Όρια με χρήση ορισμένων ολοκληρωμάτων

Η εύρεση του ολοκληρώματος περιλαμβάνει το άθροισμα των περιοχών. Ομοίως, τα καθορισμένα ολοκληρώματα είναι χρήσιμα για τον υπολογισμό του εμβαδού εντός του σημείου έναρξης και των τελικών σημείων μεταξύ των οποίων καταλαμβάνεται η περιοχή. αυτό μπορούμε να πούμε ότι είναι τα όρια. Αν πάρουμε τα [a, b], ως οριακά σημεία για να βρούμε το εμβαδόν της καμπύλης f(x), που αφορά τον άξονα x, η έκφραση ορισμένων ολοκληρωμάτων γίνεται ∫baf(x)dx∫abf(x)dx. Ας δούμε αναλυτικά τα καθορισμένα ολοκληρώματα και τον τρόπο εύρεσης των ορίων χρησιμοποιώντας καθορισμένα ολοκληρώματα.

Ορισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων

Στο ένατο πρότυπο, χρησιμοποιούσαμε για να υπολογίσουμε την περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ της αρχής και του τελικού σημείου διαιρώντας την περιοχή των ορθογωνίων και στη συνέχεια αθροίζοντας τα. Με άλλα λόγια, προσθέταμε το εμβαδόν που χωρίζεται από εμάς σε έναν απεριόριστο αριθμό ορθογωνίων. Η ακρίβεια του εμβαδού ήταν ευθέως ανάλογη με τον αριθμό των ορθογωνίων. Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε καθορισμένα ολοκληρώματα ως την περιοχή μεταξύ των δύο ορίων στην καμπύλη.

Εύρεση του ορισμένου ολοκληρώματος

Για να βρούμε το οριστικό ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε έναν από τους δύο τύπους για οριστικά ολοκληρώματα, ως εξής:

Βασικό θεώρημα του λογισμού

∫abf (x)dx=F(b)−F(a), όπου F'(x) =f(x)

Ορισμένο ολοκλήρωμα ως οριακό άθροισμα το οποίο μπορεί επίσης να ονομαστεί όριο χρησιμοποιώντας καθορισμένα ολοκληρώματα

abf (x)dx=n∞ r=1nf(a+rh)/h

όπου h=b-an

Ορισμένα ολοκληρώματα με τον τύπο του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού

Το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού είναι η ευκολότερη μέθοδος υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων. Χρησιμοποιώντας το, πρέπει πρώτα να βρούμε το αντιπαράγωγο της f(x) (και να το αναπαραστήσουμε F(x)), να αντικαταστήσουμε πρώτα το ανώτερο όριο και, στη συνέχεια, μεμονωμένα χαμηλώνοντας τα όρια, πρέπει να αφαιρεθούν τα αποτελέσματα με τη σειρά.

Υπολογίζουμε τα οριστικά ολοκληρώματα Α ∫abf (x)dx χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού (FTC). Αυτός ο τύπος λέει ∫abf (x)dx=F(b)−F(a), όπου F'(x) =f(x)

Παράδειγμα:Λύστε ∫01 x2dx χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Σύμφωνα με τους κανόνες επίλυσης ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού,

Αρχικά, ας λύσουμε το ∫x2dx χρησιμοποιώντας τους ενσωματωμένους τύπους.

Αφού λύσουμε, παίρνουμε, ∫x2dx = x3/3 + C.

Τώρα, θα αντικαταστήσουμε το άνω και το κάτω όριο για να βρούμε τη διαφορά.

∫01 x2dx=(13/3 + C) – (03/3 + C) =1/3.

Το C είναι το σταθερό ολοκλήρωμα C που πάντα ακυρώνεται κατά την επίλυση του ορισμένου ολοκλήρωσης, οπότε μπορούμε να το αγνοήσουμε.

Ορισμένο ολοκλήρωμα ως τύπος οριακού αθροίσματος

Ορισμένα ολοκληρώματα χρησιμοποιούνται για την εύρεση του εμβαδού της καμπύλης, η οποία έχει δύο όρια. Το εμβαδόν μετριέται με τον υπολογισμό του εσωκλειόμενου αριθμού ορθογωνίων στα δύο όρια. Χρησιμοποιώντας αυτήν την έννοια, για την αξιολόγηση ορισμένων ολοκληρωμάτων ∫abf(x)dx, η περιοχή της καμπύλης χωρίζεται σε πολλά ορθογώνια διαιρώντας τα [a, b] σε άπειρο αριθμό υποδιαστημάτων. Έτσι, το οριστικό ολοκλήρωμα ως τύπος οριακού αθροίσματος είναι:

∫abf (x)dx=limn→∞ ∑r=1n1hf(a+rh)

Εδώ h=b−anh=b−an είναι το μήκος κάθε υποδιαστήματος.

Παράδειγμα: Θα αξιολογήσουμε 01x2dx χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο.

Συγκρίνοντας τα ολοκληρώματα με abf (x)dx, [a, b] =[0, 1] και f(x) =x2. Τότε h =(1 – 0)/n =1/n. Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο,

01x2dx=n∞ r=1nf(0+r/n) /n

=n∞ r=1n(r/n)2 /n

=n∞1/n3r=1nr2

= n∞1/n3⋅n(n+1)(2n+1)/6 (χρησιμοποιώντας τύπους άθροισης)

=n∞(1/n3)n3(1+1/n)(2+1/n)/6

= (1+0)(2+0)/6

=1/3

Κανόνες ορισμένων ολοκληρωμάτων

Για να υπολογίσουμε οριστικά ολοκληρώματα, πρέπει επίσης να γνωρίζουμε τους κανόνες του καθώς βοηθούν στον προσδιορισμό των ολοκληρωμάτων για τις ιδιότητες και στην εύρεση του ολοκληρωτικού αθροίσματος των συναρτήσεων, μιας συνάρτησης πολλαπλασιαζόμενης με μια σταθερά, και για άρτιες και περιττές συναρτήσεις. Οι ακόλουθοι κανόνες είναι χρήσιμοι για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος:

abf (x).dx=abf (t).dt
ab-f (x).dx=−abf (x).dx
abc f (x).dx=cabf (x).dx
abf (x)±g(x).dx=abf (x).dx±abg(x).dx
abf (x).dx=∫acf (x).dx+∫cbf (x).dx
abf (x).dx=abf (a+b−x).dx
0a f(x).dx=0a f (a−x).dx (Αυτός είναι ένας τύπος που προέρχεται από τον παραπάνω τύπο.)
02a f (x).dx=2 0af(x).dx αν f(2a – x) =f(x)
02a f (x).dx=0 εάν f(2a – x) =-f(x).
-aaf(x).dx=2 ∫0a f(x).dx, αν η f(x) είναι ζυγή συνάρτηση (δηλαδή, f(-x) =f(x)).
-aa f(x).dx=0, αν η f(x) είναι μια περιττή συνάρτηση (δηλαδή, f(-x) =-f(x)).

Συμπέρασμα

Έτσι, χρησιμοποιώντας καθορισμένα ολοκληρώματα, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν της καμπύλης κάτω από τα όρια. Από το παράδειγμα ενός ορίου που χρησιμοποιεί καθορισμένα ολοκληρώματα, κατανοούμε επίσης πώς να αξιολογήσουμε οριστικά ολοκληρώματα για να υπολογίσουμε τα όρια.