτόμαστε τη δυναμική μεμονωμένων ατόμων του συστήματος όταν εξετάζουμε τη δυναμική της κίνησης του συστήματος στο σύνολό του. Αντίθετα, πρέπει να επικεντρωθούμε στη δυναμική ενός μόνο σημείου που αντιστοιχεί σε αυτό το σύστημα. Η κίνηση αυτού του μοναδικού σημείου είναι παρόμοια με εκείνη ενός μεμονωμένου σωματιδίου του οποίου η μάζα είναι ισοδύναμη με το σύνολο όλων των διακριτών σωματιδίων του συστήματος. Το αποτέλεσμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται από τα γύρω σώματα σε όλα τα σωματίδια του συστήματος ασκείται επίσης απευθείας σε αυτό το σωματίδιο. Το κέντρο μάζας του συστήματος των σωματιδίων είναι αυτό το σημείο.

Διαφορές μεταξύ του κέντρου μάζας και του κέντρου βάρους

Για να εξηγήσουμε τη μεταφορική κίνηση ενός σώματος, το κέντρο μάζας είναι ένα μέρος όπου μπορεί να θεωρηθεί ότι συγκεντρώνεται ολόκληρη η μάζα του σώματος. Το κέντρο βάρους, από την άλλη πλευρά, είναι το μέρος στο οποίο δρα το άθροισμα των βαρυτικών δυνάμεων που δρουν σε όλα τα σωματίδια του σώματος.

Αυτά τα δύο σημεία βρίσκονται στην ίδια τοποθεσία για πολλά πράγματα. Αλλά μόνο όταν το βαρυτικό πεδίο είναι ομοιογενές σε ένα αντικείμενο είναι το ίδιο. Το κέντρο βάρους, για παράδειγμα, συμπίπτει με το κέντρο μάζας σε ένα ομοιογενές βαρυτικό πεδίο όπως αυτό της γης σε ένα μικροσκοπικό σώμα.

Εντοπισμός Κέντρου Μάζας

Το κέντρο μάζας ενός σώματος προσδιορίζεται πειραματικά χρησιμοποιώντας δυνάμεις βαρύτητας στο σώμα και βασιζόμενοι στο γεγονός ότι το κέντρο μάζας και το κέντρο βάρους είναι το ίδιο στο παράλληλο πεδίο βάρους κοντά στο επιφάνεια της γης.

Ένα σώμα με άξονα συμμετρίας και σταθερή πυκνότητα πρέπει να έχει το κέντρο μάζας του σε αυτόν τον άξονα. Ως αποτέλεσμα, το κέντρο μάζας ενός κυκλικού κυλίνδρου με σταθερή πυκνότητα βρίσκεται στον άξονα του κυλίνδρου.

Το κέντρο μάζας, το μέρος όπου μπορεί να θεωρηθεί ότι ενεργεί η βαρύτητα αναφέρεται συχνά ως κέντρο βάρους στη ρύθμιση ενός εντελώς ομοιόμορφου βαρυτικού πεδίου. Η κίνηση ολόκληρου του συστήματος, σε αντίθεση με την κίνηση των κομματιών του, μπορεί να μελετηθεί προσδιορίζοντας το κέντρο μάζας του συστήματος.

Η θέση του κέντρου μάζας του αντικειμένου είναι σταθερή στην περίπτωση ενός άκαμπτου σώματος. Η θέση του κέντρου μάζας είναι ένα σημείο στο χώρο μεταξύ τους που μπορεί να μην ταιριάζει με τη θέση κάποιας συγκεκριμένης μάζας σε περίπτωση χαλαρής κατανομής μαζών στον ελεύθερο χώρο, όπως απελευθέρωση από ένα όπλο.

Οι τύποι απαιτούν την επίλυση προβλημάτων στο κέντρο μάζας:

1. Αιχμηρά αντικείμενα:

• Για x-axis-

Xcom =  ∑i=0 n mi xi

                ––––––––––––––––

                    M

• Για y-axis-

ycom =  ∑i=0 n mi yi

                ––––––––––––––––

M

• Για z-axis-

Zcom =  ∑i=0 n mi zi

                ––––––––––––––––

                     M

2. Αν χρειάζεται να προσδιορίσουμε το κέντρο μάζας ενός εκτεταμένου αντικειμένου, όπως ένας πόλος, πρέπει να εφαρμόσουμε μια διαφορετική προσέγγιση. Στη συνέχεια, θα ρίξουμε μια ματιά στη διαφορική μάζα και τη θέση της και θα την ενσωματώσουμε σε όλο το μήκος.

             ∫xdm

Xcom =______

     M

             ∫ydm

Ycom =______

                M  

            ∫zdm

Zcom =______

                 M

Εδώ,

Xcom, ycom και zcom =Κέντρο μάζας κατά μήκος των αξόνων x, y και z, αντίστοιχα.

M =  Η συνολική μάζα του συστήματος

n  =  Αριθμός αντικειμένων

mi =Μάζα του ιου αντικειμένου

xi  =Απόσταση από τον άξονα x του αντικειμένου i.

Προβλήματα στο Κέντρο Μάζας

Πρόβλημα 1:

Δύο αντικείμενα μάζας 10 kg και 4 kg συνδέονται με ένα ελατήριο μικροσκοπικής μάζας και τοποθετούνται σε ένα οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβές. Μια ώθηση δίνει ταχύτητα 14 m/s στο βαρύτερο αντικείμενο προς την κατεύθυνση του ελαφρύτερου αντικειμένου. Ποια θα ήταν η ταχύτητα του κέντρου μάζας;

Λύση:

Ακριβώς μετά τη σύγκρουση

vc=m1v1+ m2v2/m1+ m2

vc=(10 x 14 + 4 x 0)/(10 +4)

vc=10 m/s

Πρόβλημα 2:

Λόγω αμοιβαίας βαρυτικής έλξης, δύο σώματα με διαφορετική μάζα 2 kg και 4 kg ταξιδεύουν με ταχύτητες 2 m/s και 10 m/s το ένα προς το άλλο. Λοιπόν, ποιο είναι το κέντρο ταχύτητας μάζας;

Λύση:

Ας πάρουμε την κατεύθυνση των 4 κιλών Qs + Ve

             (m1 x v1) + (m2 v2)

VCM =–––––––––––––––––

                      m1 + m2

      2 x (-2) + 4 x 10.               -4 + 40

=–––––––––––––––      =–––––––––  =36/6 =6

             2 + 4.                               6

Απάντηση:Η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι 6 m/s προς την κατεύθυνση του μπλοκ 4 κιλών.

Συμπέρασμα

Το κέντρο μάζας είναι μια θέση μέσα ή έξω από ένα αντικείμενο που λειτουργεί σαν να συγκεντρώνεται ολόκληρη η μάζα του αντικειμένου εκεί. Όλα τα σημεία στη δυναμική του άκαμπτου αμαξώματος διατηρούν την αμοιβαία απόσταση τους και κινούνται σαν το ένα σημείο να ακολουθεί το άλλο. Το κέντρο μάζας απλοποιεί το πρόβλημα και διευκολύνει την ανάλυση της περιστροφικής κίνησης, της γραμμικής κίνησης, της περιστροφής, της περιοδικής κίνησης και των περισσότερων άλλων κινήσεων. Χρησιμοποιούμε δύο στάδια απλοποίησης χρησιμοποιώντας το κέντρο μάζας για πολλά προβλήματα άκαμπτου σώματος. Αρχικά, θα εξετάσουμε το κέντρο μάζας κάθε αντικειμένου. Στη συνέχεια υπολογίζεται το κέντρο μάζας για ολόκληρο το σύστημα.