Μέθοδοι Ενσωμάτωσης

Όλοι γνωρίζουμε ότι όταν οι αξίες είναι πολύ μικρές, είναι δύσκολο να λυθούν. Σε τέτοιες στιγμές η ενσωμάτωση μπαίνει στην εικόνα. Είναι η μέθοδος για να ενώσετε τα μικρά μέρη ή τις τιμές για να μάθετε την αξία του συνόλου. Στη φυσική, χρησιμοποιείται συνήθως για να ανακαλύψει τις περιοχές των οριοθετημένων περιοχών. Αυτό γίνεται με την εύρεση της συνάρτησης με το δεδομένο διαφορικό. Λοιπόν, ας μάθουμε περισσότερα σχετικά με την ενσωμάτωση σε αυτό το άρθρο και ας λάβουμε μια επισκόπηση των μεθόδων ενοποίησης και ορισμένοι από τους κανόνες ενσωμάτωσης.

Ορισμός της ενοποίησης

Η εύρεση συναρτήσεων των οποίων η παράγωγος δίνεται είναι γνωστή ως αντι-διαφοροποίηση ή ολοκλήρωση. Όταν δεν μπορούμε να εκτελέσουμε γενικές λειτουργίες πρόσθεσης, χρησιμοποιούμε την ενοποίηση για να χαρακτηρίσουμε τιμές σε μεγάλη κλίμακα.

Κανόνες για ενσωμάτωση:

Μια σταθερά περιλαμβάνεται πάντα στην έκφραση για το αόριστο ολοκλήρωμα, δηλ.,

Αν g′(x)=f(x), τότε∫f(x)dx=g(x)+Cifg′(x)=f(x), τότε∫f(x)dx=g(x)+C , αφού, η παράγωγος μιας σταθεράς είναι 0.

Το ολοκλήρωμα μιας παραγώγου επιστρέφει την ίδια συνάρτηση (με σταθερά):

∫f′(x)dx=f(x)+C∫f′(x)dx=f(x)+C

Αν κάνουμε την παραγωγή μιας εξίσωσης παίρνουμε την ίδια συνάρτηση:

ddx(∫f(x)dx)=f(x)

3. ∫{f(x)±g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx∫{f(x)±g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x )dx
4. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
∫f(x)dx=g(x)+C, ∫f(x)dx=g(x)+C, τότε

∫f(ax+b)dx=1/a*g(ax+b)+C

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Μέθοδος αντικατάστασης

Η ολοκλήρωση μπορεί να λυθεί με την εισαγωγή μιας νέας ανεξάρτητης μεταβλητής όταν είναι δύσκολο να αναζητηθεί η ενσωμάτωση μιας συνάρτησης. Αλλάζοντας την ανεξάρτητη μεταβλητή x σε t, σε μια δεδομένη μορφή ολοκληρωτικής συνάρτησης, ας πούμε (∫f(x)). (∫f(x)), μπορούμε να μετατρέψουμε το ολοκλήρωμα.

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή του ανεξάρτητου x =g(t) στην ολοκληρωτική συνάρτηση ∫f(x),

Παίρνουμε, dx / dt =g’(t)

Ή, dx =g’(t) • dt

Έτσι, από την παραπάνω αντικατάσταση παίρνουμε,

I=∫f(x).dx=f(g(t).g′(t)).dt

Μέθοδος ενσωμάτωσης εξαρτημάτων

Αυτός ο κανόνας ολοκλήρωσης χρησιμοποιείται για να αναζητήσει το ολοκλήρωμα δύο συναρτήσεων.

Σύμφωνα με τον κανόνα προϊόντος των παραγώγων, έχουμε

Έτσι, η εξίσωση (2) γίνεται

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx−∫[f′(x)∫g(x)dx]dx

Χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων –

Για να απλοποιηθεί οποιαδήποτε ολοκληρωτική συνάρτηση που αποτελείται από τριγωνομετρικές συναρτήσεις, χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικές ταυτότητες.

Ενοποίηση συγκεκριμένων συναρτήσεων

Η ενσωμάτωση διαφόρων συγκεκριμένων συναρτήσεων έχει ορισμένους σημαντικούς τύπους ολοκλήρωσης που θα εφαρμοστούν για να σχηματίσουν άλλη ενσωμάτωση στο ποιοτικό είδος ολοκλήρωσης. Η ενσωμάτωση αυτών των τυπικών ολοκληρωμάτων συχνά βρίσκεται εύκολα χρησιμοποιώντας ένα άμεσο είδος μεθόδων ολοκλήρωσης. Ακολουθούν οι 6 σημαντικοί τύποι που αναφέρονται παρακάτω –

∫ dx/ (x²– a²) =½ ένα αρχείο καταγραφής | (x – a) / (x + a) | + γ
∫ dx /√ (a² – x²) =sin–¹ (xa) + c
∫ dx /√ (x² + a²) =log | x + √(x² + a²) | + γ
∫ dx/ (a² – x²) =½ ένα ημερολόγιο | (a + x) / (a – x) | + γ
∫ dx /√ (x² – a²) =log| x+√(x² – a²) | + γ
∫ dx / (x² + a²) =1/a tan–1 (x/a) + c

Όπου, c =σταθερά

Χρήση μερικών παραγόντων

Ας μάθουμε την τιμή των A και B

Λαμβάνουμε 1=A(x+2)+B(x+1), όταν συγκρίνουμε την εξίσωση.

Από αυτό, παίρνουμε μια ομάδα δύο γραμμικών εξισώσεων.

A+B=0 και 2A+B =1

Αν λύσουμε την εξίσωση παίρνουμε A=1 και B=-1.

Παραδείγματα μεθόδων ενσωμάτωσης

Υπολογίστε ∫ cos2 x dx

Ενσωματώστε τη συνάρτηση f(x)=2x sin(x2+1) ως προς το x.

Λύση:

Έστω x2+1=z

Στη συνέχεια, 2x dx =dz

∫f(x)dx=∫2xsin(x2+1)dx

=∫sinz dz=−cosz+C

=−cos(x2+1)+C

∴∫2xsin(x2+1)dx =−cos(x2+1) + C

Συμπέρασμα

Έτσι, για να καταλήξουμε, υπάρχουν 5 μέθοδοι ολοκλήρωσης-

Η μέθοδος αντικατάστασης είναι όταν η ολοκλήρωση μπορεί να επιλυθεί με την εισαγωγή μιας νέας ανεξάρτητης μεταβλητής όταν είναι δύσκολο να αναζητηθεί η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης. Η μέθοδος ολοκλήρωσης εξαρτημάτων χρησιμοποιείται για να αναζητηθεί το ολοκλήρωμα δύο συναρτήσεων. Χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων για την απλοποίηση μιας ολοκληρωτικής συνάρτησης που αποτελείται από τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Οι συναρτήσεις μερικού κλάσματος, ειδικής ολοκλήρωσης έχουν μερικούς σημαντικούς τύπους ολοκλήρωσης που θα εφαρμοστούν για να σχηματίσουν άλλη ολοκλήρωση στο ολοκλήρωμα σε τυπική μορφή.

Χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με αντικατάσταση.