Ελλειψη

Τι είναι η έλλειψη; Η έλλειψη είναι ένα από τα τέσσερα παραδοσιακά κωνικά τμήματα και γίνεται με την κοπή ενός κώνου με ένα επίπεδο. Η παραβολή, ο κύκλος και η υπερβολή είναι τα άλλα κωνικά τμήματα. Οι κωνικές τομές που εντοπίζουν πλανήτες και άλλα ουράνια αντικείμενα στο ηλιακό σύστημα ονομάζονται επίσης ελλείψεις, ένα θεμελιώδες θέμα στην αστρονομία. Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε σε βάθος τις ελλείψεις.

Ορισμός της Έλειψης

Μια έλλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων σε ένα επίπεδο XY, του οποίου η απόσταση από δύο σταθερά σημεία ισούται με μια σταθερή τιμή. Τα δύο σταθερά σημεία είναι γνωστά ως εστίες. Στα μαθηματικά, έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο του οποίου η απόσταση από ένα σταθερό σημείο έχει σταθερό λόγο «e» προς την απόσταση από μια σταθερή γραμμή (μικρότερη από 1). Η έλλειψη είναι ένα τμήμα του κωνικού τμήματος που σχηματίζεται όταν ένας κώνος τέμνει ένα επίπεδο που δεν τέμνεται με τη βάση του κώνου. Η εστίαση ορίζεται με S, η σταθερή αναλογία «e» είναι η εκκεντρότητα και η σταθερή γραμμή είναι η ευθεία (d) της έλλειψης.

Τυπική εξίσωση μιας έλλειψης

Όταν το κέντρο της έλλειψης είναι στο (0,0) και οι εστίες βρίσκονται στους άξονες x και y, η εξίσωση μιας έλλειψης μπορεί εύκολα να συναχθεί.

Η εξίσωση μιας έλλειψης συμβολίζεται με:

x2/a2 + y2/b2 και ισούται με 1.

Ορολογίες που σχετίζονται με το Ellipse

Διάμετρος έλλειψης:Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο μιας έλλειψης και τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που βρίσκονται στην έλλειψη έχει διάμετρο έλλειψης.

Εκκεντρικότητα:(ε<1). Η απόσταση της εστίασης από το κέντρο της έλλειψης διαιρείται με την απόσταση του ενός άκρου της έλλειψης από το κέντρο της έλλειψης. Εάν η απόσταση εστίασης από το κέντρο της έλλειψης είναι "c" και η τελική απόσταση από το κέντρο είναι "a", εκκεντρότητα e =c/a.

Κύριος άξονας:Ο κύριος άξονας είναι η μεγαλύτερη διάμετρος της έλλειψης (συνήθως αντιπροσωπεύεται ως "a"), η οποία διατρέχει το κέντρο από το ένα άκρο στο άλλο.

Μικρός άξονας:Ο δευτερεύων άξονας (που συμβολίζεται με "b") είναι η μικρότερη διάμετρος της έλλειψης, που διέρχεται από το κέντρο στο στενότερο σημείο της.

Latus rectum:Latus rectum είναι μια γραμμή που χαράσσεται κάθετα στον εγκάρσιο άξονα της έλλειψης και διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης. Το μήκος του πρωκτού του ορθού της έλλειψης είναι 2b2/a.

Εγκάρσιος άξονας:Ο εγκάρσιος άξονας είναι η γραμμή που συνδέει τις δύο εστίες και το κέντρο της έλλειψης.

Εμβαδόν έλλειψης

Η ακτίνα ενός κύκλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του εμβαδού του, αλλά το μήκος του δευτερεύοντος και του κύριου άξονα καθορίζει το εμβαδόν μιας έλλειψης.

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με r2.

Ως αποτέλεσμα, το εμβαδόν της έλλειψης ισούται με τον κύριο άξονα x μικρότερο άξονα.

Οι μεταβλητές a και b είναι τα μήκη του δευτερεύοντος και του κύριου άξονα, αντίστοιχα.

Περίμετρος έλλειψης

Η περίμετρος μιας έλλειψης είναι όλο το μήκος του ορίου της και μετριέται σε cm, m, ft, yd και άλλες μονάδες. Η περίμετρος μιας έλλειψης μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους γενικούς τύπους:

P ≈ π (a + b)

P ≈ π √[ 2 (a2 + b2) ]

P ≈ π [ (3/2)(a+b) – √(ab) ]

όπου,

a =μήκος ημι-κύριου άξονα

b =μήκος ημιμικρού άξονα

Ιδιότητες μιας έλλειψης

• Μια έλλειψη σχηματίζεται όταν ένα επίπεδο τέμνει έναν κώνο στη γωνία βάσης του.
• Κάθε έλλειψη έχει δύο εστίες, ένα κέντρο και έναν κύριο και έναν δευτερεύοντα άξονα.
• Το άθροισμα των αποστάσεων μεταξύ οποιωνδήποτε δύο εστιών στην έλλειψη παράγει μια σταθερή τιμή.
• Για όλες τις ελλείψεις, η τιμή της εκκεντρότητας είναι μικρότερη από μία.

Πραγματική εφαρμογή του Ellipse

• Οι ελλείψεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν τροχιές πλανητών, δορυφορικές τροχιές, τροχιές σελήνης, τροχιές κομητών και τα σχήματα καρίνας σκαφών, πηδάλια και ορισμένα πτερύγια αεροπορίας.
• Ένας λιθοτρίπτης δημιουργεί ηχητικά κύματα για τη διάσπαση των λίθων στα νεφρά χρησιμοποιώντας ελλειπτικούς ανακλαστήρες.

Συμπέρασμα

Μια έλλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων σε ένα επίπεδο XY, του οποίου η απόσταση από δύο σταθερά σημεία ισούται με μια σταθερή τιμή. Μερικές από τις ορολογίες που σχετίζονται με τις ελλείψεις είναι - διάμετρος έλλειψης, εκκεντρότητα, κύριος άξονας, δευτερεύων άξονας, ορθός αυλός και εγκάρσιος άξονας. Έχουμε επίσης συζητήσει τις ιδιότητες μιας έλλειψης και την εφαρμογή της στην πραγματική ζωή. Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών, η διαδρομή κάθε πλανήτη είναι μια έλλειψη με τον Ήλιο σε ένα από τα σημεία του. Η ιδιότητα ανάκλασης της έλλειψης είναι ζωτικής σημασίας σε μια ελλειπτική δεξαμενή, επειδή εάν η μπάλα χτυπηθεί από τη μία εστία, θα αντανακλάται από την έλλειψη και θα μπει στην τρύπα στην άλλη εστία.