Προβλήματα στο Κέντρο Μάζας
Πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν εάν η μάζα του αντικειμένου πιστεύεται ότι βρίσκεται σε μια ενιαία θέση. Όταν προσδιορίζεται η σωστή θέση, οι εξισώσεις δυνάμεων και κίνησης λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο όπως όταν απλώνεται η μάζα. Το κέντρο μάζας είναι ο όρος για αυτή τη μοναδική τοποθεσία. Η θέση του καθορίζεται από ένα αντικείμενο ή μια ομάδα αντικειμένων των οποίων το κέντρο μάζας πρέπει να υπολογιστεί. Συνήθως είναι το κέντρο για ομοιόμορφα σχήματα.
Δεν χρειάζεται να σκεφτόμαστε τη δυναμική μεμονωμένων ατόμων του συστήματος όταν εξετάζουμε τη δυναμική της κίνησης του συστήματος στο σύνολό του. Αντίθετα, πρέπει να επικεντρωθούμε στη δυναμική ενός μόνο σημείου που αντιστοιχεί σε αυτό το σύστημα. Η κίνηση αυτού του μοναδικού σημείου είναι παρόμοια με εκείνη ενός μεμονωμένου σωματιδίου του οποίου η μάζα είναι ισοδύναμη με το σύνολο όλων των διακριτών σωματιδίων του συστήματος. Το αποτέλεσμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται από τα περιβάλλοντα σώματα σε όλα τα σωματίδια του συστήματος ασκείται επίσης απευθείας σε αυτό το σωματίδιο. Το κέντρο μάζας του συστήματος των σωματιδίων είναι αυτό το σημείο.
Διαφορές μεταξύ Κέντρου Μάζας και Κέντρου Βάρους
Για να εξηγήσουμε τη μεταφορική κίνηση ενός σώματος, το κέντρο μάζας είναι όπου μπορεί να θεωρηθεί ότι συγκεντρώνεται ολόκληρη η μάζα του σώματος. Από την άλλη πλευρά, το κέντρο βάρους είναι το μέρος όπου δρα το άθροισμα των βαρυτικών δυνάμεων που δρουν σε όλα τα σωματίδια του σώματος.
Αυτά τα δύο σημεία βρίσκονται στην ίδια τοποθεσία για πολλά πράγματα. Ωστόσο, μόνο όταν το βαρυτικό πεδίο είναι ομοιογενές σε ένα αντικείμενο είναι το ίδιο. Το κέντρο βάρους, για παράδειγμα, συμπίπτει με το κέντρο μάζας σε ένα ομοιογενές βαρυτικό πεδίο όπως αυτό της γης σε ένα μικροσκοπικό σώμα.
Τύποι για την επίλυση προβλημάτων στο κέντρο μάζας
- Μοντερά αντικείμενα:
- Για άξονα x-
Xcom = (∑i=0 n mi xi)/M
- Για τον άξονα y-
ycom = (∑i=0 n mi yi)/M
- Για τον άξονα z-
Zcom = ( ∑i=0 n mi zi)/M
- Για να προσδιορίσουμε το κέντρο μάζας ενός εκτεταμένου αντικειμένου, όπως ένας πόλος, χρησιμοποιούμε μια διαφορετική προσέγγιση. Στη συνέχεια εξετάζουμε μια διαφορική μάζα και τη θέση της και την ενσωματώνουμε σε όλο το μήκος.
- Xcom = 1/M (∫xdm)
- Ycom = 1/M (∫ydm)
- Zcom = 1/M (∫zdm)
Εδώ,
Xcom, ycom και zcom =Κέντρο μάζας κατά μήκος του άξονα x, y και z, αντίστοιχα.
M =Συνολική μάζα του συστήματος
n =Αριθμός αντικειμένων
mi =Μάζα του αντικειμένου i
xi =Απόσταση από τον άξονα x του αντικειμένου i.
Εντοπισμός Κέντρου Μάζας
Το κέντρο μάζας ενός σώματος προσδιορίζεται πειραματικά χρησιμοποιώντας δυνάμεις βαρύτητας στο σώμα και υποθέτοντας ότι το κέντρο μάζας και το κέντρο βάρους είναι ίσα στο παράλληλο πεδίο βάρους κοντά στην επιφάνεια της Γης.
Ένα σώμα που έχει άξονα συμμετρίας και σταθερή πυκνότητα θα έχει το κέντρο μάζας του σε αυτόν τον άξονα. Ως αποτέλεσμα, το κέντρο μάζας ενός κυκλικού κυλίνδρου με σταθερή πυκνότητα βρίσκεται στον άξονα του κυλίνδρου.
Το κέντρο μάζας, το μέρος όπου μπορεί να θεωρηθεί ότι ενεργεί η βαρύτητα, αναφέρεται συχνά ως κέντρο βάρους στη ρύθμιση ενός εντελώς ομοιόμορφου βαρυτικού πεδίου. Η κίνηση ολόκληρου του συστήματος, σε αντίθεση με την κίνηση των κομματιών του, μπορεί να μελετηθεί προσδιορίζοντας το κέντρο μάζας του συστήματος.
Η θέση του κέντρου μάζας του αντικειμένου είναι σταθερή στην περίπτωση ενός άκαμπτου σώματος. Η θέση του κέντρου μάζας είναι ένα σημείο στο χώρο μεταξύ τους που δεν συμπίπτει απαραίτητα με τη θέση κάποιας συγκεκριμένης μάζας σε περίπτωση χαλαρής κατανομής μαζών στον ελεύθερο χώρο, όπως απελευθέρωση από ένα όπλο.
Προβλήματα στο Κέντρο Μάζας
Πρόβλημα 1:
Δύο αντικείμενα μάζας 10 κιλών και 4 κιλών συνδέονται με ένα ελατήριο μικροσκοπικής μάζας και τοποθετούνται σε ένα οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβές. Μια ώθηση δίνει ταχύτητα 14 m/s στο βαρύτερο αντικείμενο προς την κατεύθυνση του ελαφρύτερου αντικειμένου. Ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας;
Λύση:
Αμέσως μετά τη σύγκρουση
vc=m1v1 + m2v2/m1 + m2
vc=(10 x 14 + 4 x 0)/(10+4)
vc=10 m/s
Πρόβλημα 2:
Λόγω της αμοιβαίας βαρυτικής έλξης, δύο σώματα με διαφορετική μάζα 2 kg και 4 kg ταξιδεύουν με ταχύτητες 2 m/s και 10 m/s το ένα προς το άλλο. Λοιπόν, ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας;
Λύση:
Ας πάρουμε την κατεύθυνση των 4 κιλών Q + Ve
VCM =((m1 x v1) + (m2 v2))/(m1 + m2)
(2 x (-2) + 4 x 10)/(2+4)
36/6 =6
Η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι 6 m/s προς την κατεύθυνση του μπλοκ 4 κιλών.
Συμπέρασμα
Το κέντρο μάζας είναι μια θέση μέσα ή έξω από ένα αντικείμενο που λειτουργεί σαν να συγκεντρώνεται ολόκληρη η μάζα του αντικειμένου εκεί. Όλα τα σημεία στη δυναμική του άκαμπτου αμαξώματος διατηρούν την αμοιβαία απόσταση τους και κινούνται σαν το ένα σημείο να ακολουθεί το άλλο. Το κέντρο μάζας απλοποιεί το πρόβλημα και διευκολύνει την ανάλυση περιστροφικών, γραμμικών, περιστρεφόμενων, περιοδικών και των περισσότερων άλλων κινήσεων. Χρησιμοποιούμε δύο στάδια απλοποίησης χρησιμοποιώντας το κέντρο μάζας για πολλά προβλήματα άκαμπτου σώματος. Αρχικά, θα εξετάσουμε το κέντρο μάζας κάθε αντικειμένου. Στη συνέχεια υπολογίζεται το κέντρο μάζας για ολόκληρο το σύστημα.
