ηλεκτρικό πεδίο

Το ηλεκτρικό πεδίο είναι η πιο θεμελιώδης έννοια στον ηλεκτρισμό. Γενικά, το ηλεκτρικό πεδίο μιας επιφάνειας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το νόμο του Coulomb, αλλά η κατανόηση της έννοιας του νόμου του Gauss απαιτείται για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου λόγω του άπειρου φύλλου. Περιγράφει το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται σε μια κλειστή επιφάνεια ή το ηλεκτρικό φορτίο που υπάρχει σε μια κλειστή επιφάνεια. Έχουμε μελετήσει το νόμο του Gauss στο παρελθόν. Σύμφωνα με το νόμο του Gauss, η συνολική ηλεκτρική ροή από μια κλειστή επιφάνεια ισούται με το φορτίο που περικλείεται διαιρούμενο με τη διαπερατότητα. Η ηλεκτρική ροή σε μια περιοχή ορίζεται ως το ηλεκτρικό πεδίο πολλαπλασιασμένο με την επιφάνεια που προβάλλεται σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Ας δούμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Gauss για να υπολογίσουμε τα ηλεκτρικά πεδία που οφείλονται σε ένα άπειρο επίπεδο φύλλου φορτίου.

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω άπειρου φύλλου

Στην περίπτωση ενός ομοιόμορφα φορτισμένου άπειρου επιπέδου φύλλου, λαμβάνουμε υπόψη την πυκνότητα επιφανειακής φόρτισης του επιπέδου φύλλου. Για δισδιάστατες γεωμετρίες, η πυκνότητα επιφανειακού φορτίου ορίζεται ως το συνολικό φορτίο που υπάρχει ανά μονάδα επιφάνειας του επιπέδου φύλλου και αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο 𝝈

Σαν αποτέλεσμα, η συνολική φόρτιση στο φύλλο επιπέδου είναι σA.

Υποθέτουμε μια κυλινδρική Gaussian επιφάνεια με εμβαδόν διατομής A, μήκος 2r και άξονα κάθετο στο επίπεδο φύλλο για να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r από το επίπεδο φύλλο. Έστω ότι τα S1 και S2 αντιπροσωπεύουν τα εμβαδά των δύο κυκλικών επιφανειών της κυλινδρικής επιφάνειας του Gauss και τα S3 και S4 αντιπροσωπεύουν τα εμβαδά των δύο καμπύλων επιφανειών της κυλινδρικής επιφάνειας του Gauss.

Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την κυλινδρική επιφάνεια Gauss μπορεί να δοθεί ως: 

Φ =Ε× περιοχή διατομής του κυλίνδρου Gauss

Η ροή που οφείλεται στο ηλεκτρικό πεδίο του επιπέδου φύλλου φορτίου διέρχεται μόνο από δύο κυκλικά τμήματα του κυλίνδρου όταν οι ηλεκτρικές γραμμές δύναμης είναι παράλληλες με την καμπύλη επιφάνεια του κυλίνδρου.

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου λόγω του άπειρου φύλλου είναι κάθετη στο άπειρο επίπεδο φύλλου φορτίου και η φύση του φορτίου είναι θετική.

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω ομοιόμορφα φορτισμένου λεπτού σφαιρικού κελύφους

Για να υπολογίσουμε το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται σε ομοιόμορφα φορτισμένο λεπτό σφαιρικό κέλυφος, θα πρέπει να το χωρίσουμε σε τρία μέρη: 

1. Το ηλεκτρικό πεδίο βγαίνει από το κέλυφος 

2. Ηλεκτρικό πεδίο στο κέλυφος

3. Ηλεκτρικό πεδίο στην επιφάνεια του κελύφους 

Το ηλεκτρικό πεδίο βγαίνει από το κέλυφος 

Σκεφτείτε την περίπτωση ενός σημείου P που βρίσκεται έξω από το σφαιρικό κέλυφος, OP =r σε αυτήν την περίπτωση. Η επιφάνεια του Gauss υποτίθεται ότι είναι μια σφαίρα με ακτίνα r. Η ένταση ενός ηλεκτρικού πεδίου, E, λέγεται ότι είναι η ίδια σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας του Gauss και κατευθύνεται προς τα έξω.

Μπορούμε να δούμε ότι η ηλεκτρική ένταση σε οποιοδήποτε σημείο έξω από το σφαιρικό κέλυφος φαίνεται να συγκεντρώνεται στο μέσο του κελύφους.

Ηλεκτρικό πεδίο στο κέλυφος

Τώρα, εξετάστε τη θέση του σημείου P μέσα στο κέλυφος. Η ακτίνα της Γκαουσιανής επιφάνειας συμβολίζεται με r. Η επιφάνεια του Gauss στερείται οποιουδήποτε φορτίου.

Επομένως, 

q=0

Και από αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο σφαιρικό κέλυφος παραμένει πάντα μηδέν.

E=0

Ηλεκτρικό πεδίο στην επιφάνεια του κελύφους 

Καθώς η σφαίρα που εξετάσαμε είναι λεπτή, είναι ασφαλές να υποθέσουμε ότι το πάχος του κελύφους θα είναι σχεδόν αμελητέο.

Ως εκ τούτου- Εσωτερική ακτίνα =εξωτερική ακτίνα

Συμπέρασμα

Η ηλεκτρική ροή μέσω μιας περιοχής υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το ηλεκτρικό πεδίο με το εμβαδόν της επιφάνειας που προβάλλεται σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Ο νόμος του Gauss είναι ένας γενικός νόμος που μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια. Είναι ένα χρήσιμο εργαλείο γιατί επιτρέπει τον υπολογισμό του ποσού του εσωκλειόμενου φορτίου χαρτογραφώντας το πεδίο σε μια επιφάνεια εκτός της κατανομής φορτίου. Απλοποιεί τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου για επαρκώς συμμετρικές γεωμετρίες καθώς είδαμε πώς μας βοήθησε στον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου λόγω του άπειρου φύλλου και σε ένα ομοιόμορφα φορτισμένο λεπτό σφαιρικό κέλυφος.