Θεωρήματα παράλληλων και κάθετων αξόνων

Τι εννοείται με το Θεώρημα Παράλληλου Άξονα;

Το θεώρημα του παράλληλου άξονα μπορεί να οριστεί ως η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς έναν άξονα παράλληλο προς το μέσο του είναι ίση με τη μάζα του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των δύο αξόνων και τη στιγμή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από τη μέση .

Τι εννοείται με το Θεώρημα του Κάθετου Άξονα;

Σύμφωνα με το θεώρημα του κάθετου άξονα, η ροπή αδράνειας ως προς οποιονδήποτε άξονα σε ένα επίπεδο σώμα, που είναι κάθετα στο επίπεδο, είναι ίση με αυτή οποιωνδήποτε δύο κάθετων αξόνων στο επίπεδο που διασχίζουν τον κύριο άξονα του επιπέδου.

Τύπος Θεωρήματος Παράλληλου Άξονα

Η άρθρωση του θεωρήματος παράλληλου άξονα μπορεί να κοινοποιηθεί ως εξής:

I =Ic + Mh2
• Μοιάζει με τη στιγμή αδράνειας του σώματος

• Το Ic μοιάζει με τη στιγμή αδράνειας ως προς το κέντρο

• Το M μοιάζει με τη μάζα του σώματος

• h2 μοιάζει με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των δύο αξόνων

Παραγωγή θεωρήματος παράλληλου άξονα

Αφήστε Ic να είναι η ροπή αδράνειας ενός άξονα που διέρχεται από το εστιακό σημείο μάζας (ΑΒ από το σχήμα) και I είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα A'B' που υπάρχει σε απόσταση h.

Σκεφτείτε ένα μόριο μάζας m σε απόσταση r από το κέντρο βάρους του σώματος.

Λοιπόν,

Απόσταση από A’B’ =r + h

I =∑m (r + η)2

I =∑m (r2 + h2 + 2rh)

I =∑mr2 + ∑mh2 + ∑2rh

I =Ic + h2∑m + 2h∑mr

I =Ic + Mh2 + 0

I =Ic + Mh2

Ο τύπος του θεωρήματος του παράλληλου άξονα προκύπτει παραπάνω.

Θεώρημα παράλληλου άξονα της ράβδου

Το θεώρημα του παράλληλου άξονα της ράβδου είναι ακόμα στον αέρα ανιχνεύοντας τη ροπή αδράνειας της ράβδου.

Η ροπή αδράνειας της ράβδου γράφεται ως:-:

I =1/3 ML2

Η απόσταση μεταξύ του φινιρίσματος της ράβδου και της μέσης της δίνεται ως εξής:

h =L/2

Έτσι, το θεώρημα παράλληλου άξονα της ράβδου είναι:

Ic =1/3 ML2 – ML/2*2

Ic =1/3 ML2 – 1/4ML2

Ic =1/12 ML2

Τύπος Θεωρήματος Κάθετου Άξονα

Σε περίπτωση που η ροπή αδράνειας γύρω από δύο από τους άξονες είναι γνωστή, η ροπή αδράνειας ως προς τον τρίτο άξονα μπορεί να εντοπιστεί χρησιμοποιώντας την άρθρωση:

Ia=Ib+Ic

Ας πούμε ότι σε μια εφαρμογή σχεδιασμού πρέπει να εντοπίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός σώματος, ωστόσο το σώμα έχει ακανόνιστο σχήμα, και η ροπή σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του παράλληλου άξονα για να πάρουμε τη ροπή αδράνειας οποιαδήποτε στιγμή πιθανώς γνωρίζουν το εστιακό σημείο βαρύτητας του σώματος. Το θεώρημα του κάθετου άξονα χρησιμοποιείται όταν το σώμα έχει συμμετρικό σχήμα γύρω από δύο από τους τρεις άξονες. Αυτό είναι ένα εξαιρετικά πολύτιμο θεώρημα στην επιστήμη των διαστημικών υλικών όπου ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας των διαστημικών σκαφών και δορυφόρων, το καθιστά εφαρμόσιμο για εμάς φτάνουν στους εξωτερικούς πλανήτες και, παραδόξως, στο βαθύ διάστημα.

Χρήση θεωρήματος παράλληλων αξόνων

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του παράλληλου άξονα, μπορούμε να παρατηρήσουμε τη ροπή αδράνειας της περιοχής ενός άκαμπτου σώματος του οποίου ο άξονας είναι παράλληλος με τον άξονα του πραγματοποιηθέντος σώματος ροπής, και αυτό συμβαίνει μέσω του εστιακού σημείου βαρύτητας.

Εφαρμογές του θεωρήματος κάθετου άξονα

Οι εφαρμογές του θεωρήματος κάθετου άξονα είναι

• Η ροπή αδράνειας ενός τρισδιάστατου αντικειμένου μπορεί να προσδιοριστεί από το θεώρημα του κάθετου άξονα.
• Με το θεώρημα του κάθετου άξονα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας γύρω από τον τρίτο άξονα.

Συμπέρασμα

Οι εμβαδικές ροπές αδράνειας γύρω από το κέντρο του των συνηθισμένων περιοχών είναι προσβάσιμες σε τυπικούς πίνακες. Ωστόσο, συνήθως θα έρθετε στην περίσταση όπου μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας σχετικά με κάποιον άλλο άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο. Όσον αφορά το κέντρο του, οι συνήθεις περιοχές είναι προσβάσιμες σε τυπικούς πίνακες. Σε κάθε περίπτωση, κανονικά θα έρθετε στην περίσταση όπου μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσετε την εμβαδική ροπή αδράνειας σχετικά με κάποιον άλλο άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο. Το θεώρημα του παράλληλου άξονα και το θεώρημα του κάθετου άξονα είναι χρήσιμα για τον υπολογισμό της ροπής εμβαδού αδράνειας τέτοιων περιπτώσεων.