εξίσωση Helmholtz

Μια εξίσωση Helmholtz είναι μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση που πήρε το όνομά του από τον Hermann von Helmholtz. Πού είναι ο αριθμός κύματος, είναι το πλάτος και είναι η λαπλάσια. Οι εξισώσεις ιδιοτιμών περιλαμβάνουν επίσης την εξίσωση Helmholtz.

Εξίσωση Helmholtz

Η εξίσωση Helmholtz, η οποία χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και τη φυσική, πήρε το όνομά της από τον Hermann von Helmholtz. Η γραμμική μερική διαφορική εξίσωση είναι γνωστή ως εξίσωση Helmholtz. Μια ιδιοτιμή είναι η εξίσωση Helmholtz. Η διαφορική εξίσωση Helmholtz μπορεί να λυθεί εύκολα χρησιμοποιώντας μόνο 11 συστήματα συντεταγμένων και τον διαχωρισμό των μεταβλητών.

Η εξίσωση Helmholtz πήρε το όνομά της από τον Hermann von Helmholtz, έναν Γερμανό φυσικό και γιατρό του οποίου το πλήρες όνομα ήταν Hermann Ludwig Ferdinand Helmholtz. Όπου 2 είναι η λαπλάσια, είναι η ιδιοτιμή και A είναι η ιδιοσυνάρτηση, αυτή η εξίσωση σχετίζεται με τη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση. Η εξίσωση Helmholtz είναι το όνομα που δίνεται στο ζήτημα της ιδιοτιμής για τον τελεστή Laplace στα μαθηματικά. Είναι επίσης γνωστή ως εξίσωση ιδιοτιμής εξαιτίας αυτού.

Έχουμε τρεις λειτουργίες

Το σύμβολο 2 υποδηλώνει Λαπλασιανό.

k είναι το σύμβολο για τον κυματικό αριθμό.

Ποσότητα πλάτους

Στην περίπτωση των συνηθισμένων κυμάτων, το k υποδηλώνει την ιδιοτιμή, ενώ το A είναι η ιδιοσυνάρτηση, η οποία απλώς υποδηλώνει το πλάτος.

Η συνάρτηση εργασίας ενός κλειστού θερμοδυναμικού συστήματος με σταθερή θερμοκρασία και όγκο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την ελεύθερη ενέργεια του Helmholtz. Συνήθως συμβολίζεται με (f).

Ο τύπος ελεύθερης ενέργειας Helmholtz έχει ως εξής:

U – TS =F

Η ελεύθερη ενέργεια Helmholtz συμβολίζεται με F. Αναφέρεται επίσης ως A.

Το U είναι η εσωτερική ενέργεια του συστήματος. T είναι η απόλυτη θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Το S σημαίνει την εντροπία του δεδομένου συστήματος.

Υπάρχει ένας άλλος τύπος ελεύθερης ενέργειας γνωστός ως ελεύθερη ενέργεια Gibbs που είναι σε αντίθεση με αυτόν.

Η εξίσωση Helmholtz είναι μια μερική διαφορική εξίσωση με τον τύπο

2A+k2A=0

Ο τελεστής Laplace είναι 2, η ιδιοτιμή είναι k2 και η ιδιοσυνάρτηση είναι Α. Ο κυματικός αριθμός είναι k όταν η εξίσωση εφαρμόζεται στα κύματα. Η εξίσωση κύματος και η εξίσωση διάχυσης είναι δύο παραδείγματα εφαρμογών της εξίσωσης Helmholtz στη φυσική. Η σεισμολογία, η ακουστική και η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία είναι επίσης έννοιες επίλυσης προβλημάτων.

Εφαρμογές της εξίσωσης Helmholtz

Η σεισμολογία είναι η επιστημονική μελέτη των σεισμών και των ελαστικών κυμάτων που διαδίδονται. Τα τσουνάμι (λόγω περιβαλλοντικών επιπτώσεων) και οι ηφαιστειακές εκρήξεις είναι δύο ακόμη θέματα έρευνας (λόγω σεισμικής πηγής). Τα σωματικά κύματα, τα οποία περιλαμβάνουν κύματα P (πρωτεύοντα κύματα) και κύματα S (δευτερεύοντα ή διατμητικά κύματα), επιφανειακά κύματα και Τα κανονικά κύματα είναι οι τρεις τύποι σεισμικών κυμάτων.

Η εξίσωση Helmholtz έχει μερικές εφαρμογές:

Σεισμολογία   Είναι η επιστημονική μελέτη των σεισμών και των ελαστικών κυμάτων που παράγουν. Τα τσουνάμι που προκαλούνται από περιβαλλοντικούς παράγοντες και οι ηφαιστειακές εκρήξεις που προκαλούνται από σεισμικές πηγές είναι δύο από τους τομείς μελέτης της σεισμολογίας.

Υπάρχουν πολλά είδη σεισμικών κυμάτων

Τα κύματα P, τα οποία είναι θεμελιώδη κύματα, στο σώμα

Τα δευτερεύοντα ή διατμητικά κύματα είναι κύματα S.

Κανονικά κύματα και επιφανειακά κύματα

Κυματομηχανική: Σε ορισμένες περιπτώσεις, η εξίσωση Helmholtz προκύπτει από την εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις. Όταν προσπαθούμε να βρούμε μια λύση που διαχωρίζει τις μεταβλητές χώρου και χρόνου, παίρνουμε μια κλασική μορφή Helmholtz για το χωρικό μέρος. Αυτή η φόρμα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας συνηθισμένες προσεγγίσεις. Οι δονούμενες μεμβράνες, όπως τα τύμπανα και άλλα μουσικά όργανα, τα λέιζερ, τα ηχητικά κύματα που διαδίδονται και οι σεισμοί είναι όλα παραδείγματα για το πώς χρησιμοποιείται η εξίσωση Helmholtz.

Κβαντομηχανική: Σε ορισμένες περιπτώσεις, η εξίσωση Helmholtz προκύπτει από την εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις. Όταν προσπαθούμε να βρούμε μια λύση που διαχωρίζει τις μεταβλητές χώρου και χρόνου, παίρνουμε μια κλασική μορφή Helmholtz για το χωρικό μέρος. Αυτή η φόρμα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας συνηθισμένες προσεγγίσεις. Οι δονούμενες μεμβράνες, όπως τα τύμπανα και άλλα μουσικά όργανα, τα λέιζερ, τα ηχητικά κύματα που διαδίδονται και οι σεισμοί είναι όλα παραδείγματα για το πώς χρησιμοποιείται η εξίσωση Helmholtz.

Ηλεκτροστατικά: Η εξίσωση Laplace είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα αυτής της εξίσωσης στην ηλεκτροστατική. Η εξίσωση Laplace είναι η εξίσωση στην οποία η δεξιά πλευρά της εξίσωσης ισούται με μηδέν. Δοκιμάστε να μοντελοποιήσετε το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα μέρος με καθαρό μηδενικό φορτίο, για παράδειγμα. Οι φυσικοί χρησιμοποιούν πραγματικές οριακές συνθήκες για να λύσουν την εξίσωση απομονώνοντας μεταβλητές κατά τη διάρκεια της διαδικασίας.

Εξίσωση συνάρτησης Helmholtz

Η συνάρτηση Helmholtz είναι μια θερμοδυναμική συνάρτηση ενός συστήματος που ισούται με τη διαφορά μεταξύ της εσωτερικής ενέργειας και του γινόμενου της θερμοκρασίας και της εντροπίας του συστήματος.

2 A + k2 A =( 2 + k2) Εξίσωση Helmholtz 0 =A Παραγωγή της ελεύθερης ενέργειας Helmholtz Η εξίσωση F =U – TS είναι η συνάρτηση Helmholtz. Το U δηλώνει εσωτερική ενέργεια. Η θερμοκρασία (T)S σημαίνει εντροπία. Η αρχική συνάρτηση Helmholtz είναι Fi, ενώ η τελική συνάρτηση Helmholtz είναι Fr. Οι ακόλουθες εργασίες θα ολοκληρωθούν κατά τη διάρκεια της ισοθερμικής (σταθερής θερμοκρασίας) αναστρέψιμης διαδικασίας:

Κίνητρα και χρήσεις

Στη μελέτη φυσικών θεμάτων που αφορούν μερικές διαφορικές εξισώσεις (PDEs) τόσο στον χώρο όσο και στον χρόνο, η εξίσωση Helmholtz εμφανίζεται συχνά. Η εξίσωση Helmholtz, η οποία αντικατοπτρίζει την ανεξάρτητη από το χρόνο μορφή της αρχικής εξίσωσης, είναι το αποτέλεσμα της χρήσης της τεχνικής διαχωρισμού μεταβλητών για τη μείωση της πολυπλοκότητας της ανάλυσης.

Η εξίσωση του κύματος είναι η εξής:

(2/x2) =2 – 1/c2 (Κυματική εξίσωση) 

Λαμβάνουμε, αφού διαχωρίσουμε τις μεταβλητές, u(r, t) =0 (Εξ. 1)

A(r) T(t) =u(r, t) (Εξ.2)

Αντικατάσταση (2) με (1) τώρα:

T*d2 T/dt2 =2 A/A =1/c2 T*d2 T/dt2

Σε αυτή την εξίσωση, η έκφραση στο LHS καθορίζεται από το r, ενώ η έκφραση στο RHS προσδιορίζεται από το t. Οι εξισώσεις, ωστόσο, είναι αληθείς μόνο εάν και οι δύο πλευρές είναι ίσες με μια σταθερή τιμή.

Θα λάβουμε δύο εξισώσεις μετά την επίλυση γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων διαχωρίζοντας τις μεταβλητές – η μία για το A (r) και η άλλη για το T. (t).

2 A/A =– k 2 (Εξ. 3)

Μετά από κάποια αναδιάταξη, φτάνουμε στην εξίσωση Helmholtz, η οποία είναι η εξής:

2A+k2A =(2 + k2)A =0

Συμπέρασμα  

Μια εξίσωση Helmholtz είναι μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση που πήρε το όνομά του από τον Hermann von Helmholtz. Η εξίσωση Helmholtz, η οποία χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και τη φυσική, πήρε το όνομά της από τον Hermann von Helmholtz Η εξίσωση Helmholtz πήρε το όνομά της από τον Hermann von Helmholtz, έναν Γερμανό φυσικό και γιατρό του οποίου το πλήρες όνομα ήταν Hermann Ludwig Ferdinand Hel