Ένταση βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους

Σκεφτείτε ένα λεπτό ομοιόμορφο σφαιρικό κέλυφος στο διάστημα με ακτίνα R και μάζα M. Ένα τρισδιάστατο αντικείμενο χωρίζει το χώρο σε τρία κομμάτια.

• Μέσα στο σφαιρικό κέλυφος.

• Στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους.

• Έξω από το σφαιρικό κέλυφος.

Στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους, θεωρήστε μια μονάδα δοκιμής μάζας σε ένα σημείο P στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους σε απόσταση r από το κέντρο και μετά r =R.

E =-GM/R2

⇒ E =Σταθερή

Βαρυτικό πεδίο

Το πεδίο δύναμης στο διάστημα που περιβάλλει οποιαδήποτε μάζα ή συνδυασμό μαζών είναι γνωστό ως πεδίο βαρύτητας. Το βαρυτικό πεδίο εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις και μετριέται σε Newton ανά κιλό (N/kg), μονάδα δύναμης ανά μάζα.

Η βαρυτική δύναμη μειώνεται με την αύξηση της απόστασης μεταξύ των αντικειμένων. Ένα βαρυτικό πεδίο είναι παρόμοιο με τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία.

Σύμφωνα με το Νόμο της Βαρύτητας του Νεύτωνα: 

Η βαρυτική δύναμη F μεταξύ δύο σημειακών μαζών, M και m, που χωρίζονται με απόσταση r, ενεργεί κατά μήκος της γραμμής που συνδέει τα κέντρα τους και είναι ανάλογη με τις μάζες και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο των διαχωρισμών τους.

F ∝ Mm/r²

Η σταθερά αναλογικότητας στο σύστημα μονάδων SI είναι G, η σταθερά βαρύτητας, η οποία έχει τιμή 6,67 x 10-11 Nm2kg2.

Ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα ξαναγράφεται ως εξής:

F =GMm/r²

Το βαρυτικό πεδίο είναι η βαρυτική δύναμη ανά μονάδα μάζας που θα ασκούσε μια μικρή μάζα σε αυτή τη θέση. Είναι ένα διανυσματικό πεδίο που δείχνει προς την κατεύθυνση της δύναμης που δέχεται η μάζα. Το μέγεθος της προκύπτουσας έντασης βαρυτικού πεδίου g, σε απόσταση r από το M, για ένα σημείο σωματιδίου μάζας M είναι

g =GM/r²

Η βαρυτική δύναμη που ασκείται σε μια μάζα m, συνήθως γνωστή ως βάρος της, είναι η εξής:

F =mg

Ένταση βαρυτικού πεδίου:

Η δύναμη σε μια μονάδα μάζας σε οποιοδήποτε σημείο του βαρυτικού πεδίου είναι η ένταση ή η ισχύς του βαρυτικού πεδίου του αντικειμένου. Έτσι, ας υποθέσουμε ότι μεταφέρουμε μια μονάδα δοκιμής μάζας από το άπειρο σε ένα βαρυτικό πεδίο. Σε αυτήν την περίπτωση, η βαρυτική δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτήν τη μονάδα δοκιμής μάζας λόγω μεγαλύτερης μάζας για την οποία παράγεται το βαρυτικό πεδίο είναι γνωστή ως ένταση βαρυτικού πεδίου.

Ένα βαρυτικό πεδίο αλληλεπιδρά μεταξύ της μάζας πηγής και της μάζας δοκιμής σε μια δύναμη χωρίς επαφή. Εάν η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m σε ένα σημείο του βαρυτικού πεδίου είναι F, τότε η ένταση του βαρυτικού πεδίου σε αυτό το σημείο είναι

g ή E =F/m

Όπου g =ένταση βαρυτικού πεδίου

F =βαρυτική δύναμη

M =μάζα αντικειμένου

Ένταση βαρυτικού πεδίου λόγω δακτυλίου:

Όταν επιλέγεται ένα στοιχείο μικρής μάζας dm ενός δακτυλίου με ακτίνα R, η ένταση του βαρυτικού πεδίου που οφείλεται σε dm σε οποιοδήποτε σημείο x δίνεται από

dI =G (dmr)/(R² + r²)

όπου r είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κατά μήκος της γραμμής που συνδέει το x και το dm. Το dI έχει δύο στοιχεία σε αυτήν την περίπτωση:κατά μήκος του άξονα x και στο επίπεδο YZ, τα οποία δίνονται από:

dIx =-G xdm/(R2+x2)3/2

dIx =-G Rdm/(R2+x2)3/2

Λόγω της συμμετρίας του δακτυλίου, μπορείτε να ανακαλύψετε ένα άλλο στοιχείο YZ με το ίδιο αλλά αντίθετο πρόσημο για κάθε στοιχείο YZ, με αποτέλεσμα καθαρό αντίκτυπο 0. Ας υποθέσουμε ότι η γωνία που σχηματίζεται από το στοιχείο YZ με το Ο άξονας y είναι θ. Επομένως, τα στοιχεία y και z θα είναι τα εξής:

dIy =dIyz cos(θ)

dIz =dIyz sin(θ)

dIyz είναι μια σταθερά λόγω της συμμετρίας του.

Ας υποθέσουμε ότι dIyz =A

(Για να μην μπερδεύεστε με το διαφορικό d.) Στις κατευθύνσεις y και z, η καθαρή ένταση βαρυτικού πεδίου θα είναι τώρα:

2π

IY=∫ Acos(θ) =0

                  0

2π

Iz=∫ Asin(θ) =0

                 0

Για να υπολογίσετε τη συνολική ένταση βαρυτικού πεδίου I, το μόνο που έχετε να κάνετε τώρα είναι να ενσωματώσετε το στοιχείο dIx από 0 έως m.

                    m

I =∫ -G xdm/(R2 + r2)3/2x =-Gm x/( R2 + r2)3/2x

                  0

Συμπέρασμα

Ένα σφαιρικό κέλυφος χωρίζει το χώρο σε τρία κομμάτια:μέσα στο σφαιρικό κέλυφος, στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους και έξω από το σφαιρικό κέλυφος. Η ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια του σφαιρικού κελύφους:r =R, 

E =-GM/R2 

⇒ E =Σταθερό.

Η δύναμη που ασκείται από μια μονάδα μάζας που ασκείται σε οποιαδήποτε θέση στο βαρυτικό πεδίο καθορίζει την ένταση ή την ισχύ του βαρυτικού πεδίου του αντικειμένου. Η βαρυτική δύναμη που εφαρμόζεται στη μοναδιαία δοκιμαστική μάζα λόγω μιας συγκρίσιμης μεγαλύτερης μάζας από την οποία παράγεται το βαρυτικό πεδίο είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου. Ένταση βαρυτικού πεδίου λόγω δακτυλίου 

I =m0∫ -G xdm/(R2 + r2)3/2x =-Gm x/(R2 + r2)3/2x.