Παραδείγματα Αρμονικής Προόδου

Η αρμονική πρόοδος ή η αρμονική ακολουθία αποκτάται επιλέγοντας το αντίστροφο των όρων αριθμητικής προόδου. Αυτοί οι όροι υπάρχουν στην ακόλουθη μορφή. 1/a, 1/( a + d ), 1/( a + 2d ), 1/( a + 3d ), 1/( a + 4d ), 1/( a + 5d )…1/(a + ( ν – 1 )δ). Όπως ένα AP, δηλαδή η Αριθμητική Πρόοδος, ο ντος όρος μπορεί επίσης να υπολογιστεί. είναι το σύνολο των n όρων που ανήκουν στην αρμονική ακολουθία. Οι αρμονικές προόδους και οι έννοιες του αρμονικού μέσου όρου είναι ευρέως εφαρμόσιμες στα μαθηματικά, τις επιχειρήσεις, τη φυσική και διάφορους άλλους τομείς. Επιπλέον, έχει πολλούς τύπους και παραδείγματα.

Ορισμός

Η αρμονική πρόοδος μπορεί να γίνει με τη διαδικασία λήψης του αντίστροφου του AP, δηλαδή των όρων της αριθμητικής προόδου. Σε περίπτωση που, οι όροι του AP που παρέχονται είναι:a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d,… τότε οι όροι της αρμονικής ακολουθίας ή της αρμονικής προόδου θα είναι. 1/a, 1/( a + d ), 1/( a + 2d ), 1/( a + 3d ), 1/( a + 4d ), 1/( a + 5d ),… Εδώ, 'a' είναι ο αρχικός όρος και το 'd' γίνεται η κοινή διαφορά. Τόσο το "a" και το "d" περιέχουν μη μηδενικές τιμές. Συγκεκριμένα, η σειρά των αρμονικών προόδων έχει άπειρη φύση.

Πύργος της λιρέτας

Ο κεκλιμένος πύργος της λιρέτας είναι ένα τέλειο παράδειγμα αρμονικής εξέλιξης. Ένα σύμπλεγμα κύβων με πανομοιότυπες πλευρές τοποθετείται ο ένας πάνω στον άλλο για να πάρει όσο το δυνατόν μεγαλύτερη πλάγια απόσταση ή πλάγια απόσταση. Η τοποθέτηση των μπλοκ γίνεται σε αποστάσεις 1 κατεύθυνσης. 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/16,… ένας εναντίον ενός πάνω από τον άλλο. Επιπλέον, το κίνητρο της διάταξης στοίβαξης που δίνεται παραπάνω είναι να ληφθούν οι μέγιστες πλευρικές αποστάσεις, έτσι ώστε το κέντρο βάρους να διατηρείται καλά και η στοίβα να μην καταρρέει.

Τύπες αρμονικής προόδου

Ακολουθούν οι τύποι που είναι χρήσιμοι για διάφορους υπολογισμούς σχετικά με την αρμονική πρόοδο:

Νος όρος της Αρμονικής Προόδου

Λέγεται ότι είναι το αντίστροφο της nης περιόδου του AP. Ο nος όρος της αρμονικής προόδου είναι βασικά η συνολική αμοιβαία άθροιση που ανήκει στον πρώτο όρο, συμπεριλαμβανομένων των χρόνων «n – 1» του «d», δηλαδή της κοινής διαφοράς. Επιπλέον, ο ένατος όρος είναι χρήσιμος για την εύρεση οποιουδήποτε τύπου όρων που ανήκουν στην αρμονική πρόοδο.

Ο ντος όρος μιας αρμονικής προόδου ή αρμονικής ακολουθίας =1/(a + ( n – 1 )d)

Αρμονική μέση

Ενώ μιλάμε για αρμονική ακολουθία ή αρμονική πρόοδο, όποιος όρος θέλετε στη σειρά μπορεί να θεωρηθεί ως αρμονικός μέσος όρος του παρακείμενου όρου.

Αρμονικός μέσος όρος =n/[1/a + 1/( a + d ) + 1/( a + 2d ) +1/( a + 3d ) +…]

Ο αρμονικός μέσος όρος για 2 όρους "a" και "b" =(2ab)/( a + b )

Ο αρμονικός μέσος όρος για 3 όρους "a", "b" και "c" =(3abc)/( ab  +  bc  +  ca )

·   Συνολική άθροιση των n όρων που ανήκουν σε αρμονική ακολουθία ή πρόοδο =1d.log( 2a + ( 2n – 1 )d2a – d )1d.log( 2a + ( 2n – 1 ) d2a – d )

Σχέση σε AM, GM και HM

Εδώ, έχουμε τη σχέση μεταξύ AM, GM και HM σε σχέση με το παρεχόμενο σύνολο που ανήκει στον αριθμητικό μέσο όρο (AM), στον γεωμετρικό μέσο όρο (GM) και στον αρμονικό μέσο όρο (HM). Ο αριθμητικός μέσος όρος γίνεται ανώτερος, συνεχίζεται από τον γεωμετρικό μέσο και τον αρμονικό μέσο όρο. Εδώ, το "AM" είναι μεγαλύτερο από το "GM" και το "GM" είναι μεγαλύτερο από το "HM".

Το τετράγωνο του γεωμετρικού μέσου όρου είναι ισοδύναμο με το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αρμονικού μέσου όρου και του αριθμητικού μέσου όρου:

GM2 =HM x AM

Εφαρμογές αρμονικής ακολουθίας

Η αρμονική ακολουθία, μαζί με τον αρμονικό μέσο όρο, περιλαμβάνει διάφορες εφαρμογές σε διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών, της φυσικής, της μηχανικής και των επιχειρήσεων. Εδώ είναι μερικές από τις βασικές εφαρμογές που ανήκουν στη σειρά αρμονικών:

●  Η τυπική μέση ταχύτητα ενός μηχανοκίνητου οχήματος μεταξύ 2 σετ ισοδύναμων αποστάσεων μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια του αρμονικού μέσου όρου της συγκεκριμένης ταχύτητας. Σε περίπτωση που το όχημα έχει ταχύτητα 'x' μέτρα/ώρα για τα αρχικά 'd' μίλια και μετά είναι 'y' μέτρα/ώρα για τα επερχόμενα 'd' μίλια, τότε σε ολόκληρη την απόσταση, το όχημα θα έχει μια μέση ταχύτητα που θα είναι ισοδύναμη με τον αρμονικό μέσο όρο για τις 2 δεδομένες ταχύτητες. Έτσι, η μέση ταχύτητα εδώ θα είναι =( 2xy )/( x + y ).

●  Η συγκέντρωση του μείγματος μιας ουσίας ή η πυκνότητα του κράματος, η οποία περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες από δύο ουσίες με ίσο βάρος και ισοδύναμη αναλογία βάρους, μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια του αρμονικού μέσου όρου που ανήκει στο άτομο πυκνότητες συστατικού.

●  Η εστιακή απόσταση ενός φακού είναι ισοδύναμη σε σύγκριση με τον αρμονικό μέσο όρο που δίνεται για την απόσταση που ανήκει στο αντικείμενο «u» από τα μήκη και την απόσταση για τη δεδομένη εικόνα «v» από τον φακό. (1/f)=( 1/u + 1/v ).

●  Γεωμετρικά, η ακτίνα που ανήκει στον κύκλο του τριγώνου είναι ισοδύναμη με το 1/3 του αρμονικού μέσου όρου που ανήκει στα ύψη του τριγώνου.

●  Στον τομέα των οικονομικών, η αναλογία των κερδών κέρδους μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της έννοιας του σταθμισμένου-αρμονικού-μέσου για τα επιμέρους στοιχεία.

Συμπέρασμα

Οι σημειώσεις στα παραδείγματα αρμονικής προόδου καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η αρμονική πρόοδος ή η αρμονική ακολουθία γίνεται με τη διαδικασία λήψης των αντίστροφων μιας αριθμητικής προόδου. Επιπλέον, οι έννοιες της αρμονικής προόδου είναι ευρέως αποδεκτές σε τομείς όπως τα μαθηματικά, οι επιχειρήσεις, η φυσική και πολλά άλλα πεδία ταυτόχρονα. Επιπλέον, υπάρχουν πολλά παραδείγματα αρμονικής προόδου και τύποι που είναι χρήσιμοι σε όλα τα πεδία και τις περιοχές που αναφέρονται παραπάνω. Συγκεκριμένα, η σημασία των παραδειγμάτων αρμονικής προόδου υπάρχει επίσης σε αυτούς τους τομείς.