Ομογενής Διαφορική Εξίσωση
Οι διαφορικές συναρτήσεις είναι εκείνες οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν την παράγωγο μιας συνάρτησης.
Μαθηματικά, ονομάζουμε διαφορική εξίσωση μια εξίσωση που περιλαμβάνει τις παραγώγους μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών και την ίδια την εξαρτημένη μεταβλητή. Οι διαφορικές εξισώσεις περιέχουν επίσης παραγώγους διαφόρων τάξεων και βαθμών.
Μπορούμε περαιτέρω να ταξινομήσουμε τη συνηθισμένη διαφορική εξίσωση σε δύο ως εξής:
- ομοιογενής διαφορική εξίσωση
- Μη ομογενής διαφορική εξίσωση
Ομογενής Διαφορική Εξίσωση
ομογενής είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης όπου μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις με τον ακόλουθο τρόπο:
f(x,y)dy =g(x,y)dx
Εδώ φαίνονται οι ομοιογενείς συναρτήσεις f και g, που έχουν τον ίδιο βαθμό x και y. Όταν το y =ux αντικαθίσταται, η εξίσωση που προκύπτει είναι η εξής:
dx/x =h(u) (du)
Μπορούμε εύκολα να λύσουμε αυτήν την εξίσωση ενσωματώνοντας τα δύο μέλη.
Είναι ομοιογενής μόνο εάν η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της σχηματίζουν ένα ομοιογενές σύνολο μεταβλητών σε μια διαφορική εξίσωση. Δεν υπάρχουν σταθεροί όροι σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις λόγω αυτού.
Όταν αφαιρούμε τον σταθερό όρο από μια ομοιογενή εξίσωση, μπορούμε να συμπεράνουμε τη λύση μιας γραμμικής συνηθισμένης διαφορικής εξίσωσης οποιασδήποτε τάξης με ολοκλήρωση.
Παραδείγματα ομογενών διαφορικών εξισώσεων
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων.
- dy/dx =(x + y)/(x – y)
- dy/dx =x(x – y)/y²
- dy/dx =(x² + y²)/xy
- dy/dx =(3x + y)/(x – y)
- dy/dx =(x³ + y³)/(xy² + yx²)
Λυμένα παραδείγματα ομογενών διαφορικών εξισώσεων
Παρέχουμε μερικά από τα εύκολα βήματα για την επίλυση ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων.
Εδώ είναι το δεδομένο dy/dx=Fx,y=p(x/y)
ΒΗΜΑ 1:
Για y, χρησιμοποιήστε y =vx στη δεδομένη εξίσωση
ΒΗΜΑ 2:
Διαφοροποιήστε το y =vx παίρνουμε dy/dx=v+x *dv/dx αντικαταστήστε την τιμή στην εξίσωση
Παίρνουμε v+x*dv/dx=p(v)
x*dv/dx=p)v)-v.
ΒΗΜΑ 3:
Αν διαχωρίσουμε τη μεταβλητή από την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε
dv/p(v)-v =dx/x
ΒΗΜΑ 4:
Ενσωματώστε και στις δύο πλευρές της εξίσωσης που παίρνουμε
∫dv/p(v)-v* dv =∫ dx/x + c
ΒΗΜΑ 5:
Μετά την ολοκλήρωση της ολοκλήρωσης, αντικαταστήστε το v=y/x
Μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις
Οι διαφορικές εξισώσεις που δεν είναι ομοιογενείς ονομάζονται μη-ομογενής διαφορική εξίσωση s.
Γραμμική μηομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Τα s αντιπροσωπεύονται από τον ακόλουθο συμβολισμό:
y”+p(t)y’+q(t)y=g(t)
Σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιείται μια μη μηδενική συνάρτηση g(t).
Η αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση είναι η εξής:
y”+ p(t)y’+q(t)y =0 σε αυτήν την περίπτωση που αναφέρεται και ως η συμπληρωματική εξίσωση.
Παραδείγματα μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα μηομογενούς διαφορικής εξίσωσης .
- d²y/dx² − 9 y =−6 cos 3 x ,
- d²y/dx² − 9 dy/dx =−6 cos 3 x.
- d³y/dx³ + 2 dy/dx + x =4 e – x.
- d²y/dx² – 2 dy/dx+ 5 y =10 xy − 3 x − 3.
- d4y/dx4 − 3 dy/dx =−12 x
Λυμένα παραδείγματα μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων
Είναι πολύ παρόμοια με αυτή μιας γραμμικής εξίσωσης και η σειρά της διαφορικής εξίσωσης δεν είναι πανομοιότυπη.
Για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση της μορφής (dy/dx) + py =q όπου p, q είναι η σταθερά ή η συνάρτηση του y.
Η γενική λύση είναι η εξής:
y * ( συντελεστές ολοκλήρωσης) =∫q * (συντελεστές ολοκλήρωσης).dx + c
όπου συντελεστές ολοκλήρωσης = e∫pdx
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα μη ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων
d5y /dx5 + x*d³y/dx³ + y² =7x + 5
Μπορούμε να δώσουμε τη γενική μορφή της μη ομογενούς εξίσωσης ως:
Y’’ + p(x)y’ + q(x) y =g(x)
Η γενική λύση είναι:
y(x)=c1y1 (x) + c2 y2 (x)+ yr(x)
Συμπέρασμα
Η εξίσωση που περιέχει διαφοροποίηση, σύνολο μεταβλητών και συναρτήσεις των (x, y) ονομάζεται ομοιογενής διαφορική εξίσωση.
Η ομογενής συνάρτηση στην ομογενή διαφορική εξίσωση είναι f (x, y), εάν
f (δx,δy) = f(x,y)
Όπου δ είναι μη μηδενική σταθερά
Η γενική μορφή της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι η παρακάτω
f(x,y).dy + g(x,y).dx =0
Η ομοιογενής διαφορική εξίσωση πρέπει να έχει την ίδια ισχύ για τις δεδομένες μεταβλητές (x, y).
