Πώς να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss;

Σύμφωνα με το νόμο του Gauss, η ροή ενός ηλεκτρικού πεδίου μέσω μιας κλειστής επιφάνειας ισούται με το φορτίο που περικλείεται διαιρούμενο με μια σταθερά. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η ροή θα είναι πάντα ίση με το φορτίο που περικλείεται, ανεξάρτητα από το σχήμα της κλειστής επιφάνειας. Αυτός ο νόμος χρησιμοποιείται για την εύρεση ηλεκτρικών πεδίων όταν δίνεται η κατανομή φορτίου. Αυτό το άρθρο σας λέει επίσης πώς να βρείτε ηλεκτρικά πεδία χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss.

Τι είναι ο νόμος του Gauss;

Στην ηλεκτρονική, ο νόμος του Gauss για τα ηλεκτρικά πεδία δηλώνει ότι η ηλεκτρική ροή σε κάθε κλειστή επιφάνεια είναι αντιστρόφως ανάλογη με το καθαρό ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια. Για παράδειγμα, ένα φορτίο μονάδας q τοποθετείται μέσα σε έναν κύβο της πλευράς α. Τώρα, σύμφωνα με τον νόμο του Gauss, η ροή μέσω κάθε επιφάνειας είναι 

ϕE =Q/ E0

Ο νόμος του Coulomb υπολογίζει το ηλεκτρικό πεδίο, αλλά η κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου μελετάται μέσω του νόμου του Gauss. Τυχόν φορτία που βρίσκονται έξω από την επιφάνεια δεν συμβάλλουν στη ροή του ηλεκτρισμού.

Εφαρμογές του νόμου του Gauss

Ο νόμος του Gauss μπορεί να λύσει πολύπλοκα ηλεκτροστατικά προβλήματα με μοναδικές συμμετρίες όπως κυλινδρική, σφαιρική ή επίπεδη συμμετρία. Ο νόμος του Gauss είναι επίσης χρήσιμος στον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου, που είναι μια περίπλοκη έννοια και απαιτεί δύσκολη ολοκλήρωση. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του Gauss για να αξιολογήσουμε το ηλεκτρικό πεδίο άμεσα.

Ηλεκτρικό πεδίο με χρήση του νόμου Gauss λόγω άπειρου σύρματος

Πρέπει να πάρετε ένα απείρως μακρύ καλώδιο με γραμμική πυκνότητα φορτίου. Χρησιμοποιούμε μια κυλινδρική επιφάνεια Gauss για να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο. Επειδή το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι ακτινικό, η ροή διαμέσου της επιφάνειας θα είναι μηδέν.

Η ροή είναι μηδέν επειδή το ηλεκτρικό πεδίο και το διάνυσμα της περιοχής είναι κάθετα μεταξύ τους. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι το μέγεθος του ηλεκτρικού πεδίου είναι σταθερό επειδή είναι κάθετο σε κάθε σημείο της καμπύλης επιφάνειας.

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κυρτού κυλίνδρου είναι 2πrl. Η ηλεκτρική ροή που διαρρέει μια καμπύλη είναι ίση με E× 2πrl.

Στη συνέχεια, σύμφωνα με το νόμο του Gauss,

ϕ =q ⁄ ε0

E × (2 π r l) =λ l ⁄ ε0

E =λ ⁄ 2 π ε0r

Ηλεκτρικό πεδίο με χρήση του νόμου Gauss λόγω άπειρου επιπέδου φύλλου

Πάρτε ένα άπειρο επίπεδο φύλλο με το εμβαδόν διατομής Α και την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Στη συνέχεια, η θέση του φύλλου είναι η εξής.

Ένα άπειρο φύλλο φορτίου παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο που είναι κάθετο στο επίπεδο του φύλλου. Λάβετε υπόψη μια κυλινδρική επιφάνεια Gauss με άξονα παράλληλο προς το επίπεδο του φύλλου. Το ηλεκτρικό πεδίο Ε υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss ως εξής:

ϕ =q ⁄ ε0

Σε μια συνεχή κατανομή φορτίου, το φορτίο q ισούται με την πυκνότητα φορτίου (σ) επί το εμβαδόν (Α). Όταν συζητάμε την καθαρή ηλεκτρική ροή, θα εξετάσουμε μόνο την ηλεκτρική ροή από τα δύο άκρα της πλασματικής επιφάνειας του Gauss. Η καμπύλη επιφάνεια και το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετα, με αποτέλεσμα μηδενική ηλεκτρική ροή. Ως αποτέλεσμα αυτού, η καθαρή ηλεκτρική ροή έχει ως εξής:

ϕ =E A − (− E A)

ϕ =2 E A

Λοιπόν,

2 E A =σ A ⁄ ε0

E =σ ⁄ 2 ε0

Ηλεκτρικό πεδίο με χρήση νόμου Gauss λόγω άπειρου κελύφους

Θεωρήστε ένα λεπτό σφαιρικό κέλυφος με ακτίνα «R» και επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Η σφαιρική συμμετρία χαρακτηρίζει το κέλυφος. Το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από το σφαιρικό κέλυφος μπορεί να προσδιοριστεί με δύο κύριους τρόπους:

• Έξω από το σφαιρικό κέλυφος
• Μέσα στο σφαιρικό κέλυφος

• Σκεφτείτε το πεδίο έξω από το σφαιρικό κέλυφος.

Για να λάβετε το ηλεκτρικό πεδίο, εντοπίστε ένα σημείο P έξω από το σφαιρικό κέλυφος σε ακτινική απόσταση από το κέντρο του σφαιρικού κελύφους. Χρησιμοποιούμε μια σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα r και κέντρο O λόγω συμμετρίας. Όλα τα σημεία της επιφάνειας απέχουν ίσα "r" από το κέντρο της σφαίρας, έτσι η επιφάνεια του Gauss θα μεταδοθεί μέσω του P και θα συναντήσει ένα σταθερό ηλεκτρικό πεδίο Ε γύρω-γύρω. Ως αποτέλεσμα, η συνολική ηλεκτρική ροή είναι η εξής:

ϕ =q ⁄ ε0 =E × 4 π r2

Το φορτίο στη σφαιρική επιφάνεια είναι q =σ × 4 π R2 

Στη συνέχεια, 

E × 4 π r2 =σ × 4 π R2 ⁄ ε0

E =σ R2 ⁄ ε0r2

Μπορείτε επίσης να γράψετε ένα ηλεκτρικό πεδίο ως φορτίο.

E =k q ⁄ r2

• Ηλεκτρικό πεδίο με χρήση του νόμου Gauss μέσα στο σφαιρικό κέλυφος

Ας εξετάσουμε ένα σημείο P μέσα στο σφαιρικό κέλυφος και ας δούμε πώς υπάρχει το ηλεκτρικό πεδίο. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συμμετρία για να δημιουργήσουμε μια σφαιρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα r που διέρχεται από το P, έχει κέντρο στο O και έχει ακτίνα P. Τώρα, σύμφωνα με το νόμο του Gauss,

ϕ =q ⁄ ε0 =E × 4 π r2

Επειδή η πυκνότητα του επιφανειακού φορτίου κατανέμεται έξω από την επιφάνεια, δεν περιέχεται φορτίο μέσα στο κέλυφος. Ως αποτέλεσμα, το ηλεκτρικό πεδίο που υπολογίζεται από τον παραπάνω τύπο είναι επίσης μηδέν, δηλ.

E =0 αφού q =0.

Συμπέρασμα 

Αυτό το άρθρο εξηγεί το ηλεκτρικό πεδίο χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss και το ηλεκτρικό πεδίο χρησιμοποιώντας παραδείγματα νόμου Gauss. Ο νόμος του Gauss ορίζει την ποσότητα της ροής μέσα σε έναν κλειστό χώρο λόγω ενός φορτισμένου σωματιδίου. Αυτός ο νόμος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ηλεκτρικών πεδίων σε πολλές επιφάνειες. Ο νόμος αυτός ισχύει για κάθε κλειστή επιφάνεια. Η μόνη προϋπόθεση για να είναι χρήσιμος ο νόμος του Gauss είναι ότι το κατανεμημένο φορτίο πρέπει να είναι συμμετρικό.