Ο νόμος του μαγνητισμού του Gauss

Τι είναι ο Μαγνητισμός;

Είναι η ιδιότητα οποιουδήποτε αντικειμένου που μπορεί να προσελκύσει ένα κομμάτι σιδήρου ή χάλυβα, όπως οι φυσικοί μαγνήτες και οι τεχνητοί μαγνήτες.

Μαγνήτης ράβδου:Έχει δύο πόλους, τον βόρειο πόλο και τον νότιο πόλο. Οι γραμμές μαγνητικού πεδίου που παράγονται από τον μαγνήτη ράβδου δημιουργούν έναν κλειστό βρόχο.

Εάν ο μαγνήτης της ράβδου κοπεί σε δύο ίσα κομμάτια εγκάρσια, τότε δεν υπάρχει αλλαγή στην αντοχή του πόλου του μαγνήτη ράβδου. Αλλά αν κοπεί κατά μήκος σε δύο ίσα κομμάτια, η αντοχή του πόλου κάθε κομματιού γίνεται το ήμισυ της αρχικής τιμής.

Τι είναι ο νόμος του Gauss;

Ο νόμος του Gauss περιλαμβάνει δύο προτάσεις, οι οποίες περιγράφουν την ηλεκτρική και τη μαγνητική ροή. Ο νόμος του Gauss για τον μαγνητισμό δηλώνει ότι η μαγνητική ροή σε κάθε κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν. Αυτός ο νόμος παρατήρησε ότι απομονωμένοι μαγνητικοί πόλοι (μονόπολοι) δεν υπάρχουν.

Τι είναι τα Magnetostatics;

Είναι η μελέτη μαγνητικών πεδίων όπου το ρεύμα δεν αλλάζει με το χρόνο, δηλαδή είναι σταθερό. Το σταθερό ρεύμα παράγει το μαγνητικό πεδίο.

 dB =[(μ)(I) (dL) (x)(Ir)] /4πr2 

 Όπου dL =άπειρο μικρό μήκος αγωγού που μεταφέρει ηλεκτρικό ρεύμα.

 Ir =μοναδιαίο διάνυσμα για να καθορίσετε την κατεύθυνση της διανυσματικής απόστασης r από το ρεύμα προς το σημείο πεδίου.

Και αυτό είναι γνωστό ως νόμος του Biot-Savart.

Τι είναι ο νόμος του Biot-Savart;

Αυτός ο νόμος δηλώνει ότι το μαγνητικό πεδίο που οφείλεται στον αγωγό που μεταφέρει ρεύμα είναι ευθέως ανάλογο με α) το μέγεθος του ρεύματος. β) μήκος στοιχείου dL. γ) ημίτονο της γωνίας μεταξύ r και dL και αντιστρόφως ανάλογο προς το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ της πηγής και του σημείου πεδίου.

B =ഽdB =ഽμ⦁IdL sinθ/4πr2

Αυτός ο νόμος χρησιμοποιείται επίσης στην εξαγωγή του νόμου του Biot-Savart.

Μαγνητική ροή

Ορίζεται ως ο αριθμός των μαγνητικών γραμμών δύναμης που διέρχονται από οποιαδήποτε επιφάνεια.

  𝛟 =B.dS 

Ο νόμος του Gauss για τον μαγνητισμό δηλώνει ότι η καθαρή μαγνητική ροή που συνδέεται με οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια σε ένα μαγνητικό πεδίο είναι πάντα μηδέν. Η ολοκληρωτική εξίσωση για αυτό είναι,

∮B.dS =0           …….(1)

 Πού, 𝛟 =B.dS 

Ως εκ τούτου, 𝛟 =0

Οι γραμμές μαγνητικού πεδίου δημιουργούν πάντα κλειστούς βρόχους, επομένως ο αριθμός των γραμμών μαγνητικού πεδίου που εισέρχονται στην επιφάνεια θα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών μαγνητικού πεδίου που υπάρχουν για οποιαδήποτε δεδομένη επιφάνεια του Gauss. Αυτό εξηγείται από την έννοια του μαγνήτη με βόρειο και νότιο πόλο, όπου η ισχύς του βόρειου πόλου είναι ίση με τη δύναμη του βόρειου πόλου. Αυτός ο νόμος αντανακλά το γεγονός ότι δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα.

Ο νόμος του κυκλώματος του Ampere δηλώνει ότι η ολοκλήρωση γραμμής του μαγνητικού πεδίου κατά μήκος της κλειστής διαδρομής είναι μ⦁ φορές το ρεύμα που περνάει.

∮B.dl =μ⦁I 

Εδώ, υπάρχει κάποια αξία λόγω της ολοκλήρωσης γραμμής, αλλά στον νόμο του Gauss για τον μαγνητισμό, υπάρχει μια επιφανειακή ολοκλήρωση. Γι' αυτό είναι μηδέν.

Αυτό μας λέει επίσης για τη φύση των μαγνητικών πεδίων, ότι δεν έχουν σημείο έναρξης και τερματισμού.

Διαφορική εξίσωση

Ο νόμος του Gauss για τον μαγνητισμό έχει μια διαφορική εξίσωση που μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης. Το θεώρημα της απόκλισης δηλώνει:

∫(▽.f)dv=∮f.dS           …….(2)

Όπου f είναι διάνυσμα.

Τώρα, χρησιμοποιώντας την εξίσωση του θεωρήματος απόκλισης (1) που ξαναγράφεται ως εξής:

0=∮B.dS=∫(▽.B)dv

Επειδή η εξίσωση είναι μηδενική, το integrand(▽.B) πρέπει να είναι μηδέν. Έτσι η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss γίνεται:

▽.B=0

Παραγωγή με χρήση του νόμου του Biot-Savart:

Ο νόμος του Gauss μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας το νόμο του Biot-Savart.

Εδώ, ο νόμος του Biot-Savart μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

Φ(r) =[(μ) (∫J(r')dv (r)] / 4π|r-r'|2

όπου Φ(r) είναι η μαγνητική ροή σε οποιοδήποτε σημείο r.

J(r') είναι η πυκνότητα ρεύματος στο r'.

Τώρα, λαμβάνοντας την απόκλιση και των δύο πλευρών αυτής της εξίσωσης:

▽.Φ(r) =[(μ) ∫▽.J(r’)dv (r)]4π|r-r’|2

Για να μεταφέρουμε την απόκλιση του ολοκληρώματος σε αυτήν την εξίσωση, χρησιμοποιείται η ακόλουθη ταυτότητα διανυσμάτων:

▽.(A ✕ B) =B. (▽ ✕ A) – A.(▽ ✕ B)

Έτσι, το ολοκλήρωμα γίνεται:

[J(r').(▽ ✕ (r|r-r'|2))]-[(r|r-r'|2).(▽ ✕ J(r' ))]

Το πρώτο μέρος αυτής της εξίσωσης είναι μηδέν καθώς η μπούκλα του r|r-r'|2 είναι μηδέν. Και το δεύτερο μέρος αυτής της εξίσωσης γίνεται μηδέν επειδή το J εξαρτάται από το r’ και το ▽ μόνο από το r. Έτσι βλέπουμε ότι:

▽.Φ(r) =0

Ο οποίος είναι γνωστός ως νόμος του Gauss του μαγνητισμού σε διαφορική μορφή

Διαφορά μεταξύ του νόμου του Gauss στον ηλεκτροστατικό και του νόμου του Gauss στον μαγνητισμό

Ο νόμος του Gauss στην ηλεκτροστατική επεκτείνεται στον μαγνητισμό επειδή ο νόμος του Gauss στην ηλεκτροστατική δηλώνει ότι η ηλεκτρική ροή που βγαίνει από την κοντινή επιφάνεια είναι 1/𝜖͒ φορές το φορτίο(q) μέσα στην κλειστή επιφάνεια, δηλαδή :

   𝛟 =∮E.dS =q/𝜖͒

Αλλά στον μαγνητισμό, ο νόμος του Gauss είναι πάντα μηδέν επειδή δεν μπορούμε να απομονώσουμε τον Βόρειο και τον Νότιο πόλο.

Συμπέρασμα

Μάθαμε για τη βασική και κύρια έννοια του νόμου του Gauss για τον μαγνητισμό, ο οποίος δηλώνει ότι η καθαρή μαγνητική ροή που συνδέεται με οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια στο μαγνητικό πεδίο είναι πάντα μηδέν. Ο μαγνητισμός είναι μια ιδιότητα οποιουδήποτε αντικειμένου που μπορεί να προσελκύσει ένα κομμάτι σιδήρου και χάλυβα και να δημιουργήσει γραμμές μαγνητικού πεδίου.