Ένταση βαρυτικού πεδίου λόγω δακτυλίου

Ένα βαρυτικό πεδίο μπορεί να οριστεί ως η επιρροή που ασκεί ένα τεράστιο σώμα στον χώρο που το περιβάλλει. Μπορεί επίσης να ονομαστεί η δύναμη που ασκεί ένα σώμα σε ένα άλλο βαρύ σώμα. Το βαρυτικό πεδίο υπολογίζεται σε νιούτον ανά κιλό (N/kg). Βοηθά επίσης στην εξήγηση των βαρυτικών φαινομένων. Η βαρύτητα και οι δυνάμεις της ανακαλύφθηκαν από τον Sir Isaac Newton. Στην επιφάνεια της Γης, το βαρυτικό πεδίο αλλάζει μέτρια. Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου λόγω ενός δακτυλίου.

Βαρυτικό πεδίο λόγω δακτυλίου

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να προσδιορίσετε το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο "P" που υπάρχει στον κεντρικό άξονα του δακτυλίου μάζας "M" και ακτίνας "a". Μπορούμε να υποθέσουμε ότι μια μικροσκοπική μάζα «dm» βρίσκεται στον κυκλικό δακτύλιο. Το βαρυτικό πεδίο οφείλεται σε αυτή τη στοιχειακή μάζα και είναι μαζί με το PA. Έτσι, το μέγεθός του μπορεί να εκφραστεί ως:

Το βαρυτικό πεδίο μπορεί να φανεί στο αξονικό σημείο "P".

dM =Gdm / PA² 

=Gdm / (a²+ b²) 

Μπορείτε να λύσετε αυτό το βαρυτικό πεδίο που βρίσκεται στην παράλληλη διεύθυνση και κάθετο στον άξονα στο επίπεδο του OAP.

Το καθαρό βαρυτικό πεδίο εδώ είναι αξονικό.

dEI =dE cos ∅

Εδώ, μπορείτε να παρατηρήσετε τρία πράγματα. Πρώτον, μπορείτε να παρατηρήσετε από το σχήμα ότι οι μετρήσεις του «y» και του «θ» είναι ίδιες για όλες τις μάζες. Επίσης, μπορείτε να υποθέσετε ότι έχουν ίσες στοιχειώδεις μάζες. Έτσι, μπορείτε να πείτε ότι το μέγεθος του βαρυτικού πεδίου λόγω y στοιχείων μάζας «dm» θα είναι το ίδιο. Εμφανίζεται επειδή βρίσκονται σε ίση απόσταση από το σημείο "P".

Δεύτερον, τα ζεύγη στοιχειακών μαζών βρίσκονται σε συμμετρικά αντίθετες πλευρές του δακτυλίου. Τα κάθετα τμήματα της έντασης του στοιχειακού πεδίου θα κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Αυτά τα κάθετα στοιχεία θα αθροιστούν τώρα στο μηδέν για ολόκληρο τον δακτύλιο όταν ολοκληρωθεί η ενσωμάτωση. Εάν η κατανομή μάζας στον δακτύλιο είναι ομοιόμορφη, μπορείτε να πείτε ότι η ισχύς μηδενικού πεδίου είναι κάθετη στην αξονική γραμμή. Η καθαρή βαρυτική ένταση για έναν ομοιόμορφο δακτύλιο μπορεί να υπολογιστεί επειδή η ολοκλήρωση γίνεται στις αξονικές συνιστώσες της έντασης του στοιχειακού πεδίου.

Έτσι η μαθηματική έκφραση μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: 

Τα στοιχεία που είναι κάθετα θα αλληλοεξουδετερωθούν.

E =∫ dE cos∅

E =∫ Gdm cos ∅ / (a ​​² + b²) 

Η τριγωνομετρική αναλογία "cosθ" θα είναι σταθερή σε οποιοδήποτε σημείο του δακτυλίου. Μπορείτε να αφαιρέσετε τον λόγο συνημιτόνου και άλλες σταθερές από το ολοκλήρωμα,

E =G cos∅/ (a² + b²) ∫ dm 

Τώρα ενσωματώνεται, m=0 έως m =M, 

E =G M cos∅/ (a² + b²)

Για τρίγωνο OAP, 

Cos∅ =r / (a² + b²)½

Αντικατάσταση του cos ∅ στη δεδομένη εξίσωση,

E =GMr / (a² + b² ) 3/2 

E =0 όταν r =0. Ως εκ τούτου, μπορεί να συναχθεί ότι το κέντρο του δακτυλίου δεν περιέχει βαρυτική δύναμη. Αυτό είναι επίσης αναμενόμενο αφού οι βαρυτικές δυνάμεις που παράγονται από δύο αντίθετες ίδιες στοιχειακές μάζες είναι ίσες, οι οποίες είναι αντίθετες και εξισορροπούν η μία την άλλη.

Μέγιστη θέση βαρυτικού πεδίου

Διαφοροποιώντας την έκφρασή του σχετικά με τη γραμμική απόσταση και εξισώνοντάς την με το μηδέν, μπορείτε να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή του βαρυτικού πεδίου.

dE /dr =0

Αυτό μας δίνει 

r =a /√ 2 

Αντικαθιστώντας το στη δεδομένη έκφραση του βαρυτικού πεδίου, η μέγιστη ένταση πεδίου λόγω ενός κυκλικού δακτυλίου είναι :

Emax =GMr /[2½ (a²+ a²/2)3/2 ]

=GMr / 3 √ 3a²

Ερώτηση:Προσδιορίστε την ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια της Γης, η οποία δίνεται ως Rg=6,38×106m;

Απάντηση:Η ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια της Γης μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: 

g ( r) =Gmg / r²

g ( RE ) =Gm g / ( RE )²

( 6,67 x 10-11 N. m² / kg²) ( 5,98 x 10²4 kg) / ( 6,38 x 10⁶ m)² 

( 6,67 x 10-11 N. m²/ kg²) (5,98 x10²4 kg) / 40. 7044 x 10¹² m² 

=0,9799 x 10-11+24-12 N/ kg

=0,9799 x 10¹ N/kg

=g (RE ) =0,9799 N/kg 

Επομένως, από την παραπάνω ερώτηση, μπορούμε να προσδιορίσουμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια της Γης, η οποία είναι περίπου 9.799. Είναι επίσης ισοδύναμη με μια επιτάχυνση που συμβαίνει λόγω της βαρύτητας της επιφάνειας της Γης στα 9,799 m/s².

Γιατί χρησιμοποιούμε τον τύπο του βαρυτικού πεδίου;

Ο υπολογισμός του βαρυτικού πεδίου έχει πολλές εφαρμογές στην αεροδιαστημική μηχανική. Ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την τοποθέτηση δορυφόρων στο διάστημα. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την αποστολή διαστημικών λεωφορείων στο διάστημα.

Συμπέρασμα

Ως εκ τούτου, μπορούμε να προσδιορίσουμε την ένταση του βαρυτικού πεδίου λόγω της βαρυτικής δύναμης ανά μονάδα μάζας που θα ασκηθεί σε μια μικρή μάζα δοκιμής σε αυτό το σημείο ορίζεται ως το πεδίο βαρύτητας. Το βαρυτικό πεδίο είναι ένα διανυσματικό μέγεθος και δείχνει προς την κατεύθυνση της δύναμης που θα αισθανόταν μια μικρή δοκιμαστική μάζα σε αυτό το σημείο. Σε αυτό το άρθρο, μάθαμε για την ένταση του βαρυτικού πεδίου λόγω του δακτυλίου και την ένταση του βαρυτικού πεδίου λόγω της σημασίας του δακτυλίου.