Σημειώσεις για Θεώρημα Κάθετου Άξονα

Για να κατανοήσουμε το θεώρημα του κάθετου άξονα, θα πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας εξετάσουμε μια μπάλα ή ένα δαχτυλίδι που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του. Ξέρετε ποια είναι η ροπή αδράνειας ενός αντικειμένου ως προς το κέντρο του. Ωστόσο, όταν αλλάζετε το σημείο περιστροφής της μπάλας ή του δακτυλίου, πρέπει να βρείτε τη στιγμή αδράνειας. Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε το θεώρημα του κάθετου άξονα.

Η ροπή αδράνειας γύρω από έναν κάθετο άξονα στο επίπεδο ενός επιπέδου αντικειμένου είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας των άλλων δύο κάθετων αξόνων που διέρχονται από το ίδιο σημείο στο επίπεδο του αντικειμένου. Η σημασία αυτού του θεωρήματος εκτείνεται πέρα ​​από την εύρεση των ροπών αυστηρά επίπεδων αντικειμένων. Είναι μια σημαντική τεχνική για τον υπολογισμό των ροπών αδράνειας τρισδιάστατων δομών όπως οι κύλινδροι με τη διαίρεση τους σε επίπεδους δίσκους και την προσθήκη των ροπών αδράνειας των σύνθετων δίσκων.

Θεώρημα κάθετου άξονα:

Η ροπή αδράνειας αντιμετωπίζεται στο θεώρημα του παράλληλου και του κάθετου άξονα. Έτσι, πριν δούμε τα θεωρήματα, ας έχουμε κάποια γνώση της ροπής αδράνειας. Είναι ένα χαρακτηριστικό του σώματος που του επιτρέπει να αντέχει τη γωνιακή επιτάχυνση.

Το σύνολο των μαζών των σωματιδίων του σώματος πολλαπλασιαζόμενο με το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα περιστροφής δίνει τη ροπή αδράνειας.

Η ροπή αδράνειας δίνεται ως

Ii =∑miri2

Αυτό το θεώρημα εφαρμόζεται σε συμμετρικά αντικείμενα, δηλαδή πράγματα με δύο στους τρεις συμμετρικούς άξονες. Όταν είναι γνωστή η ροπή αδράνειας των άλλων δύο αξόνων, αυτή η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας του τρίτου.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός σώματος σε μια βιομηχανική εφαρμογή, αλλά το σώμα έχει ακανόνιστο σχήμα. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα του παράλληλου άξονα για να πάρουμε τη ροπή αδράνειας σε οποιαδήποτε θέση, αρκεί να γνωρίζουμε το κέντρο βάρους του σώματος. Αυτό είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη διαστημική φυσική. Υπολογίζει τη στιγμή αδράνειας των διαστημικών σκαφών και των δορυφόρων, επιτρέποντάς μας να φτάσουμε στους εξωτερικούς πλανήτες και ακόμη και στο βαθύ διάστημα. Το θεώρημα του κάθετου άξονα είναι χρήσιμο όταν δεν έχουμε πρόσβαση σε έναν άξονα ενός σώματος και χρειάζεται να προσδιορίσουμε τη ροπή αδράνειας.

Απόδειξη Θεωρήματος Κάθετου Άξονα

Σύμφωνα με το θεώρημα του κάθετου άξονα, η ροπή αδράνειας για οποιονδήποτε άξονα κάθετο στο επίπεδο είναι ίση με το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο κάθετων αξόνων του σώματος που τέμνονται με τον πρώτο άξονα.

Σκεφτείτε την περίπτωση ενός σωματιδίου με μάζα 'm' στη θέση K.

Σχεδιάστε κάθετα στους άξονες x και y, αντίστοιχα, από το K.

το my2 είναι η στιγμή αδράνειας ως προς τον άξονα x.

Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα x ολόκληρου του ελάσματος δίνεται από

Ix =∑my2−−−−−(i)

Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα y ολόκληρου του ελάσματος δίνεται από

Iy =∑mx2−−−−−(ii)

Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα z ολόκληρου του ελάσματος δίνεται από

Iz =∑mr2

Αλλά r2 =x2 + y2

Ως εκ τούτου,

Iz =∑m(x2 + y2)

Από την εξίσωση (i) και (ii), εξάγουμε:

δηλαδή, Iz =∑mx2 + ∑my2

      (ή)

Iz =Ix + Iy

Το θεώρημα του κάθετου άξονα βοηθά στον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ενός σώματος όταν είναι αδύνατη η πρόσβαση σε έναν κρίσιμο άξονα.

Παράδειγμα

Ας δούμε μια απεικόνιση αυτού του θεωρήματος:

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τη ροπή αδράνειας ενός ομοιόμορφου δακτυλίου ως συνάρτηση της διαμέτρου του.

Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου είναι MR2/2

Εδώ, M είναι η μάζα του δακτυλίου και R είναι η ακτίνα του δακτυλίου.

Σύμφωνα με το θεώρημα του κάθετου άξονα,

Iz =Ix + Iy

Καθώς είναι ένας ομοιόμορφος δακτύλιος, επομένως η διάμετρος είναι ίση.

Ως εκ τούτου,

Ix =Iy

Ως εκ τούτου, Iz =2Ix

Iz =MR2/2

Σαν αποτέλεσμα, η ροπή αδράνειας ενός δακτυλίου γύρω από τη διάμετρό του είναι MR2/2.

Συμπέρασμα:

Αυτό το άρθρο εξηγεί το θεώρημα του κάθετου άξονα. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Κάθετου Άξονα, η ροπή αδράνειας του επίπεδου αντικειμένου ως προς έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας δύο κάθετων αξόνων που διέρχονται από την ίδια θέση στο επίπεδο. Αυτό το θεώρημα εφαρμόζεται σε συμμετρικά αντικείμενα, δηλαδή πράγματα με δύο στους τρεις συμμετρικούς άξονες. Όταν είναι γνωστή η ροπή αδράνειας των άλλων δύο αξόνων, αυτό το θεώρημα χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας του τρίτου.