Βαρυτικό Δυναμικό Σημειακής Μάζας

Το βαρυτικό δυναμικό σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία είναι ίσο με το έργο ανά μονάδα μάζας που απαιτείται για τη μετακίνηση ενός αντικειμένου σε αυτήν τη θέση από μια σταθερή θέση. Σε αυτή την περίπτωση, η μάζα παίζει το ρόλο του φορτίου και το βαρυτικό δυναμικό είναι ανάλογο με το ηλεκτρικό δυναμικό. Η θέση όπου το δυναμικό είναι μηδέν βρίσκεται σε μεγάλη απόσταση από τη μάζα, με αποτέλεσμα ένα αρνητικό δυναμικό σε οποιαδήποτε πεπερασμένη απόσταση της μάζας.

Μαθηματικά, το βαρυτικό δυναμικό μιας σημειακής μάζας είναι επίσης γνωστό ως Νευτώνειο δυναμικό, το οποίο είναι θεμελιώδες στη μελέτη της θεωρίας του δυναμικού. Εκτός από άλλες χρήσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση των ηλεκτροστατικών και μαγνητοστατικών πεδίων, τα οποία δημιουργούνται από ομοιόμορφα φορτισμένα σώματα. Με άλλα λόγια, το βαρυτικό δυναμικό, που σημαίνει σε μια σημειακή μάζα, είναι η εργασία που γίνεται για να φέρει τη μονάδα μάζας από το άπειρο στο σημείο που εξετάζεται χωρίς επιτάχυνση.

Μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

VG =W/m 

Όπου, V =Διανυσματική ποσότητα είναι αυτή που έχει το μέγεθος και την κατεύθυνση σαφώς καθορισμένα

G =βαρυτικό δυναμικό

W =Βάρος

M =Μάζα

Το βαρυτικό δυναμικό μιας σημειακής μάζας είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Ένα διανυσματικό μέγεθος είναι αυτό που έχει το μέγεθος και την κατεύθυνση σαφώς καθορισμένα - που συμβολίζεται με V, τη μονάδα SI του βαρυτικού δυναμικού J kg-1. Επίσης, η μονάδα c.g.s είναι erg g-1.

Ο τύπος διαστάσεων του είναι 

[V] =[W]/[m] =[M1L2T-2]/[M1]

[M1L2T-2]/[M1] =[M0L2T-2]

Οι διαστάσεις του είναι =[M0L2T-2]

Έκφραση και παραγωγή του βαρυτικού δυναμικού

Εστω R η ακτίνα της γης, M η μάζα της γης και P το σημείο στην απόσταση r. Το r είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα του αντικειμένου (R). Ας είναι το κέντρο της γης Ο και η απόσταση από αυτό είναι y. Το Α είναι το σημείο στο y. Ας υποθέσουμε ότι μια μονάδα μάζας βρίσκεται στο Α. Έτσι βρίσκουμε τη μάζα που ενεργεί πάνω της –

F =GMm/x2 =GM(1)/x2 =GM/x2

Δεν θα ληφθεί υπόψη καμία επιτάχυνση στα επόμενα βήματα. Η μάζα Μ μετακινείται από τα σημεία Α στο Β σε μικρή απόσταση =dx. Σημειώστε ότι δεν έχει σημειωθεί επιτάχυνση. Η εργασία που έγινε εμφανίζεται ως

dW =F.dx =GM/x2.dx 

Η ενσωμάτωση πρέπει να χρησιμοποιείται στην έκφραση για να ληφθεί το συνολικό έργο.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει μοιάζει με αυτό:

W =-GM[1/R – 0]

Ως εκ τούτου, W =-GM/R

Αυτό το έργο που προκύπτει είναι το βαρυτικό δυναμικό στο σημείο που δίνεται από την έκφραση.

V =-GM/r

G σε αυτήν την εξίσωση είναι η σταθερά της βαρύτητας και το M σημαίνει τη μάζα. Το βαρυτικό δυναμικό είναι καθολικό και παραμένει το ίδιο ανεξάρτητα από τις αλλαγές που μπορεί να υποστεί το σώμα ή το μέσο.

Χαρακτηριστικά του βαρυτικού δυναμικού μιας σημειακής μάζας

• Το βαρυτικό δυναμικό μιας σημειακής μάζας είναι μέγιστο στο άπειρο.

• Καθώς η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν στο άπειρο, μπορούμε να πούμε ότι συνεχίζει να μειώνεται καθώς μετακινούμε τη δοκιμαστική μάζα πιο κοντά στο ελκτικό σώμα. Μπορεί λοιπόν να εξαχθεί ένα συμπέρασμα ότι το βαρυτικό δυναμικό μιας σημειακής μάζας είναι αρνητικό μέγεθος. Αυτό συμβαίνει επειδή κάνει το σώμα να μετακινείται από ένα υψηλότερο σε ένα χαμηλότερο δυναμικό.

• Αν είναι ισόποσα απλωμένο σε μια επιφάνεια, ή μπορούμε να πούμε ότι η τιμή του βαρυτικού δυναμικού είναι ίση και ίδια για όλα τα σημεία της επιφάνειας, η επιφάνεια ονομάζεται ισοδυναμική επιφάνεια.

• Μπορούμε να έχουμε κατά νου το παράδειγμα του ηλεκτρικού δυναμικού κατά τη μελέτη του βαρυτικού δυναμικού μιας σημειακής μάζας. Αυτό συμβαίνει επειδή, όπως ένα ηλεκτρικό δυναμικό που κινείται από ένα υψηλότερο σε ένα χαμηλότερο δυναμικό, το βαρυτικό δυναμικό μετακινείται από ένα υψηλότερο δυναμικό σε ένα χαμηλότερο δυναμικό.

• Είναι ένα βαθμωτό μέγεθος με τον τύπο διαστάσεων [M0L2T-2].

Εξαιρετικές περιπτώσεις

• Αν θεωρήσουμε ότι η μάζα των ομοιόμορφων στερεών σφαιρών στο κέντρο της ομοιόμορφης σφαίρας τους μαζί με άλλες ομοιόμορφες σφαίρες βρίσκεται στο κεντρικό δυναμικό στα εξωτερικά σημεία αυτών των σφαιρών μπορεί συνάγεται.

• Μαρτυρείται ότι το δυναμικό μέσα στη στερεά σφαίρα σε όλα τα σημεία παραμένει σταθερό. Το δυναμικό στο εσωτερικό είναι το ίδιο με το δυναμικό στην επιφάνεια της σφαίρας. Αν υποθέσουμε ότι η μάζα αυτής της σφαίρας είναι M και η ακτίνα είναι r, τότε το δυναμικό μέσα στη σφαίρα και σε οποιοδήποτε σημείο είναι ίσο με

V =-GM/r

Το βαρυτικό δυναμικό χρησιμοποιείται συχνά για τον υπολογισμό της μάζας. Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από τις πηγές. Μπορούμε στη συνέχεια να το εφαρμόσουμε σε οποιαδήποτε μάζα δοκιμής. Έτσι, μια άλλη εξίσωση για το βαρυτικό δυναμικό μιας μάζας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

 Φ(r)=−rGM

Η βαρύτητα είναι μια υπερδυνάμενη δύναμη. Μπορούμε να πούμε ότι η βαρυτική δύναμη ασκείται σε κάποια δοκιμαστική μάζα από μια συλλογή δοκιμαστικών μαζών. Η δύναμη είναι η συσσώρευση των δυνάμεων που ασκούν όλοι μεμονωμένα και μεμονωμένα.

Συμπέρασμα 

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια ενός αντικειμένου με μάζα και σε σχέση με το άλλο αντικείμενο με μη μηδενική μάζα. Εκτός από πολλά άλλα σημαντικά πράγματα, χρησιμοποιείται σε ρολόγια ισχύος. Στα ρολόγια ισχύος, τα βάρη που πέφτουν κινούν τον μηχανισμό. Χρησιμοποιείται και από τους ανελκυστήρες, τους ανελκυστήρες κ.λπ., με τον μηχανισμό των αντίβαρων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της ενέργειας που αποθηκεύεται στους πύργους νερού.