Κανόνας προϊόντος
Ο κανόνας προϊόντος χρησιμοποιείται για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης στον Λογισμό. Ο κανόνας προϊόντος χρησιμοποιείται όταν μια συνάρτηση είναι το γινόμενο δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. Οι παράγωγοι οποιωνδήποτε δύο ή περισσότερων συναρτήσεων μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα προϊόντος εάν τα προβλήματα είναι συνδυασμός δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. Το D h(x) ή το h' θα χρησιμοποιηθεί για να αναπαραστήσει την παράγωγο μιας συνάρτησης h(x)
Κανόνας προϊόντος
Ο κανόνας προϊόντος είναι μια γενική έννοια που εφαρμόζεται σε προβλήματα που περιλαμβάνουν διαφοροποίηση, όπως όταν μια συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με μια άλλη. Η παράγωγος ενός γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με την πρώτη συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο της δεύτερης και τη δεύτερη συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο της πρώτης. Η συνάρτηση μπορεί να είναι εκθετική, λογαριθμική ή άλλη.
Κανόνες διαφοροποίησης
Αντί να χρησιμοποιούμε τη γενική προσέγγιση της διαφοροποίησης, οι κανόνες διαφοροποίησης μας επιτρέπουν να αξιολογούμε τις παραγώγους συγκεκριμένων συναρτήσεων. Το χαρακτηριστικό της γραμμικότητας είναι σημαντικό στη διαδικασία διαφοροποίησης ή εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης. Για συναρτήσεις που δημιουργούνται από τις θεμελιώδεις στοιχειώδεις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τις διαδικασίες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με έναν σταθερό ακέραιο, αυτό το χαρακτηριστικό κάνει την παράγωγο πιο φυσική.
Τύποι κανόνων διαφοροποίησης
Οι παρακάτω είναι οι πιο σημαντικοί κανόνες διαφοροποίησης:
Κανόνας ισχύος
Κανόνας προϊόντος
Κανόνας αθροίσματος και διαφοράς
Κανόνας αλυσίδας
Κανόνας πηλίκου
Τύπος κανόνα προϊόντος
Ο τύπος κανόνα προϊόντος χρησιμοποιείται για τη λήψη των παραγώγων δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. Ας υποθέσουμε ότι το u(x) και το v(x) είναι δύο διακριτές συναρτήσεις. Το γινόμενο των συναρτήσεων u(x)v(x) είναι διαφοροποιήσιμο με αυτόν τον τρόπο και γράφεται ως (uv)′ =u′v + uv′.
Ο τύπος κανόνα προϊόντος παρέχει μια εξήγηση στην εννοιολογική θεωρία ότι ο κανόνας γινομένου δίνεται εάν η πρώτη συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με την παράγωγο της δεύτερης συνάρτησης επιπλέον της δεύτερης συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο της πρώτη λειτουργία. Στον πρώτο όρο, χρησιμοποιούμε τη σταθερά «u», ενώ στον δεύτερο όρο, χρησιμοποιούμε τη σταθερά «v.»
Κανόνας χρήσης προϊόντος για διαφορετικές λειτουργίες
Ο παρακάτω είναι ο κανόνας προϊόντος για διάφορες συναρτήσεις, όπως παράγωγους, εκθέτες και λογαριθμικές συναρτήσεις:
Κανόνας προϊόντος παραγώγων
Ο κανόνας προϊόντος για οποιεσδήποτε δύο συναρτήσεις, όπως f(x) και g(x) είναι:
D[f(x) g(x)]
=f(x) D[g(x)] + g(x) D[f(x)]
d(uv)/dx =u(dv/dx) + v(du/dx)
u και v είναι δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, αντίστοιχα.
Κανόνας προϊόντος για εκθέτες
Αν οι αριθμοί m και n είναι φυσικοί αριθμοί, τότε xx=x.
Ο κανόνας προϊόντος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση εκφράσεων εκθέτη με διακριτές βάσεις, όπως 25, ή εκφράσεις likexnm. Μόνο ο κανόνας ισχύος των εκθετών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μιας έκφρασης όπως xnm=xnm.
Κανόνας προϊόντος για λογάριθμο
Ας πάρουμε το Α και το Β που είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με τη βάση a.
Τώρα, για αυτόν τον κανόνα το "a" δεν πρέπει να είναι ίσο με 0.
Ως εκ τούτου, ο κανόνας προϊόντος θα είναι:AB =A +B .
Κανόνας τριπλού προϊόντος
Ο κανόνας του τριπλού προϊόντος είναι μια διεύρυνση του κανόνα προϊόντος. Εάν τρεις διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις είναι οι f(x), g(x) και h(x), ο κανόνας διαφοροποίησης προϊόντος μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτές τις τρεις συναρτήσεις ως εξής:
Dfxgxhx=gxhxDfx+fxhxDgh+fxgxDhx
Συμπέρασμα
Στον λογισμό, ο κανόνας γινομένου είναι μια μέθοδος για τον προσδιορισμό της παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης που δίνεται με τη μορφή προϊόντος που παράγεται πολλαπλασιάζοντας δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις. Σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα η παράγωγος ενός γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα του γινομένου της διαφοροποίησης της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη συνάρτηση και του γινόμενου της διαφοροποίησης της δεύτερης συνάρτησης με την πρώτη συνάρτηση.
