Ισοδυναμική Επιφάνεια

Ο όρος ισοδυναμικό προέρχεται από το συνδυασμό δύο λέξεων, «equi», που σημαίνει «ίσο» και «δυναμικό», που τον καθιστά «ίσο δυναμικό» ή «ισοδυναμικό». Αυτός ο όρος προέρχεται από τη χρήση του στον διανυσματικό λογισμό και την τοπολογική επιστήμη, όπου η λέξη «ισοδυναμικό» αναφέρεται σε μια επιφάνεια με σταθερή κλιμακωτή τιμή. Αυτή η ισοδυναμική ενός βαθμωτού δυναμικού 3 διαστάσεων θα βρίσκεται σε ένα δισδιάστατο χώρο. Η ισοδυναμική περιοχή του τρισδιάστατου βαθμωτού δυναμικού ονομάζεται ισοδυναμική επιφάνεια.

Τι είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια;

Στα μαθηματικά, μια ισοδυναμική επιφάνεια μπορεί να οριστεί ως ο τόπος όλων των σημείων σε μια περιοχή με σταθερό βαθμωτό δυναμικό. Αυτή η έννοια μιας επιφάνειας που προκύπτει από μια τρισδιάστατη βαθμωτή συνάρτηση αναφέρεται επίσης ως επίπεδη επιφάνεια σε 2 διαστάσεις. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά χρησιμοποιώντας την ακόλουθη μέθοδο:

Έστω Φ ( x, y, z ) μια βαθμωτή συνάρτηση στον τρισδιάστατο χώρο,

Έστω η τιμή του Φ ( x, y, z ) για ένα ορισμένο σημείο στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ως

Φ ( x1, y1, z1 ) =a

Όπου a είναι μια σταθερή τιμή.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο σημείο στον τομέα του Φ με την ίδια τιμή για το Φ έστω αυτό το σημείο: 

Φ ( x2, y2, z2 ) =a

Ομοίως, μπορούμε να βρούμε n τέτοια σημεία στο χώρο στα οποία το Φ ( x, y, z ) έχει την τιμή a.

Έστω αυτό το σημείο να αντιπροσωπεύεται από Φ ( xn, yn, zn ) =a

Τώρα μπορούμε να δούμε ότι έχουμε μια συλλογή n σημείων στο διάστημα στο οποίο το Φ ( x, y, z ) έχει την ίδια τιμή δηλ. a. Επομένως, εάν τώρα σχεδιάσουμε όλα αυτά τα σημεία στον τρισδιάστατο χώρο, θα έχουμε μια επίπεδη επιφάνεια γνωστή ως ισοδυναμική επιφάνεια.

Αυτή η έννοια της ισοδυναμικής επιφάνειας χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλούς τομείς της φυσικής.

Ιδιότητες ισοδυναμικής επιφάνειας:

• Όλα τα σημεία σε μια ισοδυναμική επιφάνεια μιας συνάρτησης θα έχουν την ίδια τιμή.

• Εάν η συνάρτηση βρίσκεται στο διάστημα των διαστάσεων "n", τότε η ισοδυναμική επιφάνεια θα είναι διαστάσεων "n – 1".

• Η φορά αλλαγής της ισοδυναμικής επιφάνειας μιας συνάρτησης Φ ( x, y, z ) θα δοθεί λαμβάνοντας τη βαθμίδα της συνάρτησης και διαιρώντας την με το μέγεθος της βαθμίδας της συνάρτησης.

( ▽ Φ ( x, y, z ) ) / | ▽ Φ ( x, y, z ) | =n  

Εδώ n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα προς την κατεύθυνση της αλλαγής στην ισοδυναμική επιφάνεια.

Εφαρμογές ισοδυναμικής επιφάνειας:

• Στην ηλεκτροστατική:

Στην ηλεκτροστατική, η έννοια της ισοδυναμικής επιφάνειας χρησιμοποιείται για ένα ηλεκτρικό πεδίο λόγω στατικού φορτίου.

Το βαθμωτό δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

• E =-▽V  

Εδώ V είναι το ηλεκτρικό δυναμικό και E είναι το ηλεκτρικό πεδίο. Έτσι, ένας τόπος σημείων στο χώρο με το ίδιο δυναμικό, V, ονομάζεται ισοδυναμική επιφάνεια στην ηλεκτροστατική.

Αυτή η επιφάνεια μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα, εφόσον το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει είναι κάθετο στην ισοδυναμική επιφάνεια και η τιμή του ηλεκτρικού δυναμικού είναι η ίδια σε όλη την επιφάνεια.

Στην περίπτωση ενός ηλεκτρικού αγωγού, η επιφάνεια του αγωγού θα είναι μια επιφάνεια ισοδυναμικού έτσι ώστε οποιαδήποτε δύο σημεία στην επιφάνεια θα έχουν το ίδιο ηλεκτρικό δυναμικό και αν συνδέσουμε οποιαδήποτε δύο σημεία στην επιφάνεια, δεν θα ρέει φορτίο λόγω έλλειψης διαφοράς ηλεκτρικού δυναμικού.

Για παράδειγμα, για ένα σημειακό φορτίο, η ισοδυναμική επιφάνεια είναι συνήθως μια σφαίρα με ένα φορτίο στο κέντρο της.

• Στη μηχανική:

Στη μηχανική, μια ισοδυναμική επιφάνεια μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη της βαρύτητας. Η γεωδυναμική ισοδυναμική επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί ως το επίπεδο της θάλασσας για τη βαρύτητα στη γη. Το γεγονός ότι υπάρχει επίπεδο θάλασσας στη γη είναι άμεση συνέπεια της ισοδυναμικής επιφάνειας που προκύπτει λόγω της βαρύτητας στη γη.

Ένα αντικείμενο που είναι ακίνητο στη γη δεν θα κινείται αριστερά ή δεξιά στην επιφάνεια της γης λόγω της σημασίας της ισοδυναμικής επιφάνειας στη γη. Αυτό συμβαίνει επειδή δεν υπάρχει αλλαγή στη βαρυτική δύναμη και στις δύο πλευρές. Αλλά μόλις σηκώσετε το αντικείμενο από την επιφάνεια κάθετα, το αντικείμενο κινείται προς τα κάτω επειδή έχουμε μετακινήσει το αντικείμενο από τη μια επιφάνεια ισοδυναμίας στην άλλη. Αυτή η αλλαγή στην ισοδυναμική επιφάνεια έχει ως αποτέλεσμα τη συσσώρευση βαρυτικής δυναμικής ενέργειας στο αντικείμενο.

• Στη μαγνητοστατική:

Στη μαγνητοστατική, η ισοδυναμική επιφάνεια μπορεί να διέπεται από το μαγνητικό δυναμικό, το οποίο δίνεται από την εξίσωση:

B =▽ x A 

Όπου B είναι το μαγνητικό πεδίο και A είναι το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό.

Η ισοδυναμική επιφάνεια ενός μαγνητικού πεδίου σε ευθεία είναι συνήθως ένας κλειστός βρόχος κάθετος στο μαγνητικό πεδίο.

Συμπέρασμα

Ισοδυναμική επιφάνεια είναι μια επίπεδη επιφάνεια όπου όλα τα σημεία της επιφάνειας θα έχουν ίσο δυναμικό. Μια ισοδυναμική επιφάνεια μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα. Η έννοια του ισοδυναμικού χρησιμοποιείται σε πολλές περιπτώσεις όπως η βαρύτητα, η ηλεκτροστατική, η μαγνητοστατική κ.λπ. Η εργασία που γίνεται έναντι του δυναμικού στην ισοδυναμική του επιφάνεια θα είναι πάντα μηδενική.