Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα λυμένα προβλήματα

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα χρησιμοποιούνται στη γραμμική άλγεβρα στα μαθηματικά, αλλά στη φυσική χρησιμοποιούνται ευρέως για ανάλυση δονήσεων, απλούς αρμονικούς ταλαντωτές, κβαντομηχανική, διαγωνοποίηση πινάκων και ατομικά τροχιακά. Συγκεκριμένα, η μοριακή φυσική χρησιμοποιεί Ιδιοτιμές ως δυναμικά ιονισμού.

Το φυσικό σύστημα έχει μια κυματική συνάρτηση. Η εξίσωση Schrodinger είναι η λύση για να ληφθούν οι συγκεκριμένες Ιδιοτιμές ενός φυσικού συστήματος. Επομένως, καθώς η φυσική φαίνεται να υπάρχει παντού στο περιβάλλον, έχουμε κάνει αυτές τις Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα λυμένα προβλήματα για σενα. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τι είναι οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα. Χρησιμοποιήσαμε ακόμη απλές τεχνικές για Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα λυμένα προβλήματα . Ας εξερευνήσουμε.

Τι είναι οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα;

Συνοπτικά και απλοποιημένα, οι Ιδιοτιμές και τα Ιδιοδιανύσματα είναι οι ιδιοσυναρτήσεις που συχνά παίζουν ρόλο στη μηχανική. Το Ιδιοδιάνυσμα αντιπροσωπεύει τους κύριους άξονες, οι οποίοι μπορούν να αποσυντεθούν σε έναν τανυστή τάσης. Οι ιδιοτιμές ορίζουν τη διαγώνιο ενώ τα ιδιοδιανύσματα λαμβάνονται ως βάση. Σε γενικές γραμμές, οι ιδιοτιμές μπορούν να οριστούν ως μια χαρακτηριστική κλιμακωτή τιμή που συμβολίζεται με 𝜆. Ταυτόχρονα, ένα ιδιοδιάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που επηρεάζεται από έναν βαθμωτό παράγοντα, δηλαδή την ιδιοτιμή όταν εφαρμόζεται. Οι ιδιοτιμές μετατρέπουν την κατεύθυνση ενός ιδιοδιανύσματος.

Η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

𝑨𝒙=𝜆𝒙

Πού, 

A =Γραμμικός μετασχηματισμός από διανυσματικό χώρο 

𝜆 =Ιδιοτιμή του A

𝒙 =Διάνυσμα σε διανυσματικό χώρο V

Πριν συζητήσουμε για τις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα έλυσαν προβλήματα , ας συζητήσουμε τις εφαρμογές των Ιδιοτιμών και των Ιδιοδιανυσμάτων.

Εφαρμογές Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων

Οι εξισώσεις των Ιδιοτιμών και των Ιδιοδιανυσμάτων εφαρμόζονται κατά την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με κύματα φωτός και μικροκύματα που μεταφέρονται μέσω του συστήματος. Μερικές φορές τα ιδιοδιανύσματα μπορούν να μετρήσουν την κεντρική θέση των κορυφών. Τα ιδιοδιανύσματα είναι τα μέσα για τη μελέτη μεγάλων συνόλων δεδομένων, ακόμη και στην ανάλυση των κύριων συνιστωσών. Οι Ιδιοτιμές του πίνακα συσχέτισης καθορίζουν την πρακτική σημασία.

Τώρα, αναζητήστε τη μέθοδο για να βρείτε ιδιοτιμές σε αυτές τις Σημειώσεις λυμένων προβλημάτων Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα .

Πώς να βρείτε Ιδιοτιμές;

Ακολουθήστε αυτά τα βήματα για εύκολη κατανόηση Επιλυμένα προβλήματα ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.

• Πριν ξεκινήσουμε την προσέγγιση, να θυμάστε ότι η ερώτηση θα έχει τετράγωνο πίνακα 𝑛 × 𝑛.
• Ας υποθέσουμε ότι το 𝑨 είναι ένας πίνακας 𝑛 × 𝑛. Ας πάρουμε το 𝜆 ως ιδιοτιμή του Α. 
• Ένα ιδιοδιάνυσμα 𝒙 θα είναι ένα πραγματικό μη μηδενικό διάνυσμα που δείχνει προς την κατεύθυνση όπου το τεντώνουν οι ιδιοτιμές.
• Θυμηθείτε ότι ο γραμμικός μετασχηματισμός είναι 𝒚 =𝑨𝒙.

Έτσι, για να βρούμε τις Ιδιοτιμές, πρέπει να ακολουθήσουμε μια προσέγγιση γραμμικής άλγεβρας.

Καθώς η εξίσωση του πίνακα είναι 𝑨𝒙 =𝜆𝒙 

Τότε, (𝑨−𝜆𝑰)𝒙 =𝟎 

Όπου 𝑰 είναι ο πίνακας ταυτότητας 𝑛 × 𝑛, αλλά η παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη μόνο εάν η ορίζουσα τιμή ισούται με μηδέν.

Επομένως, ο πίνακας (𝑨−𝜆𝑰) είναι ενικός ⟹ 𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) =0. 

Όταν το (𝑨−𝜆𝑰) επεκτείνεται, 𝑝𝜆 =𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) θα ήταν το πολυώνυμο του βαθμού 𝑛.

Ελυμένα προβλήματα ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων

Ακολουθούν ορισμένα προβλήματα Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα που έχουν λυθεί .

1  1

Πρόβλημα 1:Αν το Α είναι (4   1) 1 =3, 𝜆2 =-1

→   

Αν (𝑨−𝜆𝑰)  v =0

→            →

Στη συνέχεια, βρείτε τα v1 και v2.

Λύση: 

1 1 1 0 x1 0 1 1 0 x1 0

(4     1) -3 (0  1)   (x2)=(0)   ,        

(4     1)-(-1) (0  1)   (x2)=(0)           

.

(4      1 -3)(x2)=(0)     ,    (       )( )   ( )

4      1 +1  x2        =    0           

 

-2   1            x1        0                                                  1            x1        0

（  4 -2）(x2)=(0)     ,    （ 4   2）(x2)=(0)                                    

 

-2 x1 +x2 =0                               2 x1 +x2 =0

2×1 =x2                                       2x1 =x2

x1 =1 x1 =-1

一  一                                                   一                                                                                                                      

x2   2                                             x2     2                

 

→          1         →         1

Επομένως,    v1 =(2), v2 =(-2)

 

1    2

Πρόβλημα 2:Εάν το A είναι (3   -4), βρείτε τα 𝜆1, 𝜆2.

 

Λύση:Όπως γνωρίζουμε 𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) =0

1-𝜆      2

Λοιπόν,     (  3     -4-𝜆) 

 

=(1-𝜆)(-4-𝜆)-2-3

=-4-𝜆+ 4𝜆+𝜆2-6

=𝜆2+3𝜆-10

=(𝜆-2)(𝜆+5) =0

 

Επομένως,  𝜆1 =2, 𝜆2 =-5

 

1  4

Πρόβλημα 3:Εάν το A είναι (3  2)） =5, -2

 

→   

Αν (𝑨−𝜆𝑰)  v =0

→ →

Στη συνέχεια, βρείτε τα v1, v2.

 

Λύση: 

.

(3      2 -𝜆) (x2) =0     ,      （3  2 – 𝜆 ) (x2)=0

 

-4    4              x1                                                    3  4         x1          

(3   2 -5) (x2) =0       ,    （3  4 ) (x2)=0 

 

 

1                    -4

Επομένως,   v1 =(1), v2 =(3 )

Συμπέρασμα

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα χρησιμοποιούνται στη γραμμική άλγεβρα στα μαθηματικά, αλλά στη φυσική χρησιμοποιούνται ευρέως για ανάλυση δονήσεων, απλούς αρμονικούς ταλαντωτές, κβαντομηχανική, διαγωνοποίηση πινάκων και ατομικά τροχιακά. Συγκεκριμένα, η μοριακή φυσική χρησιμοποιεί Ιδιοτιμές ως δυναμικά ιονισμού.

 

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα είναι ένα από τα ενδιαφέροντα θέματα της φυσικής και της χημείας και των δύο. Στην κβαντική μηχανική, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα έλυσαν προβλήματα που μπορούν ακόμη και να βοηθήσουν στον προσδιορισμό των τροχιακών ατόμων και μορίων μέσω της θεωρίας Hartree-Fock. Αυτές οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα επίλυσαν προβλήματα σημειώσεις των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές στα προβλήματα που σχετίζονται με κύματα φωτός και μικροκύματα που μεταφέρονται μέσω του συστήματος.