Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια ενός σφαιρικού κελύφους

Όλοι το έχουμε βιώσει αυτό ενστικτωδώς όταν σηκώνεται ένα μεγάλο βάρος πάνω από το κεφάλι μας, νιώθουμε ότι είναι μια δυνητικά επικίνδυνη κατάσταση. Ωστόσο, δεδομένου ότι το βάρος μπορεί να ασφαλιστεί επαρκώς, δεν είναι απαραίτητα επικίνδυνο. Κάτι προκαλεί την αποτυχία της δύναμης που εμποδίζει το βάρος να πέσει λόγω της βαρύτητας. Για να χρησιμοποιήσουμε τους κατάλληλους όρους της φυσικής, μιλάμε για την ικανότητα βαρυτικού δυναμικού του  βάρους που μετατρέπεται σε ηλεκτρική ενέργεια.

Το σύμβολο που συχνά αποδίδεται στη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι το Ug. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια υποδηλώνει την ενέργεια που διαθέτει ένα αντικείμενο ως αποτέλεσμα της θέσης του σε μια δεδομένη συνάρτηση σε ένα βαρυτικό πεδίο.

Βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός σφαιρικού κελύφους

Θα μάθουμε μέσα από αυτή τη συζήτηση ότι ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα ισχύει για τεράστια πράγματα με σφαιρικές κατανομές μάζας.

Ας εξετάσουμε τα ακόλουθα σημεία:

• Μια σημειακή μάζα m έξω από ένα σφαιρικό κέλυφος σε απόσταση r από το κέντρο του κελύφους
• Η μάζα του σφαιρικού κελύφους είναι M
• Η ακτίνα του κελύφους είναι R
• Α είναι η περιοχή

Εδώ, βρίσκουμε τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του συστήματος του σφαιρικού κελύφους και τη σημειακή μάζα.

Ας πάρουμε ένα λεπτό σφαιρικό κέλυφος (στοιχείο δακτυλίου) μάζας dM και πάχους dl=R στο σφαιρικό κέλυφος. Κάθε σωματίδιο στον δακτύλιο βρίσκεται σε απόσταση l από τη σημειακή μάζα. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια του στοιχείου του δακτυλίου και της σημειακής μάζας είναι:

dU=−GmdM / l

Το εμβαδόν του στοιχείου κελύφους είναι dA=2πR2sinθdθdθ. Επίσης, πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή του στοιχείου κελύφους είναι η περιφέρεια 2πRsinθ επί του πάχους dl=Rd.

Ο λόγος της μάζας του στοιχείου κελύφους προς τη συνολική μάζα του κελύφους είναι τώρα ίσος με το εμβαδόν του στοιχείου κελύφους προς τη συνολική επιφάνεια του κελύφους, παράγοντας,

dM/ M=dA /A =2πR2sinθdθ / 4πR2

ή,

dM=1/2Msinθdθ

Αντικαθιστώντας το dM από την παραπάνω εξίσωση θα πάρουμε,

dU=−GmMsinθdθ / 2l

OA=Rcosθ και επομένως,

l=(r−Rcosθ)+(Rcosθ) ή l=r−2rRcosθ+R

ldl=rRsinθdθ

Ας αντικαταστήσουμε το l από την παραπάνω εξίσωση, θα πάρουμε,

dU=−GmMdl / 2rR

Η ενσωμάτωση του παραπάνω υπολογισμού αποδίδει τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του σφαιρικού συστήματος κελύφους και τη σημειακή μάζα.

r−R σε r+R

U=−GmM2rRr+R-rr+R−dl=−GmMr

Έτσι,  είναι σαφές ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια του συστήματος του σφαιρικού κελύφους και της σημειακής μάζας είναι σαν να συγκεντρώθηκε ολόκληρη η μάζα του σφαιρικού κελύφους στο κέντρο του κελύφους.

Δεδομένου ότι η δύναμη βαρύτητας εάν F =-du/dr, μπορείτε να λάβετε την έκφραση για τη δύναμη ως εξής:

F=GmM * dr−1/dr =−GmM r

Εάν η προαναφερθείσα σημειακή μάζα βρίσκεται μέσα στο σφαιρικό κέλυφος σε απόσταση r από το κέντρο, τα όρια ολοκλήρωσης κατά την ολοκλήρωση αλλάζουν από R−r σε R+r και η συνολική βαρυτική δυναμική ενέργεια του συστήματος γίνεται:

U=−GmM/2rRr +  _R-r −dl=−GmM / r

Αν υπάρχει R αντί για r, τότε η βαρυτική δυναμική ενέργεια όταν η σημειακή μάζα βρίσκεται μέσα στο κέλυφος είναι σταθερή και η δύναμη στη μάζα του σημείου είναι μηδέν.

Αυτό το τελικό αποτέλεσμα είναι πανομοιότυπο με αυτό που θα παίρναμε αν όλη η μάζα συγκεντρωνόταν στη μέση του κελύφους. Αυτό το αποτέλεσμα θα ισχύει για όλα τα κελύφη. Εφόσον μια σφαίρα αποτελείται από τέτοια κελύφη, θα πρέπει να ισχύει και για όλες τις σφαίρες. Το φαινόμενο συμβαίνει ακόμα κι αν τα διαφορετικά κελύφη έχουν διαφορετική πυκνότητα μάζας, δηλαδή αν η πυκνότητα είναι συνάρτηση της ακτίνας. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η βαρυτική πίεση που ασκεί ένας πλανήτης σε έναν άλλο πλανήτη είναι τέτοια ώστε η μάζα όλων των πλανητών να συγκεντρώνεται στο κέντρο.

Συμπέρασμα

Υπολογίσαμε το g χρησιμοποιώντας το χάσμα μεταξύ της μάζας m και της Γης ως την ακτίνα της Γης ενώ ερευνούσαμε τις βαρυτικές ανακαλύψεις του Νεύτωνα. Για να το θέσουμε διαφορετικά, σκεφτήκαμε ότι όλη η μάζα της Γης είναι επικεντρωμένη στον πυρήνα της. Αυτή η υπόθεση μπορεί να φαίνεται λογική όταν βρισκόμαστε μακριά από τη Γη (δηλαδή, όταν η ακτίνα της Γης είναι αμελητέα), αλλά δεν φαίνεται να είναι ακριβής ενώ στεκόμαστε στην επιφάνεια της Γης. Μπορούμε, ωστόσο, να δούμε ότι αυτή η υπόθεση ισχύει για οποιοδήποτε αντικείμενο έξω από το δάπεδο μιας βαρυτικής σφαίρας (για το οποίο η Γη είναι μια καλή προσέγγιση). Αυτό είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα. Είναι ένας συνδυασμός υπέρθεσης, του αντίστροφου ορθογώνιου νόμου και σφαιρικής συμμετρίας.