Ηλεκτρικό πεδίο λόγω ενός απεριόριστου μήκους ευθύγραμμου ομοιόμορφα φορτισμένου καλωδίου

Ο νόμος του Gauss είναι μια θεμελιώδης έννοια στην ηλεκτρομαγνητική και τη φυσική. Χρησιμοποιείται για τη σύνδεση της κατανομής φορτίου στο επακόλουθο ηλεκτρικό πεδίο που προκαλείται από τη φόρτιση. Ο Joseph Lagrange πρότεινε αυτόν τον νόμο το 1773, ακολουθούμενος από τον Carl Gauss το 1813. Αυτός ο νόμος αναπτύχθηκε και από τους δύο στο πλαίσιο της έλξης των ελλειψοειδών. Μία από τις τέσσερις εξισώσεις του Maxwell, που παρέχουν τη βάση για την κλασική ηλεκτροδυναμική, περιλαμβάνει αυτόν τον νόμο.

Ο νόμος του Gauss, συχνά γνωστός ως θεώρημα ροής του Gauss (ή απλώς θεώρημα του Gauss) στη φυσική και την ηλεκτρομαγνητική θεωρία, είναι ένας νόμος που σχετίζει την κατανομή του ηλεκτρικού φορτίου με το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει. Ισχυρίζεται ότι η ροή του ηλεκτρικού πεδίου από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια, ανεξάρτητα από το πώς αυτό το φορτίο κατανέμεται, στην ενιαία του μορφή. Ακόμα κι αν ο νόμος από μόνος του είναι ανεπαρκής για την εκτίμηση του ηλεκτρικού πεδίου σε μια επιφάνεια που περιλαμβάνει οποιαδήποτε κατανομή φορτίου, σε περιπτώσεις όπου η συμμετρία απαιτεί ομοιομορφία του πεδίου, αυτό μπορεί να είναι δυνατό. Ελλείψει τέτοιας συμμετρίας, ο νόμος του Gauss, ο οποίος δηλώνει ότι η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ανάλογη με την τοπική πυκνότητα φορτίου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη διαφορική εκδοχή του.

Ηλεκτρική ροή

Θεωρήστε ένα υγρό που κινείται πάνω από την επιφάνεια dS με ταχύτητα v. Ο ρυθμός ροής υγρού στην επιφάνεια αντιπροσωπεύεται από vdS. Αυτή είναι η ροή υγρού που κινείται στην επιφάνεια. Με παρόμοιο τρόπο, ορίζεται η ροή του ηλεκτρικού πεδίου. Είναι γνωστό ως το ηλεκτρικό πεδίο που ρέει μέσα από ένα έμπλαστρο μικρής περιοχής dS. Το μέγεθος του μπαλώματος είναι ανάλογο με τον αριθμό των γραμμών ηλεκτρικού πεδίου που διέρχονται από αυτό.

E.∆S

Εδώ θ είναι η γωνία

E.∆S cosθ

Η ροή είναι

ϕ=E.∆S cos

Νόμος του Gauss

Θεωρήστε ένα μικρό φορτίο q περικλείεται σε μια σφαίρα με ακτίνα r. Αυτή η σφαίρα μπορεί να χωριστεί σε μικρότερα τμήματα, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Η ακόλουθη εξίσωση θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου που ρέει μέσα από το στοιχείο:

ϕ=E.∆S=q ⁄ 4πϵr2r. ∆S

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω απείρου μακρού ευθύγραμμου καλωδίου

Ο νόμος του Gauss μπορεί να εφαρμοστεί σε μια ποικιλία φορτισμένων μορφών για να δημιουργήσει τις εξισώσεις για ένα ηλεκτρικό πεδίο. Σκεφτείτε ένα φορτίο που φέρεται σε ένα άπειρο μακρύ καλώδιο. Το λάμδα αντιπροσωπεύει το φορτίο ανά μονάδα μήκους αυτού του σύρματος. Το σύρμα έχει έναν άξονα συμμετρίας, ο οποίος φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Ο στόχος είναι να βρεθεί μια εξίσωση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται από αυτό το καλώδιο.

Θεωρήστε ένα ακτινωτό διάνυσμα OP που έχει περιστραφεί γύρω από το σύρμα. Αυτό δείχνει ότι το ηλεκτρικό πεδίο σε όλα τα σημεία P, P' και P" πρέπει να είναι το ίδιο. Εάν το φορτίο είναι θετικό, το ηλεκτρικό πεδίο είναι ακτινικά προς τα έξω. Εάν το φορτίο είναι αρνητικό, το ηλεκτρικό πεδίο είναι ακτινικά προς τα μέσα.

Υπολογίστε το ηλεκτρικό πεδίο χρησιμοποιώντας μια κυλινδρική επιφάνεια Gauss. Επειδή το πεδίο είναι ακτινωτό παντού, η ροή κατά μήκος των δύο όψεων των κυλίνδρων είναι μηδέν. Το Ε είναι κάθετο στην επιφάνεια σε κάθε σημείο του κυλινδρικού τμήματος της επιφάνειας και το μέγεθός του είναι σταθερό γιατί βασίζεται μόνο στο r. Το εμβαδόν επιφάνειας του καμπυλωμένου τμήματος είναι 2πrl, όπου l είναι το μήκος του κυλίνδρου.

Ροή μέσω του καμπυλωμένου τμήματος του κυλίνδρου Ισούται με ροή σε όλη την επιφάνεια

=E × 2πrl

Ένα φορτίο ίσο με λ περικλείεται από την επιφάνεια.

E × 2πrl=λl ⁄∈

E=λ ⁄ 2πrɛ

Συμπέρασμα

Στην ηλεκτροστατική, ο απώτερος στόχος του νόμου του Gauss είναι να βρει το ηλεκτρικό πεδίο για μια δεδομένη κατανομή φορτίου που περικλείεται από μια κλειστή επιφάνεια. Είναι ο πιο σημαντικός ηλεκτρομαγνητικός νόμος.

Ο νόμος του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ηλεκτροστατικών προβλημάτων με ασυνήθιστη συμμετρία, όπως κυλινδρική, σφαιρική ή επίπεδη συμμετρία. Ακολουθεί ο τρόπος με τον οποίο χρησιμοποιούμε τον νόμο του Gauss:

• Επιλέξτε μια επιφάνεια Gaussian που κάνει την αξιολόγηση του ηλεκτρικού πεδίου απλή.
• Για να διευκολύνετε τις εργασίες, εφαρμόστε συμμετρία.

Ο νόμος του Γκάους είναι μαθηματικά συγκρίσιμος με αρκετούς άλλους νόμους της φυσικής, συμπεριλαμβανομένου του νόμου του Γκάους για τον μαγνητισμό και του νόμου του Γκάους για τη βαρύτητα. Ο νόμος του Gauss μπορεί να διατυπωθεί παρόμοια με οποιονδήποτε νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου:για παράδειγμα, ο νόμος του Gauss είναι ουσιαστικά συγκρίσιμος με τον αντίστροφο τετράγωνο νόμο του Coulomb, και ο νόμος του Gauss για τη βαρύτητα είναι ουσιαστικά ισοδύναμος με το αντίστροφο τετράγωνο νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα.