Εξίσωση ιδιοτιμής

Για να απαντήσετε σε τι εξίσωση ιδιοτιμής είναι, είναι το διακριτό σύνολο βαθμωτών τιμών που σχετίζονται με το σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Χρησιμοποιείται κυρίως σε εξισώσεις πινάκων. Η ιδιοτιμή μπορεί να είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, γνωστό ως ιδιοδιάνυσμα, το οποίο θεωρείται επίσης μια χαρακτηριστική ρίζα. Η ιδιοτιμή μας επιτρέπει να «ελαχιστοποιήσουμε» μια γραμμική πράξη για να κατηγοριοποιήσουμε και να απλοποιήσουμε προβλήματα. Η εφαρμογή, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, είναι σε μηχανολογικές πρακτικές και σε πραγματικά προβλήματα, από το σύστημα επικοινωνίας μέχρι το σχεδιασμό γεφυρών. Η λέξη ιδιοτιμές υιοθετήθηκε από τη γερμανική λέξη Eigen, η οποία σημαίνει «ειδικό», «κατάλληλο», «συγκεκριμένο» ή «χαρακτηριστικό». Γι' αυτό εξισώσεις ιδιοτιμών είναι επίσης γνωστές ως εξισώσεις λανθάνουσας ρίζας, εξισώσεις τιμής χαρακτηριστικών, εξισώσεις καλής τιμής κ.λπ. 

Ποια είναι η εξίσωση για την ιδιοτιμή;

Η θεμελιώδης εξίσωση για την ιδιοτιμή είναι

Ax =λx

Το λ αντιπροσωπεύει μια κλιμακωτή τιμή

Το A είναι για το οποίο θέλουμε, Eigenvalue

Στη φυσική και τη μηχανική, ο προσδιορισμός της τιμής μιας εξίσωσης ιδιοτιμής και τα ιδιοδιανύσματα ενός συστήματος είναι πολύ κρίσιμα. Μας βοηθά να προσδιορίσουμε τους παράγοντες σταθερότητας, τη φυσική πίσω από τα περιστρεφόμενα σώματα και τις μικρές διακυμάνσεις στα δονούμενα σώματα.

Στη Γραμμική άλγεβρα, ένα ιδιοδιάνυσμα δείχνει προς την πραγματική μη μηδενική τιμή του Ιδιογόνου, και καλό είναι να μην θεωρηθεί ένα μηδενικό διάνυσμα ως ιδιοδιάνυσμα.

Επίλυση παραδειγμάτων εξίσωσης ιδιοτιμών μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση της έννοιας.

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΜΙΑΣ ΤΕΤΡΑΓΟΥΣΙΚΗΣ ΜΗΤΡΗΣ

Το θεώρημα ιδιοδιάσπασης είναι ένας πολύ κοινός όρος που χρησιμοποιείται στη γραμμική άλγεβρα, που σημαίνει την αποσύνθεση ενός πίνακα (που πρέπει να είναι τετραγωνικός πίνακας) σε ιδιοδιανύσματα και εξισώσεις ιδιοτιμών .

Για έναν τετράγωνο πίνακα (Am×n), όπου τα m και n είναι ίσα, το [A-λI] ονομάζεται πίνακας Eigen, ο οποίος είναι ένας απροσδιόριστος βαθμωτός. Η ορίζουσα ενός πίνακα Eigen μπορεί να γραφτεί ως, 

|A- λI| και η εξίσωση Eigen μπορεί να συμβολιστεί ως, |A- λI| =0.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ EIGEN EQUATION

• Οι πίνακες που είναι μοναδικοί μπορεί να έχουν μηδέν Ιδιοτιμές.
• Αν έχουμε τετράγωνο πίνακα, τότε ενώ κάνουμε την εξίσωση Eigen του τετραγωνικού πίνακα,  λ =0 δεν είναι ιδιοτιμή αυτού του τετραγωνικού πίνακα.
• Τα ιδιοδιανύσματα με διαφορετικές ιδιοτιμές (π.χ. λ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
• Σε έναν τετράγωνο πίνακα A, αν η ιδιοτιμή του A είναι λ, τότε για τη μετάθεση του A η ιδιοτιμή θα είναι η ίδια λ.
• Σε έναν τετράγωνο πίνακα A, αν η ιδιοτιμή του A είναι λ, τότε για το αντίστροφο του A, η ιδιοτιμή θα είναι αντίστροφη του λ.

Δείτε τα παραδείγματα εξίσωσης ιδιοτιμών διατίθεται για την κατανόηση των εφαρμογών αυτών των ιδιοτήτων.

Εφαρμογές της εξίσωσης ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα:

Στερεοφωνικό σύστημα αυτοκινήτου:

Η εξίσωση της ιδιοτιμής χρησιμοποιείται περαιτέρω στον συντονισμό στερεοφωνικών συστημάτων αυτοκινήτων και βοηθά στην παραγωγή της δόνησης των αυτοκινήτων από τη μουσική, γνωστή και ως Μπάσο στην κοινή γλώσσα.

*Σχεδιασμός γέφυρας:

Η αρμονική συχνότητα της δομικής γέφυρας είναι η ιδιοτιμή της μικρότερης τιμής ενός συστήματος που μοντελοποιεί τη γέφυρα. Οι μηχανικοί εκμεταλλεύονται αυτές τις πληροφορίες για να εξασφαλίσουν σταθερότητα στα κτίριά τους.

*Μηχανικά μέρη:

Οι εξισώσεις ιδιοτιμών και τα ιδιοδιανύσματα μας επιτρέπουν να «ελαχιστοποιήσουμε» μια γραμμική πράξη ή ροή για να απλοποιήσουμε ένα πρόβλημα. Για παράδειγμα, υποθέτοντας ότι ασκείται τάση σε ένα συμπαγές πλαστικό αντικείμενο, η παραμόρφωση μπορεί να επιλυθεί σε «κύριες κατευθύνσεις» (οι κύριες κατευθύνσεις είναι εκείνη όπου η παραμόρφωση εμφανίζεται περισσότερο). Έτσι, τα διανύσματα στην κύρια κατεύθυνση μπορούν να θεωρηθούν ιδιοδιανύσματα και το ποσοστό της παραμόρφωσης που συμβαίνει σε κάθε κύρια κατεύθυνση είναι γνωστό ως ιδιοτιμή.

*Εταιρεία πετρελαίου:

Η ιδιοτιμή βοηθά τους χρήστες να γνωρίζουν τη διακύμανση των διαθέσιμων δεδομένων προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι εταιρείες πετρελαίου χρησιμοποιούν συχνά ανάλυση ιδιοτιμών από την εξίσωση ιδιοτιμών για να εξερευνήσουν διάφορους τύπους γης για την αναζήτηση πετρελαίου. Το αργό πετρέλαιο, η βρωμιά και άλλα σωματίδια, όλα οδηγούν σε γραμμικά συστήματα με διαφορετικές ιδιοτιμές, επομένως η ανάλυση ιδιοτιμών μπορεί να υποδείξει επαρκώς πού βρίσκονται τα αποθέματα πετρελαίου. εταιρείες πετρελαίου τοποθετούν ανιχνευτές στο σημείο για να πιάσουν κύματα από τεράστια φορτηγά που δονούν το έδαφος Τα κύματα αλλάζουν καθώς περνούν από διάφορες ουσίες στο έδαφος. Η ανάλυση αυτών των κυμάτων οδηγεί τις εταιρείες πετρελαίου σε μια πιθανή τοποθεσία γεώτρησης και να παίρνουν το πετρέλαιο εάν είναι αρκετά τυχερές.

Η εξίσωση Eigen χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, τα οποία χρησιμοποιούνται όχι μόνο για να εξηγήσουν φυσικά γεγονότα αλλά και για να ανακαλύψουν νέα και καλύτερα σχέδια για το μέλλον. Μερικά από τα αποτελέσματα είναι πολύ εκπληκτικά. Εάν σας ζητηθεί να δημιουργήσετε τον ισχυρότερο ορθοστάτη που μπορεί να υποστηρίξει το βάρος της οροφής χρησιμοποιώντας μόνο μια ορισμένη ποσότητα υλικού, τι σχήμα θα είναι αυτό το ορθοστάτη; Δεν θα μας βοηθήσει μόνο να μειώσουμε το χρόνο κατά τη σχεδίαση αλλά και να μειώσουμε το κόστος και το υλικό των κτιριακών υποδομών. Λάβετε υπόψη ότι εάν υπάρχει μεγάλη πίεση από τα πλάγια, αυτή η κολόνα δεν θα είναι η πιο ισχυρή κατασκευή, αλλά εάν ο ορθοστάτης στηρίζει την οροφή, το μεγαλύτερο μέρος της πίεσης θα προέρχεται ακριβώς από πάνω.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Στη φυσική και τη μηχανική, ο προσδιορισμός της τιμής μιας εξίσωσης ιδιοτιμής και τα ιδιοδιανύσματα ενός συστήματος είναι ζωτικής σημασίας. Εξισώσεις ιδιοτιμών και τα ιδιοδιανύσματα μας επιτρέπουν να «ελαχιστοποιήσουμε» μια γραμμική πράξη ή ροή για να απλοποιήσουμε ένα πρόβλημα. Για παράδειγμα, αν υποτεθεί ότι ασκείται πίεση σε ένα συμπαγές πλαστικό αντικείμενο, η παραμόρφωση μπορεί να επιλυθεί σε «κύριες κατευθύνσεις». Το ποσοστό της παραμόρφωσης που εμφανίζεται σε κάθε κύρια κατεύθυνση είναι γνωστό ως Ιδιοτιμή. Η εφαρμογή του είναι τεράστια, από το σχεδιασμό μηχανικών εξαρτημάτων μέχρι τα στερεοφωνικά συστήματα αυτοκινήτου. Βοηθά επίσης στην επανεξέταση της μεθόδου δομικού σχεδιασμού