Εξάσκηση Προβλημάτων στις Διαφορικές Εξισώσεις

Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που έχει μια συνάρτηση, όπως η F(x), και μια ή και περισσότερες παράγωγες, όπως το dy/dx. Τα φυσικά μεγέθη αντιπροσωπεύονται συνήθως από τις συναρτήσεις μιας διαφορικής εξίσωσης, ενώ ο ρυθμός μεταβολής των φυσικών μεγεθών δίνεται από τις παραγώγους. Μια διαφορική εξίσωση είναι μια μαθηματική έκφραση που περιγράφει τη σύνδεση μεταξύ μιας συνάρτησης και των παραγώγων της. Όταν εξετάζουμε το y ως συνάρτηση του x, μια διαφορική εξίσωση είναι αυτή που ενσωματώνει παραγώγους του y ως προς το x (ή τα διαφορικά των y και x) με ή χωρίς τις μεταβλητές x και y.

Σειρά διαφορικών εξισώσεων

Αντιπροσωπεύει την υψηλότερη τάξη του παραγώγου. Ακολουθούν μερικά από τα παραδείγματα:

1. (dy/dx) =δευτερόλεπτο x
2. (d2y/dx2) + p2y =0
3. (2d2y/dt2) + (5d2x/dt2) =8x
4. (d3y/dx3) + 7x(dy/dx) – 9xy =10
5. (rdr/dθ) + tanθ =10

• Στην πρώτη περίπτωση, η σειρά είναι 1
• Στη δεύτερη περίπτωση, η σειρά είναι 2 καθώς η εξίσωση έχει παράγωγο δεύτερης τάξης d2 y/ dx2
• Στην τρίτη περίπτωση, η σειρά είναι 2 καθώς η εξίσωση έχει παράγωγο δεύτερης τάξης d2 y/ dx2
• Στην τέταρτη περίπτωση, η σειρά είναι 3 καθώς η εξίσωση έχει παράγωγο δεύτερης τάξης d3 y/ dx3
• Στην πέμπτη περίπτωση, η σειρά είναι 1

Βαθμός διαφορικών εξισώσεων

• Η ισχύς των παραγώγων υψηλότερης τάξης ονομάζεται βαθμός της διαφορικής εξίσωσης.
• Η διαφορική εξίσωση μπορεί να έχει πολυωνυμική μορφή, καθώς η υψηλότερη τάξη διαφορικής ισχύος ονομάζεται βαθμός.
• Επιλέξτε τον θετικό ακέραιο και βρείτε τον υψηλότερο βαθμό:

( d5ydx5 )4  + 7 ( dydx )8  + 9y =7 sec7x

, όπου dx5  είναι η υψηλότερη τάξη της εξίσωσης, επομένως ο υψηλότερος βαθμός είναι 4

Τύποι διαφορικής εξίσωσης

Υπάρχουν δύο τύποι διαφορικών εξισώσεων. Αυτοί είναι:

1. Συνήθης διαφορική εξίσωση
2. Μερική διαφορική εξίσωση

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

• ODE – Μια διαφορική εξίσωση που περιλαμβάνει μία ή ακόμη περισσότερες συναρτήσεις από μία ανεξάρτητη μεταβλητή με τις παραγώγους τους είναι γνωστή ως συνηθισμένη διαφορική εξίσωση (ODE).

Για παράδειγμα, εδώ είναι μερικά παράγωγα y’+y”+y”’+y””+……… yn που αφορούν x

Παράδειγμα:(d2y/dx2) + (dy/dx) =3y tan x

Μερικές διαφορικές εξισώσεις

Μια εξίσωση που περιλαμβάνει περισσότερες από μία συναρτήσεις και περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές ονομάζεται Partial Differial Equation (PDE).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

• 5𝛿u/ 𝛿x + 7𝛿u/𝛿y =0,
• 21𝛿2u/𝛿x2 + 8𝛿2u/𝛿y2 =0

Προβλήματα εξάσκησης σε διαφορικές εξισώσεις

• Δείξτε ότι η διαφορική εξίσωση (5x- 8y).dy/dx =(4x+2y) είναι μια ομοιογενής διαφορική εξίσωση.

Λύση:

(5x – 8y).dy/dx =(4x + 2y) είναι η δεδομένη διαφορική εξίσωση

Για να αποδείξουμε ότι η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι ομοιογενής, ας αντικαταστήσουμε τα x =δ x και y =δ y.

Εδώ έχουμε F(x, y) =(4x+2y)/(5x−8y)

F(δx, δy) =( δ4x+δ2y)/( δ5x− δ8y) 

F(δx, δy) =  f(x, y)

Ως εκ τούτου, αποδεικνύει ότι η δεδομένη εξίσωση είναι μια ομοιογενής διαφορική εξίσωση.

1. Βρείτε τη λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης x sin(y/x).dy/dx =y sin(y/x) + x.

Λύση:

Η δεδομένη διαφορική εξίσωση είναι x sin(y/x).dy/dx =y sin(y/x) + x

dy/dx = {y sin(y/x) + x } / xsin(y/x)

dy/dx = {x((y/x).sin(y/x)+1)} / x sin(y/x)

dy/dx = ((y/x).sin(y/x)+1 /  sin(y/x)

Εδώ ας αντικαταστήσουμε το y/x =v στην παραπάνω εξίσωση

dy/dx = (v sinv+1) / sinv 

Εδώ γράψτε y/x =v με τη μορφή y =vx

Διαφοροποιώντας το y =vx και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, λαμβάνουμε 

dy/dx =v + x.dv/dx, που αντικαθίσταται στην παραπάνω εξίσωση

v + x.dv/dx =( v sinv + 1)/ sinv     

x.dv/dx = (v sinv+ 1 / sin v) – v

Εδώ χωρίζουμε τις μεταβλητές και στις δύο πλευρές

x.dv/dx =1/sinv

sinv.dv =dx/x

Με την ενσωμάτωση και των δύο εξισώσεων παίρνουμε την παρακάτω εξίσωση

∫sinv.dv=∫dx/x

-cosv =Logx + C

Εδώ επιστρέφουμε y/x =v

-cos y/x =Logx + C

Επομένως, η λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι – cos y/x =Logx + C

Συμπέρασμα:

Η σύνδεση μεταξύ των δύο μεταβλητών, x και y, που παράγονται μετά την εξάλειψη των παραγώγων (δηλαδή, ολοκλήρωση) ή όπου η σύνδεση περιλαμβάνει μια αυθαίρετη σταθερά για να δηλώνει τη σειρά μιας εξίσωσης είναι η βασική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. Μια αυθαίρετη σταθερά εμφανίζεται στη λύση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, ενώ δύο αυθαίρετες σταθερές εμφανίζονται στις λύσεις διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Η λύση των διαφορικών εξισώσεων προκύπτει δίνοντας συγκεκριμένες τιμές στην αυθαίρετη σταθερά.