Έξω από τη Στερεά Σφαίρα

Το πεδίο δύναμης που υπάρχει στο διάστημα γύρω από κάθε μάζα ή ομάδα μαζών είναι γνωστό ως βαρυτικό πεδίο. Αυτό το πεδίο εκτείνεται με όλους τους τρόπους, αλλά το μέγεθος της βαρυτικής δύναμης μειώνεται καθώς απομακρύνεται κανείς από το αντικείμενο. Μετριέται σε Νιούτον ανά κιλό (N/kg) μονάδες δύναμης ανά μάζα.

Το βαρυτικό πεδίο είναι μια μορφή πεδίου δύναμης που είναι ανάλογο με τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία για ηλεκτρικά φορτισμένα σωματίδια και μαγνήτες. Σε αυτό το άρθρο, θα διαβάσουμε για το βαρυτικό πεδίο έξω από το σφαιρικό κέλυφος μέσω του βαρυτικού πεδίου έξω από το σφαιρικό κέλυφος.

Νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα

Σύμφωνα με το νόμο, κάθε σωματίδιο της ύλης στο σύμπαν έλκει κάθε άλλο σωματίδιο με δύναμη που είναι ευθέως ανάλογο με το γινόμενο των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης τους μεταξύ τους. Η δύναμη κατευθύνεται κατά μήκος της γραμμής που συνδέει τις γραμμές σωματιδίων.

  Θεωρήστε δύο μάζες, m1 και m2, με τα κέντρα τους να διαχωρίζονται με r. Ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα συνάγει τη βαρυτική δύναμη μεταξύ τους.

 

Η διανυσματική φόρμα

 

F =𝐺𝑚1𝑚2/r²  𝑟̂

 

F12 υποδηλώνει δύναμη στη μάζα 1 λόγω μάζας 2 και F21 υποδηλώνει δύναμη στη μάζα 2 λόγω μάζας 1.

  Αξίζει να σημειωθεί ότι τα F12 και F21 είναι ίσα και αντίθετα. Ένα ζεύγος δράσης-αντίδρασης σχηματίζεται από τη βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο σωματιδίων.

Εύρεση βαρυτικού πεδίου σε στερεά σφαίρα

Περίπτωση Ι

Το βαρυτικό πεδίο έξω από τη συμπαγή σφαίρα. Έστω M η μάζα της σφαίρας και R η ακτίνα της. Πρέπει να υπολογίσουμε το βαρυτικό πεδίο στο P.

 

∫ 𝐼 =∫𝐺𝑚/𝑟²

∫ 𝐼 =𝐺/r² =∫ 𝑑𝑚 =🝐²

 

Σαν αποτέλεσμα, μια ομοιόμορφη σφαίρα μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ένα μεμονωμένο σωματίδιο ίσης μάζας τοποθετημένο στο κέντρο της για τον υπολογισμό του βαρυτικού πεδίου σε ένα εξωτερικό σημείο.

Περίπτωση 2

Το βαρυτικό πεδίο στο εσωτερικό σημείο μιας ομοιόμορφης σφαίρας. Ας υποθέσουμε ότι το σημείο P βρίσκεται μέσα στη συμπαγή σφαίρα. Σε αυτήν την περίπτωση, rR είναι η σφαίρα που μπορεί να χωριστεί σε λεπτά σφαιρικά κελύφη, τα οποία έχουν όλα το κέντρο στο O. Εάν η μάζα ενός τέτοιου κελύφους είναι dm, τότε το βαρυτικό πεδίο γύρω από αυτό το σφαιρικό κέλυφος θα είναι- 

𝐼 =𝐺𝑑𝑚/𝑟²

𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑃𝑂

  ∫ 𝑑𝐼 =∫𝐺𝑑𝑚/𝑟²

∫ 𝐼 =𝐺/r² ∫ 𝑚

Αλλά dm =πυκνότητα × όγκος

∫ 𝑚 =𝑀4/3 𝜋𝑅³/4/3 πr³

         =r³/ 𝑅³

 

∴ 𝐼 =𝐺𝑀/𝑅³

 

Σαν αποτέλεσμα, το βαρυτικό πεδίο που παράγεται από μια ομοιόμορφη σφαίρα σε ένα εσωτερικό σημείο είναι ανάλογο με την απόσταση του σημείου από το κέντρο της σφαίρας. Το πεδίο είναι μηδέν στο κέντρο του r =0.

 

r =R στην επιφάνεια της σφαίρας

 

I =GM/R²

 

Το βαρυτικό πεδίο που οφείλεται σε μια συμπαγή σφαίρα είναι συνεχές αλλά δεν είναι εύκολα μετρήσιμο. Το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο εντός της σφαίρας οφείλεται μόνο στη μάζα που περικλείεται από την επιφάνεια που διέρχεται από το σημείο, η οποία φαίνεται από το σκιασμένο τμήμα στο διάγραμμα και το πεδίο λόγω του εξωτερικού όγκου είναι μηδέν.

 

Ηλεκτρικό καύσιμο λόγω σφαιρικού κελύφους

Σε αυτήν την περίπτωση, όταν ένα σημείο βρίσκεται μέσα σε ένα σφαιρικό κέλυφος, η επιφάνεια που το διασχίζει δεν περικλείει οποιαδήποτε μάζα, άρα I =0.

 

Το σημείο P βρίσκεται έξω από το σφαιρικό κέλυφος.

 

𝐼 =∫ 𝐼 =𝐺/𝑟²

 

 ∫ 𝑚 =𝐺𝑀/𝑟²

 

Το βαρυτικό πεδίο που παράγεται από ένα λεπτό σφαιρικό κέλυφος είναι ένα ασυνεχές και μη διαφοροποιήσιμο στοιχείο.

Λυμένα παραδείγματα βαρυτικού πεδίου έξω από το σφαιρικό κέλυφος

Ερώτηση

 

Ένας δορυφόρος βάρους 1000 κιλών βρίσκεται σε σύγχρονη τροχιά γύρω από τη Γη. Η περίοδος αυτής της σύγχρονης τροχιάς αντιστοιχεί στην περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της, η οποία υποτίθεται ότι είναι 24 ώρες, δίνοντας στον δορυφόρο την εμφάνιση ότι είναι ακίνητος. 

α) Ποια είναι η τροχιακή ακτίνα του δορυφόρου;

 

β) Ποιο είναι το υψόμετρο του δορυφόρου;

 

γ) Ποια είναι η κινητική ενέργεια του δορυφόρου;

 

Λύση

 

1. Έστω το M τη μάζα του πλανήτη και το m τη μάζα του δορυφόρου. Όταν ένας δορυφόρος βρίσκεται σε τροχιά, η παγκόσμια βαρυτική δύναμη και η κεντρομόλος δύναμη είναι ίσες.

 

G M m / R2 =m v2 / R, όπου v είναι η τροχιακή ταχύτητα του δορυφόρου και R είναι τροχιακή ακτίνα.

 

v =2πR / T

 

G M m / R2=m (2πR / T)2 / R

  Λύστε για να λάβετε:R3 =M G T2 / (4π2)

  Το υψόμετρο h του δορυφόρου δίνεται από την ακτίνα της Γης, η οποία είναι 6371 km.

 

h =42.211 – 6371 =35.840 km

 

3. Η κινητική ενέργεια του δορυφόρου Ek δίνεται από

 

Ek =(1/2) m v² =(1/2) 1000 (2πR / T) ² =(1/2) 1000 (2π × 42.211.000 / (24 × 60 × 60))² =4,7 × 109 J

Συμπέρασμα

  Ένα βαρυτικό πεδίο υπάρχει σε οποιαδήποτε περιοχή όπου ένα άτομο υπόκειται σε μια δύναμη που καθορίζεται αποκλειστικά από τη μάζα και τη θέση του ατόμου. Αυτό το πεδίο είναι μια διανυσματική ποσότητα. Σε αυτό το άρθρο, μάθαμε για το βαρυτικό πεδίο έξω από το σφαιρικό κέλυφος. Έχουμε λύσει παραδείγματα βαρυτικού πεδίου έξω από το σφαιρικό κέλυφος για να κατανοήσουμε καθαρά το θέμα.