Γκαουσιανή επιφάνεια

Μια επιφάνεια Gauss (επίσης συντομογραφία G.S.) είναι μια τρισδιάστατη κλειστή επιφάνεια που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ροής ενός διανυσματικού πεδίου, συνήθως του βαρυτικού πεδίου, του ηλεκτρικού πεδίου ή του μαγνητικού πεδίου. Είναι μια αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια S =V (το όριο μιας τρισδιάστατης περιοχής V) που χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το νόμο του Gauss για το αντίστοιχο πεδίο (νόμος Gauss, νόμος Gauss για το μαγνητισμό ή νόμος Gauss για τη βαρύτητα) συνολικό ποσό της ποσότητας πηγής που περικλείεται· π.χ., ποσότητα βαρυτικής μάζας ως πηγή του βαρυτικού πεδίου ή ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου ως πηγή του ηλεκτροστατικού πεδίου.

Τι είναι η γκαουσιανή επιφάνεια;

Η επιφάνεια Gauss είναι μια αυθαίρετα κλειστή επιφάνεια σε τρισδιάστατο χώρο που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ροής των διανυσματικών πεδίων. Ένα μαγνητικό πεδίο, βαρυτικό πεδίο ή ηλεκτρικό πεδίο θα μπορούσε να αναφέρεται ως το διανυσματικό τους πεδίο. Στα παρακάτω παραδείγματα, ένα ηλεκτρικό πεδίο αντιμετωπίζεται συνήθως ως διανυσματικό πεδίο. Η επιφάνεια του Gauss υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss.

∮E⋅ⅆA=∮E⋅nⅆA

=∮ErrnⅆA

=∮ErdA

=Er∮dA

=Er4Πr2

Η επιφάνεια Gauss υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Το ηλεκτρικό φορτίο που περιορίζεται σε V αναφέρεται ως Q(V).

Ας ρίξουμε μια ματιά στον νόμο του Gauss. Το Gauss είναι μια μονάδα μαγνητικής επαγωγής που ισοδυναμεί με το ένα δέκατο του Τέσλα σε πραγματικούς όρους. Ο νόμος του Γκάους είναι επίσης γνωστός ως θεώρημα ροής του Γκάους στη φυσική. Αυτός ο νόμος αφορά τη διασπορά ηλεκτρικών φορέων ή φορτίων που εισέρχονται σε ένα ηλεκτρικό πεδίο. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η εξεταζόμενη επιφάνεια μπορεί να κλείσει, περιορίζοντας τον όγκο, όπως μια σφαιρική ή κυλινδρική επιφάνεια. Ο συνδυασμός του θεωρήματος της απόκλισης και του θεωρήματος του Κουλόμπ είναι γνωστός ως Νόμος του Γκάους.

Το ηλεκτρικό πεδίο εξετάζεται σε αυτό το άρθρο για λόγους σαφήνειας, καθώς είναι το πιο κοινό είδος πεδίου για το οποίο χρησιμοποιείται η ιδέα της επιφάνειας.

Οι επιφάνειες Gauss συνήθως επιλέγονται με προσοχή για να εκμεταλλευτούν τη συμμετρία μιας κατάστασης προκειμένου να γίνει ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος της επιφάνειας. Εάν η Γκαουσιανή επιφάνεια επιλεγεί έτσι ώστε η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του κανονικού διανύσματος να είναι σταθερή για κάθε σημείο της επιφάνειας, ο υπολογισμός δεν θα χρειαστεί δύσκολη ολοκλήρωση αφού οι σταθερές που εμφανίζονται μπορούν να αφαιρεθούν από το ολοκλήρωμα. Ορίζεται ως μια τρισδιάστατη κλειστή επιφάνεια στην οποία μπορεί να προσδιοριστεί η ροή ενός διανυσματικού πεδίου.

Ας κάνουμε τώρα μια βαθιά βουτιά στον προσδιορισμό της Γκαουσιανής επιφάνειας διαφόρων κλειστών επιφανειών, όπως οι σφαίρες και οι κύλινδροι.

Η Γκαουσιανή επιφάνεια μιας σφαίρας

Όταν δημιουργείται ροή ή ηλεκτρικό πεδίο στην επιφάνεια μιας σφαιρικής επιφάνειας Gauss για διάφορους λόγους –

ένα μόνο σημείο επαφής

Σε σφαιρικό κέλυφος, ομοιόμορφη κατανομή

Κατανομή φορτίου με σφαιρική αναλογία ή συμμετρία

Θεωρήστε μια σφαίρα με ακτίνα R και φορτίο Q που είναι ίσα κατανεμημένα. Ο νόμος του Gauss θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση 'r'.

∮E.dA=qenc0

Er4πr2=Q0

Er=14π0Qr2

Η Γκαουσιανή επιφάνεια του κυλίνδρου

Μια κλειστή κυλινδρική επιφάνεια χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του διανυσματικού πεδίου ή ροής που δημιουργείται από τις ακόλουθες παραμέτρους:

• Στην ομοιόμορφη άπειρη μεγάλη γραμμή, υπάρχει ομοιόμορφη χρέωση.
• Ομοιομορφία φόρτισης σε μια άπειρη πλάκα • Ομοιομορφία φόρτισης σε έναν ατελείωτα μακρύ κύλινδρο

Θεωρήστε ένα σημειακό φορτίο P σε απόσταση r που περιέχει την πυκνότητα φορτίου ενός άπειρου ευθύγραμμου φορτίου. Το φορτίο γραμμής είναι ο άξονας περιστροφής για τον κύλινδρο μήκους "h" και το φορτίο q υπάρχει μέσα στον κύλινδρο.

q=λh

Μετά από αυτό, σε τρεις διαφορετικές επιφάνειες a, b και c, η ροή έξω από την κυλινδρική επιφάνεια με τη διαφορική διανυσματική περιοχή dA δίνεται ως:

∅=E2πrL=λL0

Για r≥R

E=2π0r

Τι είναι το Gaussian Pillbox;

Αυτή η επιφάνεια χρησιμοποιείται συχνά για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου που προκύπτει από ένα άπειρο φύλλο φορτίου με ομοιόμορφη πυκνότητα φορτίου ή από μια πλάκα φορτίου με πεπερασμένο πάχος. Σκεφτείτε ένα κουτί με τρία εξαρτήματα:έναν δίσκο με εμβαδόν Α στο ένα άκρο, έναν δίσκο με ίση επιφάνεια στο άλλο άκρο και την πλευρά του κυλίνδρου. Η προσθήκη ηλεκτρικής ροής μέσω της προαναφερθείσας συνιστώσας της επιφάνειας είναι ανάλογη με την εσώκλειστη φόρτιση του κιβωτίου χαπιών, σύμφωνα με το νόμο Gauss. Το πεδίο κοντά στο φύλλο μπορεί να εκτιμηθεί σταθερό. το κουτί χαπιών έχει γωνία έτσι ώστε οι γραμμές του πεδίου να τρυπούν τους δίσκους στα άκρα του χωραφιού σε ευθεία γωνία.

Συμπέρασμα

Οι επιφάνειες Gauss συνήθως επιλέγονται με προσοχή για να εκμεταλλευτούν τη συμμετρία μιας κατάστασης προκειμένου να γίνει ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος της επιφάνειας. Εάν η Γκαουσιανή επιφάνεια επιλεγεί έτσι ώστε η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του κανονικού διανύσματος να είναι σταθερή για κάθε σημείο της επιφάνειας, ο υπολογισμός δεν θα χρειαστεί δύσκολη ολοκλήρωση αφού οι σταθερές που εμφανίζονται μπορούν να αφαιρεθούν από το ολοκλήρωμα. Ορίζεται ως μια τρισδιάστατη κλειστή επιφάνεια στην οποία μπορεί να προσδιοριστεί η ροή ενός διανυσματικού πεδίου.