Ροπή αδράνειας ομοιόμορφων σωμάτων με απλά γεωμετρικά σχήματα
Η ροπή αδράνειας, συχνά γνωστή ως περιστροφική αδράνεια, είναι ένας ουσιαστικός όρος στη Φυσική. Είναι πραγματικά mr2 γύρω από ένα κεντρικό σημείο περιστροφής, επομένως η μονάδα είναι kgm2. Συμβολίζεται με το σύμβολο I. Περιγράφεται ως η αντίσταση που παρέχει ένα σώμα στην ταχύτητα περιστροφής ή στη γωνιακή του επιτάχυνση κατά μήκος ενός άξονα εφαρμόζοντας δύναμη στροφής, γνωστή και ως ροπή. Επειδή η ροπή αδράνειας ποικίλλει ανάλογα με το σχήμα και το μέγεθος του σώματος, υπολογίζεται ανεξάρτητα στις επόμενες ενότητες. Οι παράγωγοι είναι κρίσιμοι για τα αριθμητικά προβλήματα που βασίζονται σε αυτό το θέμα.
Ροπή αδράνειας
Ορισμός
Ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος, γνωστή και ως ροπή αδράνειας μάζας, γωνιακή μάζα, δεύτερη ροπή μάζας, ή, ακριβέστερα, περιστροφική αδράνεια, είναι ένα μέγεθος που καθορίζει τη ροπή που απαιτείται για μια επιθυμητή γωνιακή επιτάχυνση γύρω από έναν άξονα περιστροφής, παρόμοια με το πώς η μάζα καθορίζει τη δύναμη που απαιτείται για μια επιθυμητή επιτάχυνση. Καθορίζεται από την κατανομή μάζας του αμαξώματος και του επιλεγμένου άξονα, με υψηλότερες ροπές που απαιτούν περισσότερη ροπή για να τροποποιηθεί ο ρυθμός περιστροφής του αμαξώματος.
Η ροπή αδράνειας ενός αντικειμένου είναι μια υπολογισμένη μέτρηση για ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Ο άξονας μπορεί να είναι εσωτερικός ή εξωτερικός και μπορεί να είναι σταθερός ή όχι. Ωστόσο, η ροπή αδράνειας (I) δηλώνεται πάντα σε σχέση με αυτόν τον άξονα.
Η ροπή αδράνειας επηρεάζεται από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής. Το MOI αλλάζει με βάση την επιλεγμένη θέση άξονα. Δηλαδή, το ίδιο αντικείμενο μπορεί να έχει διαφορετικές τιμές ροπών αδράνειας ανάλογα με τη θέση και την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής.
Ροπή αδράνειας
Γενικά, η Ροπή Αδράνειας γράφεται ως I =m r2.
Όπου m =το άθροισμα των προϊόντων της μάζας
r =Απόσταση από τον άξονα περιστροφής.
Ολοκληρωμένη μορφή:I =∫ r2 dm
Η ροπή αδράνειας παίζει πολύ σημαντικό ρόλο καθώς η μάζα παίζει στη γραμμική κίνηση.
Είναι επίσης η μέτρηση της αντίστασης του σώματος, παρόμοια με μια αλλαγή στην περιστροφική κίνηση.
Η ροπή αδράνειας είναι σταθερή για ένα καθορισμένο άκαμπτο πλαίσιο και επίσης για τον άξονα περιστροφής.
Η ροπή αδράνειας, I =∑ mi ri2… (1)
Κινητική ενέργεια, K =½ I ω2……………. (2)
Παραδείγματα Ροπής Αδράνειας
Η ροπή αδράνειας του μορίου υδρογόνου ήταν ιστορικά σημαντική. Είναι απλό να υπολογιστεί:οι πυρήνες (πρωτόνια) περιέχουν το 99,95 τοις εκατό της μάζας, επομένως μια παραδοσιακή απεικόνιση δύο σημειακών μαζών που χωρίζονται από μια καθορισμένη απόσταση αποδίδει I=12ma2. Το πρόβλημα τον δέκατο ένατο αιώνα ήταν ότι η εξισορρόπηση της ενέργειας, η οποία παρείχε μια καλή εξήγηση για τις ειδικές θερμότητες σχεδόν όλων των αερίων, δεν λειτούργησε για το υδρογόνο—προφανώς, σε χαμηλές θερμοκρασίες, αυτά τα διατομικά μόρια δεν περιστρέφονταν, ενώ συνεχώς συγκρούονται μεταξύ τους. Το συμπέρασμα ήταν ότι η ροπή αδράνειας ήταν τόσο χαμηλή που χρειάστηκε πολλή ενέργεια για να αναφλεγεί η αρχική κβαντισμένη κατάσταση γωνιακής ορμής, L=. Αυτό δεν συνέβαινε με τα βαρύτερα διατομικά αέρια αφού η ενέργειά τους ήταν μεγαλύτερη. Για μόρια με μεγαλύτερες ροπές αδράνειας, η χαμηλότερη κατάσταση γωνιακής ορμής E=L2/2I=ℏ2/2I είναι χαμηλότερη.
Ροπή αδράνειας για διαφορετικά αντικείμενα
Η ροπή αδράνειας επηρεάζεται από τον άξονα περιστροφής. Ό,τι έχουμε ανακαλύψει μέχρι τώρα είναι η στιγμή αδράνειας αυτών των στοιχείων όταν ο άξονας διέρχεται από το κέντρο μάζας τους. Όταν επιλέγετε δύο μοναδικούς άξονες, θα δείτε ότι το στοιχείο αντιστέκεται στην περιστροφική αλλαγή με διάφορους τρόπους.
Ροπή αδράνειας σφαίρας
Η ροπή αδράνειας της σφαίρας συνήθως αναπαρίσταται ως;
I =(⅖)MR2
Το R και το M αντιπροσωπεύουν την ακτίνα και τη μάζα της σφαίρας, αντίστοιχα. Επιπλέον, η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της στην επιφάνεια παριστάνεται ως:
I =(7/5) MR2
Παραγωγή
Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας μιας ομοιογενούς στερεής σφαίρας ως προς οποιονδήποτε άξονα που διέρχεται από το κέντρο της.
I=1/2MR2
Τώρα,
dI=1/2r2 dm
Για εύρεση dm
dm=ρdV
Για dV
dV=πr2 dx
Αφού βάλετε την τιμή του dV σε dm
dm=ρπr2 dx
Τώρα αντικαταστήστε την τιμή του dm σε dI
dI=1/2ρπr4 dx
Πρέπει τώρα να εισαγάγουμε το x στην εξίσωση. Παρατηρήστε παραπάνω πώς τα x, r και R σχηματίζουν ένα τρίγωνο. Ως αποτέλεσμα του θεωρήματος του Πυθαγόρα.
r2=R2–x2
ή,
dI=1/2ρπ(R2–x2)dx2
Ως εκ τούτου,
I=1/2ρπR∫−R(R2–x2)dx2
Μετά την ενσωμάτωση,
I=1/2ρπ(16/15)R5
Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε την πυκνότητα της σφαίρας:
ρ=MV
ρ=M/(4/3πR3)
Μετά την αντικατάσταση της τιμής
I=2/5 MR2
Συμπέρασμα
Επειδή η ροπή αδράνειας ποικίλλει ανάλογα με το σχήμα και το μέγεθος του σώματος. Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος, γνωστή και ως ροπή αδράνειας μάζας, γωνιακή μάζα, δεύτερη ροπή μάζας ή, ακριβέστερα, περιστροφική αδράνεια, είναι μια ποσότητα που καθορίζει τη ροπή που απαιτείται για μια επιθυμητή γωνιακή επιτάχυνση γύρω από έναν άξονα περιστροφής. παρόμοια με το πώς η μάζα καθορίζει τη δύναμη που απαιτείται για μια επιθυμητή επιτάχυνση. Η ροπή αδράνειας επηρεάζεται από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής. Δηλαδή, το ίδιο αντικείμενο μπορεί να έχει διαφορετικές τιμές ροπών αδράνειας ανάλογα με τη θέση και την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής. Ο τύπος εκφράζεται ως I =m r2 όπου, m =Άθροισμα του γινομένου της μάζας, r =Απόσταση από τον άξονα της περιστροφής.
