Αντίστροφη μήτρας με χρήση της πρόσθετης μήτρας

Ο πίνακας είναι ένας θεμελιώδης μαθηματικός όρος που χρησιμοποιείται κυρίως για την ανάλυση γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, η εξίσωση A =aij υποδεικνύει την ιη σειρά και το στοιχείο jης στήλης του πίνακα. Η κατανόηση του συνημμένου πίνακα και του αντιστρόφου είναι απλή όταν κατανοήσετε έναν πίνακα.

Οι πίνακες έχουν γραμμές και στήλες. Όταν περιγράφονται οι πίνακες με γενικούς όρους, η αναπαράσταση για τον αριθμό των γραμμών και στηλών εκφράζεται ως 'm x n' ή 'm' με το 'n', όπου το m υποδηλώνει τον αριθμό των γραμμών και το 'n' τον αριθμό των στηλών.

Η έννοια της πρόσθετης μήτρας

Είναι εύκολο να υπολογιστεί το αντίστροφο μιας μήτρας χρησιμοποιώντας την πρόσθετη μέθοδο, η οποία είναι μια από τις απλούστερες διαθέσιμες μεθόδους. Το πρόσθετο του πίνακα A =[aij]nxn είναι η μετάθεση του πίνακα [Aij]nxn, ενώ το Aij είναι ο συμπαράγοντας της τιμής aij. Το σύμβολο Adj A αντιπροσωπεύει τη συνένωση των πινάκων A.

Για να κατανοήσουμε το πρόσθετο ενός πίνακα, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε το νόημα μιας άλλης έννοιας, γνωστής ως μετάθεση του πίνακα και των συμπαραγόντων του. Η μετάθεση ενός πίνακα περιλαμβάνει την ανταλλαγή στοιχείων γραμμής με στοιχεία στήλης και στοιχείων στήλης με στοιχεία γραμμής. Αυτό μπορεί να αντιπροσωπεύεται από το AT.

Ένας συμπαράγοντας είναι ένας αριθμός που μπορεί να ληφθεί αφαιρώντας τη γραμμή και τη στήλη ενός καθορισμένου στοιχείου από έναν πίνακα, ο οποίος είναι απλώς ένα αριθμητικό πλέγμα.

Το αντίστροφο μιας μήτρας

Το αντίστροφο ενός πίνακα είναι ένας διαφορετικός πίνακας που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον δεδομένο πίνακα, δίνει την πολλαπλασιαστική ταυτότητα του πίνακα. Στην περίπτωση του πίνακα A, το αντίστροφο είναι A – 1 και το γινόμενο αυτών των δύο παραμέτρων είναι A.A -1 =A -1. A =I, στον οποίο το «I» είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ένας αντιστρέψιμος πίνακας έχει μια μη μηδενική ορίζουσα, και επίσης ότι, ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να προσδιοριστεί.

Αν λάβουμε υπόψη την κατάσταση των πραγματικών αριθμών, τότε το αντίστροφο του πραγματικού αριθμού "a" ήταν ο αριθμός a-1, έτσι ώστε το "a" πολλαπλασιαζόμενο επί a-1 να ισούται με 1. Καταλάβαμε ότι το αντίστροφο ενός πραγματικού αριθμού ήταν αντίστροφη όταν ο αριθμός δεν ήταν μηδέν.

Λόγω του παρονομαστή του τύπου, |A| πρέπει να υπάρχει για να υπάρχει μια μη μηδενική ορίζουσα.

Συγκεκριμένα, |Α| ≠ 0.

Ο πίνακας Α έχει τον ακόλουθο τύπο αντίστροφου πίνακα, ο οποίος γράφεται ως:

A-1 =adj(A)/|A|; |Α| ≠ 0.

Εδώ το A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας.

Αντίστροφοι πίνακες και οι ιδιότητές τους

Τα ακόλουθα είναι μερικά βασικά χαρακτηριστικά του αντίστροφου πίνακα:

• Αν υπάρχει αντίστροφος τετραγωνικού πίνακα, είναι ο μόνος που υπάρχει.
• Αν οι Α και Β είναι δύο αντιστρέψιμοι πίνακες ίδιας τάξης, τότε (AB) -1 =B -1 A -1.
• Όταν η ορίζουσα δεν είναι μηδέν, υπάρχει αντίστροφη του τετραγώνου πίνακα A, δηλ., |A| ≠ 0.
• Το αποτέλεσμα είναι μηδέν όταν τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης πολλαπλασιάζονται με τις τιμές συμπαράγοντα κάποιας άλλης γραμμής και στήλης.
• Το γινόμενο (πολλαπλασιασμός) δύο πινάκων έχει την ίδια ορίζουσα με το γινόμενο των οριζόντων δύο ανεξάρτητων πινάκων, |AB| =|A|.|B|

Μέθοδοι εύρεσης του αντιστρόφου ενός πίνακα μέσω της χρήσης του πρόσθετου πίνακα

Το αντίστροφο ενός πίνακα A είναι A-1 =(1/|A|) x Adj A.

Πριν κοιτάξουμε τον πίνακα, πρέπει να δούμε αν είναι μη ενικός και αντιστρέψιμος. Αυτό σημαίνει ότι |A| ≠ 0.

Τα παρακάτω βήματα θα δείξουν πώς να υπολογίσετε το αντίστροφο ενός πίνακα:

• Βήμα 1
  Προσδιορίστε τα δευτερεύοντα στοιχεία κάθε στοιχείου στον πίνακα Α στη διαδικασία.
• Βήμα 2
  Προσδιορίστε τους συμπαράγοντες όλων των στοιχείων και δημιουργήστε μια μήτρα συμπαράγοντα αντικαθιστώντας τα στοιχεία του Α με τους συμπαράγοντες τους στη μήτρα.
• Βήμα 3
  Μεταφέρετε τη μήτρα συμπαράγοντα του A για να προσδιορίσετε τα προβλήματα συνδεδεμένου πίνακα του (adj A).
• Βήμα 4
  Το αντίστροφο της ορίζουσας πολλαπλασιάζεται με το Adj A.

Μαθηματικά θεωρήματα σχετικά με τον πρόσθετο πίνακα έναντι του αντίστροφου πίνακα

• Θεώρημα 1:
  Αν το A είναι η nη τάξη ενός τετραγωνικού πίνακα, τότε ο A Adj(A) =Adj(A) A =|A|I και το 'I' είναι ο πίνακας ταυτότητας nης τάξης.
• Θεώρημα 2:
  Αν οι Α και Β είναι ταξινομημένοι μη μοναδικοί πίνακες, οι AB και BA είναι ομοίως ταξινομημένοι μη ενικοί πίνακες.
• Θεώρημα 3:

Τα Α και Β είναι γινόμενα δύο τετραγωνικών πινάκων με την ίδια ορίζουσα. Ως εκ τούτου |AB| =|Α||Β| είναι η ορίζουσα των δύο πίνακες που προκύπτουν με την ίδια σειρά με τους Α και Β, αντίστοιχα.

• Θεώρημα 4:
  Σε έναν τετράγωνο πίνακα, μόνο αν το Α είναι μη ενικός πίνακας, είναι αντιστρέψιμο.

Συμπέρασμα

Ο όρος matrix αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη ομάδα αντικειμένων οργανωμένων σε στήλες και σειρές. Αυτά τα αντικείμενα αναφέρονται ως στοιχεία μήτρας. Η σειρά ενός πίνακα εκφράζεται ως ο αριθμός των γραμμών πολλαπλασιασμένος με τον αριθμό των στηλών. Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί αποκλειστικά για τετράγωνους πίνακες με ίσες γραμμές και στήλες. Διαιρέστε το προσθετικό του καθορισμένου πίνακα με μια ορίζουσα του καθορισμένου πίνακα για να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα. Κατά τον προσδιορισμό του αντίστροφου πίνακα, είναι ζωτικής σημασίας να χρησιμοποιούνται μη μοναδικοί τετραγωνικοί πίνακες με καθοριστικές τιμές που δεν είναι ίσες με 0.

Ο προσδιορισμός του δευτερεύοντος και των συμπαραγόντων των παρεχόμενων στοιχείων μήτρας είναι μία από τις θεμελιώδεις προσεγγίσεις για την εύρεση της αντίστροφης μήτρας. Για παράδειγμα, το αντίστροφο του πίνακα Α μπορεί να προκύψει διαιρώντας τον πρόσθετο με την ορίζοντά του χρησιμοποιώντας τον τύπο του πρόσθετου πίνακα.