Επιφάνεια Gaussian για διαφορετικές περιπτώσεις

Η επιστήμη είναι ένα συναρπαστικό θέμα που είναι γεμάτο εκπληκτικά γεγονότα και πράγματα. Όσο περισσότερο εμβαθύνουμε στις έννοιες της επιστήμης και των αλληλένδετων θεμάτων της, τόσο περισσότερες γνώσεις και πληροφορίες κερδίζουμε. Ο νόμος του Gauss μας λέει για το ηλεκτρικό φορτίο, την επιφάνεια Gauss για διαφορετικές περιπτώσεις και την έννοια της ηλεκτρικής ροής. Ας μάθουμε περισσότερα για αυτόν τον νόμο και πώς λειτουργεί και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την επιφάνεια του Gauss για διαφορετικές περιπτώσεις. Σε αυτό το άρθρο, θα διαβάσουμε για επιφάνειες Gauss για διαφορετικές περιπτώσεις.

Νόμος του Gauss

Ο νόμος του Gauss μας λέει ότι κάθε κλειστό αντικείμενο έχει ηλεκτρικό φορτίο ανάλογο με την καθαρή ροή ενός ηλεκτρικού πεδίου αυτής της κλειστής επιφάνειας. Είναι ένας από τους ηλεκτρομαγνητικούς νόμους του Maxwell - και μέρος τεσσάρων εξισώσεων. Ο Carl Friedrich Gauss πρότεινε για πρώτη φορά αυτόν τον νόμο το 1835. Αυτός ο νόμος συνδέει τα ηλεκτρικά πεδία σε σημεία σε μια κλειστή επιφάνεια με το καθαρό φορτίο που περιβάλλεται από αυτήν την επιφάνεια. Στη συνέχεια, η ηλεκτρική ροή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το ηλεκτρικό πεδίο που διαρρέει μια συγκεκριμένη περιοχή με την επιφάνεια σε ένα επίπεδο κάθετο στο πεδίο.

Ή μπορούμε να πούμε ότι ο νόμος του Gauss δηλώνει ότι η καθαρή ροή ενός ηλεκτρικού πεδίου σε μια επιφάνεια διαιρείται με το εσωκλειόμενο φορτίο, το οποίο πρέπει πάντα να είναι ίσο με μια σταθερά.

Ένα θετικό ηλεκτρικό φορτίο παράγει θετικό ηλεκτρικό πεδίο σε πολλές περιπτώσεις. Ο νόμος δημοσιεύτηκε το 1867 ως μέρος μιας συλλογής ερευνητικών εργασιών από τον Carl Friedrich Gauss, έναν αξιόλογο Γερμανό μαθηματικό.

Η Μαθηματική Εξίσωση για τον Νόμο του Γκάους: 

Ο νόμος του Gauss μπορεί να μελετηθεί μέσω της ολοκληρωτικής εξίσωσης: 

∫E⋅dA=Q/ε0               …..(1)   

Εδώ: 

• E είναι το διάνυσμα ηλεκτρικού πεδίου.

• Το Q είναι για κλειστό ηλεκτρικό φορτίο.

• ε0 είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα στον ελεύθερο χώρο.

• Το A μας λέει για διανύσματα κανονικής περιοχής που δείχνουν προς τα έξω.

Εδώ η ροή μπορεί να μετρηθεί από την ισχύ ενός πεδίου που διέρχεται από μια επιφάνεια.

Η ηλεκτρική ροή μπορεί να οριστεί ως εξής: 

Φ=∫E⋅dA                     ….(2)

Το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως πυκνότητα ροής. Ο νόμος του Gauss ορίζεται ως ότι εκτός εάν ο όγκος που περικλείεται από μια κλειστή επιφάνεια έχει καθαρό φορτίο, το καθαρό ηλεκτρικό ρεύμα που ρέει μέσω αυτής της επιφάνειας θα λαμβάνεται ως μηδέν.

Ο απλούστερος τρόπος για να κατανοήσουμε τον νόμο του Gauss για τα ηλεκτρικά πεδία είναι να παραβλέψουμε την ηλεκτρική μετατόπιση (d). Υπάρχουν πολλά παραδείγματα όπου η διηλεκτρική διαπερατότητα μπορεί να μην είναι ίση με τη διαπερατότητα ελεύθερου χώρου (δηλαδή 0). Επομένως η πυκνότητα των ηλεκτρικών φορτίων θα χωριστεί σε δύο κατηγορίες:πυκνότητα ελεύθερου φορτίου (f) και περιορισμένη πυκνότητα (β).

Τότε ο τύπος θα ήταν: 

P =ρf + ρb.

Ερώτηση:Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τρία φορτία q1, q2 και q3. Όλα αυτά έχουν φορτίο 6c, 5c και 3c αντίστοιχα σε κλειστή επιφάνεια. Τώρα βρείτε τη συνολική ροή που περικλείεται σε αυτήν την επιφάνεια.

Λύση:Ας είναι η συνολική χρέωση Q,

Q =q1 + q2 + q3

=6c + 5c + 3c

=14 C

Επομένως, η συνολική ροή, ϕ θα είναι =Q/ϵ0

ϕ =14C / (8,854×10−12 F/m)

ϕ =1,584 Nm2/C

Η λύση θα ήταν η συνολική ροή που περικλείεται από την επιφάνεια ίση με 1.584 Nm2/C.

Τώρα που καταλαβαίνουμε πώς λειτουργεί ο νόμος του Gauss και τα ηλεκτρικά φορτία και το πεδίο. Όμως, δεν ξέρουμε πού να εφαρμόσουμε τον νόμο του Gauss και σε ποια επιφάνεια του Gauss;

Τι είναι η επιφάνεια του Gauss για διαφορετικές περιπτώσεις;

Μια επιφάνεια Gauss είναι όπου η γωνία (ө) μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου (E) και του διανύσματος εμβαδού (A) είναι πάντα σταθερή σε κάθε σημείο. Καθώς ένα διανυσματικό μέγεθος έχει πάντα ένα μέγεθος και μια κατεύθυνση, τα διανύσματα περιοχής μπορούν να οριστούν ως τα διανύσματα των επίπεδων επιφανειών με μέγεθος ίσο με το εμβαδόν επιφάνειας που είναι άμεσα κάθετο σε αυτό. Λοιπόν, πώς μπορείτε να βρείτε μια επιφάνεια Gauss όταν τη βλέπετε;

Πώς μπορείτε να πείτε ότι μια επιφάνεια είναι Gaussian;

Έχουμε μάθει ότι όλες οι επιφάνειες Gauss ακολουθούν το νόμο του Gauss. Στο νόμο του Gauss, η γωνία (ө) είναι μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου (E) και του διανύσματος εμβαδού (A), τα οποία είναι σταθερά σε κάθε σημείο της επιφάνειας. Για να πούμε ποια επιφάνεια είναι Γκαουσιανή επιφάνεια, πρέπει να ελέγξουμε αν η γωνία (ө) στο επίπεδο είναι σταθερή σε κάθε σημείο.

Τα βήματα για να μάθετε την επιφάνεια του Gauss είναι τα εξής:

• Επιλέξτε μια επιφάνεια που μπορεί να είναι οποιοδήποτε αντικείμενο ή ανθρώπινο σώμα.

Μπορεί να έχετε σύγχυση σχετικά με το πού να ξεκινήσετε και ποια γωνία θα καθόριζε καλύτερα την επιφάνεια του Gauss ή εάν αυτή η γωνία σας δίνει τα ίδια σημεία. Πρέπει να καταλάβετε ότι εάν θέλετε να προσδιορίσετε εάν μια επιφάνεια σε ένα σώμα είναι Gaussian ή όχι, πρέπει να ελέγξετε τη γωνία (ө). Αυτή η γωνία πρέπει να είναι σταθερή σε κάθε σημείο της επιφάνειας, όχι σε κάθε θέση σε ολόκληρο το σώμα.

Μπορείτε να σκιάσετε το μέρος όπου θέλετε να βρείτε την επιφάνεια του γκαουσιάν. Μπορεί να υπάρχουν αντικείμενα που έχουν πολλές επιφάνειες Gauss, αλλά δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό.

• Τώρα, βρείτε την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου (Ε).

Το επόμενο βήμα μετά τον προσδιορισμό της επιφάνειας θα ήταν η εύρεση της κατεύθυνσης του ηλεκτρικού πεδίου που εκπέμπεται από την επιφάνεια. Σε αυτήν την επιφάνεια, εκπέμπονται οι γραμμές ηλεκτρικού πεδίου.

• Τώρα ελέγξτε το διάνυσμα εμβαδού (Α) της επιφάνειας.

Μετά από αυτό, μπορείτε να βρείτε την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου. Τώρα πρέπει να βρείτε το διάνυσμα του εμβαδού της επιφάνειας. Ένα διάνυσμα του οποίου η διεύθυνση είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια αναφέρεται ως διάνυσμα περιοχής.

• Βρείτε τη γωνία που σχηματίζεται από το διάνυσμα εμβαδού (A) και το ηλεκτρικό πεδίο (E)

Αφού βρείτε την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου και του διανύσματος εμβαδού, χρειάζεστε τη γωνία (ө) μεταξύ τους. Τώρα, ελέγξτε για να προσδιορίσετε εάν η γωνία μεταξύ τους είναι σταθερή σε ορισμένα σημεία. Εάν όλα τα σημεία είναι σταθερά, τότε είναι μια επιφάνεια Gauss.

Συμπέρασμα

Μια επιφάνεια Gauss είναι μια τρισδιάστατη κλειστή επιφάνεια όπου προσδιορίζεται η ροή ενός διανυσματικού πεδίου (βαρυτικό πεδίο, ηλεκτρικό πεδίο ή μαγνητικό πεδίο.) Καθώς υπάρχει συμμετρική κατανομή φορτίου, η επιφάνεια του Gauss θα βοηθήσει στον προσδιορισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.