Ολοκλήρωση με μερικό κλάσμα
Γνωρίζουμε ότι η ενοποίηση είναι σημαντικό μέρος των υπολογισμών και γίνεται με διάφορες μεθόδους. Από όλες τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την ολοκλήρωση, η ολοκλήρωση με ένα μερικό κλάσμα είναι μία από τις μεθόδους. Σε αυτό, τα σύνθετα ορθολογικά κλάσματα μετατρέπονται σε μερικά κλάσματα, τα οποία είναι στην απλούστερη μορφή χρησιμοποιώντας τους τύπους για την αποσύνθεση λογικών κλασμάτων σε μερικό κλάσμα. Στη συνέχεια, πραγματοποιείται η ενσωμάτωση. Ας δούμε πώς δουλεύουμε με το μιγαδικό ορθολογικό κλάσμα για να πραγματοποιήσουμε την ολοκλήρωσή τους με μερικά κλάσματα.
Ορισμός μερικού κλάσματος
Αν οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση με τη μορφή κλασμάτων είναι σύνθετη, τότε χωρίζεται σε κλάσματα ή πιο απλά μέρη. Αυτά τα πιο απλά μέρη ονομάζονται μερικά κλάσματα. Για παράδειγμα, το 6/8 μπορεί να χωριστεί σε 1/4+1/2, με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να διαιρέσουμε το σύνθετο ορθολογικό κλάσμα στο απλούστερο κλάσμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε,
2/(x+1) – 1/x
με την προσθήκη, θα λάβουμε
2/(x+1) – 1/x =(x-1)/(x2+x).
Τώρα αν έχουμε
(x-1)/(x2+x)
έτσι μπορούμε να το αποσυνθέσουμε σε
(x-1)/(x2+x) =2/(x+1) – 1/x
Από τα παραπάνω, μπορούμε να δούμε ότι το μερικό κλάσμα μετατρέπεται σε απλό κλάσμα. Έτσι θα ήταν εύκολο να ενσωματωθεί αυτό το κλάσμα. Έτσι, η ολοκλήρωση με μερικά κλάσματα θα είναι,
∫[f(x)/g(x)]dx =∫[p(x)/q(x)]dx + ∫[r(x)/s(x)]dx
Όπου , f(x)/g(x) =p(x)/q(x) + r(x)/s(x) και
g(x) =q(x).s(x)
Κανόνες για την αποσύνθεση λογικών κλασμάτων σε Μερικά κλάσματα
Ακολουθούν οι τύποι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη διαίρεση του ορθολογικού κλάσματος σε μερικά κλάσματα, τα οποία είναι πιο εύκολο να ενσωματωθούν
Σε ποιες περιπτώσεις λειτουργεί το μερικό κλάσμα;
Στην περίπτωση του κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος, μπορούμε να κάνουμε απευθείας το μερικό κλάσμα. Στην περίπτωση του ακατάλληλου ρητού κλάσματος, πρέπει να το διαιρέσετε στο σωστό ορθολογικό κλάσμα (μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της μεθόδου πολυωνυμικής μακράς διαίρεσης).
Ενσωμάτωση με μερικό κλάσμα (Σημειώσεις).
Η ενσωμάτωση με ένα μερικό κλάσμα μπορεί να γίνει εύκολα εάν το καταλαβαίνετε. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα στη διαδικασία ολοκλήρωσης με ένα μερικό κλάσμα.
Ας πάρουμε, ∫[6/(x2-1)]dx
Με τον τύπο:x2-1 =(x+1)(x-1)
Χρησιμοποιώντας τον τύπο στην εξίσωση παίρνουμε:
∫[6/(x2-1)]dx =∫[6/(x+1)(x-1)]dx
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του μερικού κλάσματος για αυτό το είδος ορθολογικής μορφής, έχουμε:
6/(x+1)(x-1) =A/(x-1) + B/(x+1)
Τώρα, πρέπει να βρούμε την τιμή των Α και Β κάνοντας έναν κοινό παρονομαστή και στις δύο πλευρές.
6/(x+1)(x-1) =[A/(x-1)][(x+1)/(x+1)] + [B/(x+ 1)][(x-1)/(x-1)]
6/(x+1)(x-1)=[A(x+1) + B (x-1)]/(x-1)(x+1)
Έχουμε τους παρονομαστές ίσους με τους παρονομαστές και στις δύο πλευρές, επομένως οι αριθμητές θα είναι επίσης ίσοι.
6 =[A(x+1) + B (x-1)]
Με την επίλυση παίρνουμε,
A =3 και B =-3
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε
6/(x+1)(x-1) =3/(x-1) + (-3)/(x+1)
Τώρα, μπορούμε να γράψουμε:
∫[6/(x2-1)]dx =∫[3/(x-1) – 3/(x+1)]dx
Κατά την επίλυση, θα λάβουμε:
∫[6/(x2-1)]dx =−3ln(|x+1|)+3ln(|x−1|)+C
Συμβουλή για την επίλυση του Μερικού κλάσματος.
Αν έχετε ένα σωστό κλάσμα, τότε ξεκινήστε με αυτό, αλλά εάν έχετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να το διαιρέσετε στο να το κάνετε σωστό.
Το κάτω μέρος πρέπει να συνυπολογιστεί σε γραμμικούς παράγοντες.
Στη συνέχεια, γράψτε το μερικό κλάσμα για κάθε παράγοντα και γράψτε τον εκθέτη του.
Τώρα, ολόκληρη η εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το κάτω μέρος.
Αντικαταστήστε τα μηδενικά στο κάτω μέρος για να λύσετε τους συντελεστές.
Λυμένο παράδειγμα για την ολοκλήρωση με μερικό κλάσμα
Ε. ∫xx+23-2xdx
Λύση:Χρησιμοποιώντας τον τύπο των μερικών κλασμάτων,
Μπορούμε να πούμε ότι, I =∫xx+23-2xdx
Έτσι, παίρνουμε,
A (3 – 2x)+ B(x + 2) =x
Επίσης, λαμβάνουμε τα εξής,
3 – 2x=0
Τώρα ας βρούμε την τιμή του x ,
3 =2x
Ως εκ τούτου, x=32
Και A (0) +B (32+ 2) =32
Στον υπολογισμό παίρνουμε,
B (72) =32 όπου η τιμή του B =37
Όταν υπολογίσουμε περαιτέρω,
Τώρα, όταν πάρουμε x + 2 =0 όπου x =-2
A (7)+B(0) =-2
Τώρα, A =-27
λαμβάνουμε, ∫xx+23-2xdx=-27 × 1x+2 + 37 × 13-2x
Αυτό μπορεί να γραφτεί ως, ∫xx+23-2xdx =∫1x+2 dx + 37∫13-2xdx
Τώρα όταν ενσωματώνουμε σε σχέση με το x,
=-27 log |x + 2|+ 37 × 1-2log|3-2x| + Γ
Λοιπόν τώρα έχουμε,
=-27log |x + 2|+3-14 log|3 – 2x| + C
Έτσι παραπάνω είναι τα παραδείγματα μερικών κλασμάτων και οι λύσεις για ενοποίηση.
Συμπέρασμα
Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε από τα παραπάνω ότι όλα τα ρητά κλάσματα δεν είναι εύκολο να ενσωματωθούν. Ορισμένα λογικά κλάσματα πρέπει να μετατραπούν σε μερική μορφή χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους για να πραγματοποιηθεί η ολοκλήρωση. Τα ακατάλληλα ορθολογικά κλάσματα πρέπει να μετατραπούν στα κατάλληλα ρητά κλάσματα διαιρώντας τα για να πραγματοποιηθεί η περαιτέρω διαδικασία. Αντίθετα, στην περίπτωση των κατάλληλων ορθολογικών κλασμάτων, μπορείτε να τα μετατρέψετε σε μερικά κλάσματα και στη συνέχεια να πραγματοποιήσετε την ολοκλήρωση.
